直線的一般式方程

1、直線的一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握直線的一般式方程 2了解關(guān)于x、y的二元一次方程 Ax+ By+ C= 0(A、B 不同時(shí)為0)都表示直線，且直線方程都可以化為 Ax + By+ C= 0的形式.3會(huì)進(jìn)行直線方程不 同形式的轉(zhuǎn)化識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)直線的一般式方程1.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x, y的二元一次方程；任何關(guān)于 x, y的二元一次方程都表示一條直線 .方程 Ax + By+ C= 0(其中A、B不 同時(shí)為0)叫做直線方程的一般式.AC2對(duì)于直線Ax+ By+ C= 0,當(dāng)B0時(shí)，其斜率為=,在y軸上的截距為二；當(dāng)B= 0時(shí)，BBCC C在x軸上

2、的截距為 A；當(dāng)ABM0時(shí)，在兩軸上的截距分別為一_A，二B.3.直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征方程是關(guān)于x, y的二元一次方程.(2) 方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x, y,常數(shù)的先后順序排列.(3) x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù) .(4) 雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程思考 (1)當(dāng)A, B同時(shí)為零時(shí)，方程 Ax+ By+ C= 0表示什么？(2)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化嗎？答(1)當(dāng)C= 0時(shí)，方程對(duì)任意的x, y都成立，故方程表示整個(gè)坐標(biāo)平面；當(dāng)CM0時(shí)，方程無解，方程不表示任何圖象.故方程Ax+ By+ C= 0,不一定代表直線

3、，只有當(dāng) A, B不同時(shí)為零時(shí)，即 A2+ B2m0時(shí)才精選文檔代表直線 .C= 0 時(shí),1,求此直(2)不是當(dāng)一般式方程中的 B= 0時(shí)，直線的斜率不存在，不能化成其他形式；當(dāng)直線過原點(diǎn)，不能化為截距式但其他四種形式都可以化為一般式-題型探究重點(diǎn)突破題型一直線的一般形式與其他形式的轉(zhuǎn)化4例1 (1)下列直線中，斜率為可，且不經(jīng)過第一象限的是()A. 3x+ 4y+ 7= 0B.4x+ 3y+ 7= 0C.4x+ 3y 42= 0D.3x+ 4y 42= 0(2)直線3x 5y+ 9= 0在x軸上的截距等于()A. "j3 B. 5C.5 D. 31. 3答案(1)B(2)D4解析(

4、1)將一般式化為斜截式，斜率為3的有：B、C兩項(xiàng).4又y= 3X+ 14過點(diǎn)(0,14)即直線過第一象限，所以只有B項(xiàng)正確.(2)令 y= 0 則 x= 3 3.跟蹤訓(xùn)練1 一條直線經(jīng)過點(diǎn)A( 2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為線方程.、 x y解 設(shè)所求直線方程為_+ = 1,a b2 2.點(diǎn) a( 2,2)在直線上，一 ？+ b= 1.又直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,1qia Ibl = 1.由可得a b= 1,a b= 1,或ab= 2,ab= 2.a= 2, 解得b= 1,a= 1,或第二個(gè)方程組無解.b= 2.x yx y故所求直線方程為2+廠1或二7 +二2= 1,即

5、 x+ 2y 2= 0 或 2x+ y+ 2= 0.題型二直線方程的應(yīng)用例2已知直線I的方程為3x+ 4y 12= 0,求滿足下列條件的直線I'的方程:(1) 過點(diǎn)(1,3)，且與I平行；(2) 過點(diǎn)(1,3),且與I垂直.3解 方法一 I的方程可化為y= X + 3,3I的斜率為一；.43(1) T'與I平行， I'的斜率為一.又T過點(diǎn)(一1,3),OHOI+xo 品4丁與I垂直， I'的斜率為3,又I'過點(diǎn)(-1,3),4由點(diǎn)斜式可得方程為y 3= 3(x+ 1),即 4x 3y+ 13= 0.方法二由I'與I平行，可設(shè)I'的方程為3

6、x+ 4y+ m= 0.將點(diǎn)(1,3)代入上式得 m=- 9.所求直線的方程為3x+ 4y 9 = 0.由I'與I垂直，可設(shè)I'的方程為4x 3y+ n = 0.將(1,3)代入上式得n= 13.所求直線的方程為4x 3y+ 13= 0.跟蹤訓(xùn)練2 a為何值時(shí)，直線(a 1)x 2y+ 4= 0與x ay 1 = 0.平行；(2)垂直.解 當(dāng)a= 0或1時(shí)，兩直線既不平行，也不垂直；當(dāng)azo且azi時(shí)，直線(a 1)x 2y+ 4= 0的斜率為k1 =1+ ab1= 2;11直線x ay- 1= 0的斜率為k2= , b2 = 一.aa(1)當(dāng)兩直線平行時(shí)，由kt= k2, b

