云南省保山曙光學(xué)校高二數(shù)學(xué)《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1.1.1正弦定理一、內(nèi)容及其解析內(nèi)容：容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識(shí)也有著密切的聯(lián)系教科書(shū)在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問(wèn)題“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題”

2、這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)二、目標(biāo)及其解析目標(biāo)：1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；2.會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題解析：目標(biāo)1就是讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中邊與其對(duì)角的關(guān)系；引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理；目標(biāo)2就是在教學(xué)中歸納出這兩種基本問(wèn)題，在練習(xí)中讓學(xué)生總結(jié)方法和規(guī)律。三、問(wèn)題診斷分析1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律

3、的思維能力，通過(guò)三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一四、教學(xué)過(guò)程問(wèn)題與題例問(wèn)題1如右圖，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)思考：C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而增大問(wèn)題2能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系如右圖，在RtABC中，設(shè)BC =A,AC =B,AB =C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sinA， =sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中，.問(wèn)題3那么對(duì)于

4、任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如右圖，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而.（當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類(lèi)似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.問(wèn)題4是否可以用其他方法證明這一等式？可以作ABC的外接圓，在ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等，來(lái)證明這一關(guān)系很好！這位同學(xué)能充分利用我們以前學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決此問(wèn)題，我們一起來(lái)看下面

5、的證法. 在ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長(zhǎng)交圓于B,設(shè)BB=2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到BAB=90°，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.這就是說(shuō),對(duì)于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點(diǎn)評(píng):上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識(shí),將任意三角形通過(guò)外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)而求證,此證法在鞏固平面幾何知識(shí)的同時(shí),易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學(xué)生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊.問(wèn)

6、題5接下來(lái),我們可以考慮用前面所學(xué)的向量知識(shí)來(lái)證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識(shí)中,哪一知識(shí)點(diǎn)體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?向量的數(shù)量積的定義式A·B=|A|B|Cos,其中為兩向量的夾角.回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?可以通過(guò)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin=Cos(90°-)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90°-,這就為輔助向量j的添加提供了線(xiàn)索,為方便進(jìn)一步的運(yùn)算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90°-這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原

7、因.在向量方法證明過(guò)程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算,也就在情理之中了.歸納：下面,大家再結(jié)合課本進(jìn)一步體會(huì)向量法證明正弦定理的過(guò)程,并注意總結(jié)在證明過(guò)程中所用到的向量知識(shí)點(diǎn).向量法證明過(guò)程:(1)ABC為銳角三角形,過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到由分配律可得.|j|Cos90°+|j|Cos(9

8、0°-C)=|j|Cos(90°-A).AsinC=CsinA.另外,過(guò)點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B). (2)ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A90°,過(guò)點(diǎn)A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A

9、-90°),AsinC=CsinA.另外,過(guò)點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得.（形式1）.綜上所述,正弦定理對(duì)于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.例題分析（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價(jià)于 (形式2).我們通過(guò)觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形問(wèn)題. 已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類(lèi)問(wèn)題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,

10、相對(duì)容易,課本P4的例1就屬于此類(lèi)問(wèn)題.已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如此類(lèi)問(wèn)題變化較多,我們?cè)诮忸}時(shí)要分清題目所給的條件一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形【例1】在ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問(wèn)題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°根據(jù)正弦定理，b=80.1

11、(cm);c=74.1(cm).(1)此類(lèi)問(wèn)題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器.【例2】在ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1 cm）分析:此例題屬于BsinAab的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無(wú)需作進(jìn)一步的檢驗(yàn),使學(xué)生在運(yùn)用正弦定理求邊、角時(shí),感到目的很明確,同時(shí)體會(huì)分析問(wèn)題的重要性.解：根據(jù)正弦定理，sinB =0.899 9.因?yàn)?°B180°，所以B64

12、76;或B116°.（1）當(dāng)B64°時(shí)，C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，C =30(cm).（2）當(dāng)B116°時(shí)，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C=13(cm).設(shè)計(jì)意圖通過(guò)此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過(guò)分析獲得,這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形.當(dāng)然對(duì)于不符合題意的解的取舍,也可通過(guò)三角形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)判斷,對(duì)于這一點(diǎn),我們通

13、過(guò)下面的例題來(lái)體會(huì).變式一：在ABC中,已知A60,B50,A38°,求B(精確到1°)和C(保留兩個(gè)有效數(shù)字). 分析:此題屬于AB這一類(lèi)情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對(duì)大邊,小角對(duì)小邊這一性質(zhì)來(lái)排除B為鈍角的情形.解：已知B<A,所以B<A,因此B也是銳角.sinB=0.513 1,B31°.C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.C=91. 設(shè)計(jì)意圖同樣是已知兩邊和一邊對(duì)角,但可能出現(xiàn)不同結(jié)果,應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意解題的靈活性,對(duì)于本題,如果沒(méi)有考慮角B所受限制而求出角B的

14、兩個(gè)解,進(jìn)而求出邊C的兩個(gè)解,也可利用三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)進(jìn)而驗(yàn)證而達(dá)到排除不符合題意的解.變式二：在ABC中,已知A28,B20,A120°,求B(精確到1°)和C(保留兩個(gè)有效數(shù)字). 分析:此題屬于A為鈍角且A>B的情形,有一解,可應(yīng)用正弦定理求解角B后,利用三角形內(nèi)角和為180°排除角B為鈍角的情形.解：sinB=0.618 6,B38°或B142°(舍去).C =180°-（A+B）=22°. C =12.設(shè)計(jì)意圖(1)此題要求學(xué)生注意考慮問(wèn)題的全面性,對(duì)于角B為鈍角的排除也

15、可以結(jié)合三角形小角對(duì)小邊性質(zhì)而得到.(2)綜合上述例題要求學(xué)生自我總結(jié)正弦定理的適用范圍,已知兩角一邊或兩邊與其中一邊的對(duì)角解三角形.(3)對(duì)于已知兩邊夾角解三角形這一類(lèi)型,將通過(guò)下一節(jié)所學(xué)習(xí)的余弦定理來(lái)解.五、目標(biāo)檢測(cè)1.在ABC中(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)，(1)已知C =,A =45°,B=60°，求B;(2)已知B12,A30°,B120°,求A.解：(1)C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，B =1.6.(2)，A =6.9.設(shè)計(jì)意圖:此題為正弦定理的直接應(yīng)用,意在使學(xué)

16、生熟悉正弦定理的內(nèi)容,可以讓數(shù)學(xué)成績(jī)較弱的學(xué)生進(jìn)行在黑板上解答,以增強(qiáng)其自信心.2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1°,邊長(zhǎng)精確到1):(1)B=11,A=20,B=30°(2)A=28,B=20,A=45°(3)C =54,B=39,C=115°(4)A=20,B=28,A=120°.解： (1) .sinA =0.909 1.A165°，A2115°.當(dāng)A165°時(shí)，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°，C1=22.當(dāng)A2115&

17、#176;時(shí)，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,C2=13.(2)sinB=0.505 1,B130°，B2150°.由于A+B2=45°+150°180°,故B2150°應(yīng)舍去(或者由BA知BA,故B應(yīng)為銳角).C=180°-(45°+30°)=105°.C=38.(3),sinB=0.654 6.B141°,B2139°.由于BC,故BC,B2139°應(yīng)舍去.當(dāng)B=41°時(shí)，A=180&#