基本積分方法

1、§基本積分方法、換元積分法換元積分法:第一類換元積分法:第二類換元積分法 1第一類換元積分法:設(shè)f(u),(x)為連續(xù)函數(shù)， (x)可導(dǎo)，且 f (u)du =F(u) C，則f :(x) '(x)dx 二里豆4© f (u)du =F(u) C =F ：(x) C 常見的湊微分形式：1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b)a f(axn b)dx f(axn b)d(axn b)na ' f(ex)exdx= f (ex)d(ex) f (In x) dx = f (ln x)d(ln x)x f (sin x) cosxdx = J f

2、(sin x)d (sin x) f (cosx) sin xdx 二- f (cos x)d (cos x) f (tanxjsec2 xdx 二 f (tanx)d(tanx) f (resin = f f (arcsin x)d(arcsin x)例 2.1 計算 arctanx dx'x2(1 +x2)解：令 arcta nx =t， dx =sec2 tdt，則 arcta n x ,x =x2(1 x2) tan21sec21d -x2苒" dt = t(csc21 -1)dt - - td cott -( tan tsec t22 2t 2t 2-tcott 亠

3、 i cottdt t cott In | sint | C2 2=arcta n xx| x| 1In(arctan x)2 C。例2.2計算下列積分:(1) exln(1 ex) ；(2)cosxdx1 +cosx解：(1), ex ln(1 ex)二 ln(1 ex)d(ex 1)X=ln(1 ex) (ex 1) (ex 1)e一dx=(eX 1)1 n(1 ex) ex C22-sin x-2cosx. 2 dx sin x'1 +ex(2)1 c°sxdx 二7 +COSX'-(1 cosx).丿 dx =(1 cos x)(1 -cosx)d sin x

4、二 2 csc xdx - dx - 22 cot x - xC""sin2xsinx 2 第二類換元積分法:：(t)單調(diào)、可導(dǎo)且 (t)=0,又f：(t)：,t)有原函數(shù)G(t)。則f (x)dx =f ：(t) '(t)dt 二G(t) C 二 G (x) CX。第二類換元法中常用的變量代換：三角代換：變根式積分 =三角有理式積分 倒數(shù)代換x1 :可消去分母中的變量t 指數(shù)代換： 適用被積函數(shù)由ax或ex構(gòu)成的代數(shù)式。例2.3計算積分dxXXX1 e' e3 e®X解：令 e6 =1 =x = 61 nt, dx =-dtt1663 3t 11

5、 t3 t2 t T " _ (7 一1 t2)dt3=61 nt -3ln |1 t| In(1 t2) -3arctant C X2XX3=x 31 n 11 e6 | ln(1 e3) -3arctane6 Cdx例2.4計算積分.x + “1 x2dxx J -x21 1t In |sint cost | C2 211 2arcsinxIn | x ,1 - x | C22X +1例2.5計算積分-x '$ 2x解：x=si nt C0St dt=J sint cost cost-sint sin t cost 2sint costdtdx x2 -11解：令x=-，

6、則tx 1x x<1dx11 1tJ"t21(一嚴(yán)"八t2,1-t2d(1 t2)dt 22" -t2-arcsint *1 -t2C = _-arcsin1 Cx二、分部積分法分部積分公式:udv =uv - vdu分部積分法條件:選取u, v的原則:u, v具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。v要易于求出vdu比udv容易求出可用分部積分法求積分的類型:sin axIn x arctanx dx,f ax Je丿sin ax dxcosax dx,Pn(X)丿axiCosaxearccosxJ"JYIIdvdvu(x)u，v可任選JPn(X)u(x)例2.6計算積分

7、xln xdx。2 2xx解：原式=ln xd x 一 ln221x xdx 二22In2例2.7計算積分arctan dx e解:arcta nex2xedTgnexd(e&一arctanex - f 2x(1 2x) e (1 +e )_2xx xxarctane earctane ) C。1 (e2，計算 f (x)dx。例 2.7 設(shè) f (ln x)(1 x)x解：，設(shè) t =ln x，則 x =et,f(t)=叫®。e1 Xdxf (x)dx = ln(1 xe)dx 二一 In(1 ex)d (e)二-eln(1 - ex)-x' 1 + e=-e