7、1 z b2,1 1 + aaz 2'得一=a解得a= 1或a= 2.所以當(dāng)a= 1或2時(shí)，兩直線平行(2)當(dāng)兩直線垂直時(shí)，由k1 k2= 1,11+a1即a2 一 J解得a=3.所以當(dāng)a= *時(shí)，兩直線垂直題型三由含參一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍例3 (1)若方程(m2 + 5m + 6)x+ (m2+ 3m)y+ 1 = 0表示一條直線，則實(shí)數(shù)(2)當(dāng)實(shí)數(shù) m 為何值時(shí)，直線(2m2 + m 3)x+ (m2 m)y= 4m 1.傾斜角為45 °在x軸上的截距為1.(1)答案m工3解析若方程不能表示直線，則m2 + 5m+ 6= 0且m2 + 3m = 0.m2+ 5m

8、 + 6 = 0,解方程組得m= 3,m2 + 3m = 0,所以mz3時(shí)，方程表示一條直線(2)解因?yàn)橐阎本€的傾斜角為45 ° ,所以此直線的斜率是 1,:m2 + m 3 所以育廠=1,9m mz 0,所以 222m + m 3= m m ,1.mz 0且mz1,解得所以m=m= 1 或 m= 1.因?yàn)橐阎本€在 x軸上的截距為1,4m 1令 y= 0 得 x= 2m2+ m 3，所以4m 1? = 12+ m 3，所以2m2 + m 3豐 0,4m 1 = 2m2 + m 3,3mz 1 且 mM -,2解得1m= ° 或 m = 2.1所以m= °或m=

9、 2.跟蹤訓(xùn)練3 已知直線I： 5ax 5y a+ 3= 0.(1) 求證：不論a為何值，直線I總經(jīng)過第一象限;(2) 為使直線I不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍31(1)證明直線方程變形為y2= a x5 ,5513它表示經(jīng)過點(diǎn)A 5, 5，斜率為a的直線.13點(diǎn)A 5, 5在第一象限,直線I必過第一象限(2)解 如圖所示，直線 OA的斜率35 0 k=3.直線不過第二象限，直線的斜率a> 3. a的取值范圍為3,+ ).易錯(cuò)點(diǎn)般式求斜率考慮不全致誤例4 設(shè)直線I的方程為(m2 2m- 3)x+ (2m2 + m 1)y (2m 6)= 0,若此直線的斜率為1,試確定實(shí)數(shù)1,建立方程求解

10、，但要注意分分析由直線方程的一般式，可轉(zhuǎn)化為斜截式，利用斜率為母不為0.解由題意，得m2 - 2m- 392m + m- 1=1，2m2+ m- 1 豐 0.4由，得m =- 1或m= 3.當(dāng)m=1時(shí)，式不成立，不符合題意，故應(yīng)舍去;4當(dāng)m= 3時(shí)，式成立，符合題意.4故 m= 3.3戸當(dāng)堂檢測自杳自糾1若方程Ax+ By+ C= 0表示直線，則 A、B應(yīng)滿足的條件為（）A.Am 0B.BM0C.A Bm 0D.A2+ B2m02. 已知ab<0, bc<0，則直線ax+ by= c通過（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限3. 過點(diǎn)（

11、1,0）且與直線x 2y- 2= 0平行的直線方程是（）A.x 2y 1 = 0B. x 2y+ 1= 0C. 2x+ y 2= 0D. x2y 1= 04.若直線x 2y+ 5= 0與直線2x + my 6= 0互相垂直，則實(shí)數(shù) m等于()11A. 1 B" C.2D.25.已知兩條直線 y= ax 2和3x (a+ 2)y+ 1= 0互相平行，則 a=鯉簧韁 一、選擇題1. 直線x+ y 3 = 0的傾斜角的大小是()A.45 °B.135 °C.1D. 12. 直線(2m2 5m+ 2)x (m2 4)y+ 5m= 0 的傾斜角為 45 °，貝U

12、m 的值為()A. 2B.2C. 3D.33. 直線l的方程為Ax+ By+ C= 0,若直線I過原點(diǎn)和二、四象限，則()A.C= 0, B>0B.A>0 , B>0 , C= 0CAB<0, C= 0D.AB>0 , C= 04. 直線ax+ 3my+ 2a= 0(m 0)過點(diǎn)1, 1),則直線的斜率 k等于()11A. 3B.3C.D.-335. 直線y= mx 3m+ 2(m R)必過定點(diǎn)()A.(3,2) B.( 3,2)C.( 3, 2)D.(3, 2)6. 若三條直線x+ y= 0, x y= 0, x+ ay= 3構(gòu)成三角形，則 a的取值范圍是()A