8、87;l n(1ex)(1ex)dx = x 一(1e»)ln(1 ex) C。1 - ex三、幾種特殊類型的積分:1 有理函數(shù)的積分=部分分式之和的積分對于任意有理函數(shù)，存在一個固定的代數(shù)算法，可以把它分解為四種基本形式的有理分式的和，而這四種基本形式的有理分式存在相應(yīng)的積分公式。列出如下：Adx = Aln | x -a | C x -a(x -a)k(1)Px Qx2 px qdA'(x-a) dx = Pl n(x 2C(x-a)2+ px +q) + 2q _ pP, arctan 2x - p = +c <4q-p2*：4q-p2(4)2Px，Q)k(x p

9、x q)pp-dldt(P)dt2 (t2 a2)k2 - (t2 a2)k其中 t = x 衛(wèi)；dt=dx；2可以很容易地求出( 2tj 22 k dt(t(t2 a2)k而對于第二個積分式,Pt+(Q(t2 a2'_ p2a q 一 4。4)中的第一個積分為 1。(k -1)(t2 a2)k4我們可以得到遞推公式-1 tn 1222na (t a先中說吋C。2n -11- I，其中：11 =2、n2 n1) 2n a【注意】 從理論上講，任意有理函數(shù)的積分都可以被積出來，但要分析被積函數(shù)的 特點，靈活選擇解法，常用的方法中有湊微分法和變量替換法。例2.8計算積分 丁上5 dx。 x

10、2 6x+131(2x 6)16dx 二2x _62 -2dx =12 x -6x 132 x2 -6x 131dx 822dx(x_3)2 +221 2x 3In(x -6x 13) 4arctanC2例2.9計算下列積分2x31(1) 100dx ;(x 1)1001解：(1)令 X -1 二 1 ,u2x31(2)黑 2 "x(x10 +1)21 貝U dx亍dx，于u原式=金dx 二 u1002(u $31(-，(x1)100u=一丄 u99331；)duf 95/c 3二 - u (3u6u2 6u 2) du697196uu9748369 97-49( x -1)97(x

11、 -1)則 du =10x9dx，于是u 1 -u12du210 u(u 1)210 u(u 1)(1 u)2111小-2du=(l n|u|l n|u+1|+)+C(1 u)10u 1Au98499933(x 1)(2 )令 x101 原式=一-=u ,du10 u(u +1)1 1=10 udu2 三角函數(shù)有理式的積分=有理函數(shù)的積分由sinx , cosx及常數(shù)，經(jīng)過有限次四則運算所得到的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式，記作: R(sin x, cosx)，積分 R(sin x, cosx)dx稱為三角函數(shù)有理式積分?！窘忸}方法】sinkx 或 盡量使分母簡單，為此可以分子、分母同乘以某個因子，

12、把分母化成 coskx的單項式，或?qū)⒎帜刚麄€看作一項。 盡量使R(cos x，sin x)的幕降低，常用倍角公式或積化和差公式。 常用積化和差公式：1sin ： xcos : x sinC： T')x sin(:; l- )x21sin txsin : x cos(：£ I jx-cos(:：)x21COS J XCOS : x COS(5 ：上)X cos(： )x2倍角公式：1 2 1 2 1sin xcosxsin 2x , sin x (1 一 cos2x) , cos x (1 cos2x)2 2 2 在積分的過程中注意"1 =sin2 x - cos2

13、x ”的妙用。例2.10計算下列積分(1)3 ； (2)-dx; (3) sin2 xcos4 xdx。' sin x cos x' 1 + cosx解：1sin2 x cos2 x11 +3535533sin xcos x sin xcos x sin xcos x sin xcos x.2 2 . 2 2 sin x cos x sin x cos x33sin xcos x sin xcos x1sin x11+3533sin xcosxcos xsinxcos x sinxcosx2sin x2 sinx cos2 x+353sin xcosxcos xsinxcosx

14、22(sin x cos2x).sin xcosx1- .35.3-sin xcos xcos x sin x sin xcosx2 si nx2si nxcosx1 353cos xsinxcosxcos xsin x sinxcosx2 si nx3si nxcosx=3_5_3cos xsinxcosxcos xsin x故原積分=(冷 3聖竺半皿' cos x sin xcosx cos x sin x$ 3l n| csc2x 一 cot 2x | C4 cos x cos x 2sin xx si n x(2)1 cos xdx 型 dx1 + cosx(3) sin2 x

15、 cos4dx =T +cosx- x. xdx -ln(1 cosx) = xd tan ln(1 cosx)2 x22- tan°dx- ln(1 cosx)2x2lncoslIn(1 cosx) C>1+cos2x 1 丄1 - cos4x(1 cos2x) -8 22 cos=xta n=xta nx2x21 2 'x= sin 2x421(1 cos2x cos4x cos2xcos4x) 16111(1 cos2x -cos4x cos2x cos6x) 1622故 原積分= (1 cos2xcos4x -1 cos2xcos6x)dx16 2 2sin6x

16、 C1921'X sin 2X 丄Sin4x1664643 無理函數(shù)的積分二有理函數(shù)的積分無理函數(shù)的積分，一般是通過選擇變量替換，化為有理函數(shù)的積分來進行?！窘忸}方法】 利用第二類換元法中的三角代換； 若被積函數(shù)含有Tax +b， n；ax + b，可令fax +b =t， ;： ax +b =t ；¥ ex + dH ex + d若被積函數(shù)含有 貉x , m'x，可令 仮=t，其中m, n為正整數(shù)，p為m, n的最 小公倍數(shù)?！咀⒁狻繜o理函數(shù)分子或分母可有理化時，應(yīng)先有理化。例2.11計算積分1 . x 2dxx 2,2(t2 +1) =t= x 廠 t -1解：令

17、4t2原積分=亦dt=2 f'(1 12)(1 +t2)dxy82 dt(t2 -1)2dt2旳 1 t2dt1 -t21 t1 -t-2aretantC=InJ-2)-2areta n 一x2四、分段函數(shù)的積分連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，且原函數(shù)連續(xù)。因此有如果函數(shù)在分界點連續(xù)，則在包含該點的區(qū)間內(nèi)原函數(shù)存在。如果分界點是函數(shù)的間斷點，那么在包含該點的區(qū)間內(nèi)，不存在原函數(shù)。 【解題方法】方法一先分別求出函數(shù)的各分段在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)； 由原函數(shù)的連續(xù)性確定出各積分常數(shù)之間的關(guān)系。 方法二x 利用變上限積分函數(shù)，先求出f(x)的一個原函數(shù)f(t)dt，則有axf (x)dx = f (t)d

18、t +C'a(注意：方法二省去了確定常數(shù)的麻煩)x2, XE0，求sinx, x . 0解法一：由于f (x)在在x=0連續(xù)，故 a, 0), (0, + a)內(nèi)的原函數(shù)。例2.12設(shè)f (x)=丿f (x)dx。f (x)的原函數(shù)存在，因此先分別求出f (x)在(-13x C1, x _ 03-cos x C2, x 0由原函數(shù)F(x)的連續(xù)性，考慮 F(x)在x= 0處的左、右極限，得F(x) =G = -1 C2 = C2 =1f (x)dx 二 3" C, X E° , C1 二C-cosx 1 C, x 0x解法二：設(shè)f (x)的一個原函數(shù)為 F(x) f

19、(t)dt，而xfx2dx, x0'f (t)dt =- 1x_0sin xdx, x >00F(x)1 x3, X"3cosx 1, x 0f (x)dx= F (x) +C = <1 3 ,一 x +C, £ 3-cosx 1 C,xZO。x 0例 2.13 求 min1,x2dx。刀2'，解：min1, x =1,x _1x2,-1 ： x ：1x _1由于min1, x2在x= 1, x=1連續(xù)，故 min1,焰 的原函數(shù)存在，因此先分別求出 min1, x2在(a, 1), ( 1, 1), (1, + a)內(nèi)的原函數(shù)。x +G , x 蘭-113x C2, T ： x ： 13x C3, x _ 1由原函數(shù)F(x)的連續(xù)性，考慮 F(x)在x= 1 , x= 1處的左、右極限，得1lim F(x)工 lim F(x)二 C T 9 -