13、.a土 1B. aM 1, a2C. a 1D.a 土 1, a27. 直線h：ax y+ b= 0, I2： bx y+ a= 0(az 0,b豐0,az b)在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是()二、填空題8. 已知直線I1: ax+ 3y 1 = 0與直線I2： 2x + (a- 1)y+1 = 0垂直，則實(shí)數(shù) a=.9. 若直線mx+ 3y 5= 0經(jīng)過連接點(diǎn) A( 1, 2), B(3,4)的線段的中點(diǎn)，貝U m =.10直線l： ax+ (a+ 1)y+ 2= 0的傾斜角大于45 °，則a的取值范圍是 .11. 已知兩條直線 Qx+ 6y+ 4= 0和a?x+ b?y+ 4= 0

14、都過點(diǎn)A(2,3),則過兩點(diǎn) 只佝，bj, P2(a2,b2)的直線方程為.三、解答題12. 設(shè)直線 l 的方程為(a+ 1)x + y+ 2 a= 0(a R).(1) 若 l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(2) 若 l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.13. (1)已知直線 li： 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0與直線 I2： mx+ 3y 2= 0平行，求 m 的值.當(dāng) a為何值時(shí)，直線 li: (a+ 2)x+ (1 a)y 1 = 0 與直線 I2： (a 1)x+ (2a+ 3)y+ 2= 0 互相垂直？當(dāng)堂檢測答案1答案D解析 方程Ax + By+ C= 0表示直線的

15、條件為 A、B不能同時(shí)為0,即A2 + B2工0.2.答案Ca c解析由 ax+ by= c,得 y= jx+ b，a/ ab<0,.直線的斜率 k= >0 ,bc直線在y軸上的截距b<0.由此可知直線通過第一、三、四象限 .3答案A1 1解析由題意，得所求直線斜率為 2，且過點(diǎn)（1,0）故所求直線方程為y= 2（x 1）,即卩x 2y-1 = 0.4答案 B1 2解析由兩直線垂直，得2X m = 1，解得m= 1.5答案 3或1a 1 2解析 兩條直線y= ax 2和3x （a+ 2）y+ 1 = 0互相平行，所以-= 工，解得a= 3 3 a 十 2I或 a= 1.課時(shí)精

16、練答案、選擇題1答案 B解析 直線x+ y 3= 0,即y= x+ 3,它的斜率等于1,故它的傾斜角為135 °，故選B.2答案Dr2 m2 5m+ 2解析由已知得m 4工0，且 2= 1,m 4解得：m= 3.3答案D解析通過直線的斜率和截距進(jìn)行判斷4答案D解析 由點(diǎn)(1, 1)在直線上可得 a 3m+ 2a= 0(m 0)，解得m= a,故直線方程為 ax+ 3ay1 + 2a= 0(a 0)，即x+ 3y+ 2= 0，其斜率 k= 3.5答案A解析 由y= mx 3m + 2,得y 2= m(x 3)所以直線必過點(diǎn)(3,2).6答案A解析因?yàn)橹本€x+ ay= 3恒過點(diǎn)(3,0)

17、,所以此直線只需不和x+ y= 0, x y= 0兩直線平行就能構(gòu)成三角形.所以az 土 17.答案C解析 將11與12的方程化為斜截式得：y= ax+ b, y= bx + a,根據(jù)斜率和截距的符號(hào)可得選C、填空題38答案53解析由兩直線垂直的條件，得2a+ 3（a 1）= 0,解得a=.59答案 2解析 線段AB的中點(diǎn)為（1,1）,貝U m + 3-5= 0,即m= 2.1io答案 （8, ） u（0 ,+）解析 當(dāng)a= 1時(shí)，直線I的傾斜角為90 °，符合要求;當(dāng)a 1時(shí)，直線I的斜率為一aa+ 1aa只要-越汨或者-牯0即可,1解得1< a< 2或者a< 1

18、或者a>0.綜上可知，實(shí)數(shù) a的取值范圍是12）u（0 ,+）.11答案 2x+ 3y+ 4 = 02Q + 3bt + 4 = 0,解析由條件知2q+ 3b2+ 4 = 0,上，即卩2x+ 3y+ 4= 0為所求易知兩點(diǎn)P1（a , b1）, P2（a2, b2）都在直線 2x+ 3y+ 4= 0三、解答題12.解（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距都為0,當(dāng)然相等，所以a= 2,方程即為3x+ y= 0.當(dāng)a工2時(shí)，截距存在且均不為0,a 2a 12a+ 3所以=a 2,即 a+ 1 = 1.a+1所以a= 0，方程即為x + y+ 2= 0.(2)將 l 的方程化為 y= (a+ 1)x+ a- 2,a+ 1> 0, a+ 1= 0,所以或a 2<0a 2w 0,所以a< 1.綜上，a的取值范圍是a< 1.13解 方法一 (1)由 11: 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0,I2： mx+ 3y2= 0 知： 當(dāng)m= 0時(shí)，顯然