高中優(yōu)秀數(shù)學(xué)課件《排列、組合、二項(xiàng)式定理》 李老眉

1、 排列、組合排列、組合與二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)指導(dǎo)與二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)指導(dǎo) 掌握分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是復(fù)掌握分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是復(fù)習(xí)好本章的基礎(chǔ)習(xí)好本章的基礎(chǔ).其應(yīng)用貫穿于本章的始終其應(yīng)用貫穿于本章的始終.正確運(yùn)用兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于：正確運(yùn)用兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于：(1)(1)先要搞清完成的是怎樣的先要搞清完成的是怎樣的“一件事一件事” 兩個(gè)基本原理是從現(xiàn)實(shí)中總結(jié)歸納出的研究兩個(gè)基本原理是從現(xiàn)實(shí)中總結(jié)歸納出的研究“完成一件事完成一件事”的方法數(shù)的重要工具的方法數(shù)的重要工具.理解理解“完成一件事完成一件事”的含的含義義知道知道“完成一件事完成一件事”的目的和方式的目的和方式分析：分析：因映射為從因

2、映射為從A到到B，所以，所以A中每一元中每一元素在素在B中應(yīng)有一元素與之對應(yīng)，也就是中應(yīng)有一元素與之對應(yīng)，也就是A中中所有元素在所有元素在B中都有象，因此，應(yīng)按中都有象，因此，應(yīng)按A中元中元素分為素分為4步，而對于步，而對于A中每一元素，可與中每一元素，可與B中任一元素對應(yīng)，于是不同對應(yīng)個(gè)數(shù)應(yīng)為中任一元素對應(yīng)，于是不同對應(yīng)個(gè)數(shù)應(yīng)為3333=34=81 當(dāng)當(dāng)x x取取-1時(shí)，時(shí)， ( )( )xxf xf xx當(dāng)當(dāng)x x取取0時(shí)，時(shí)， ( )( )( )xxf xf xf x當(dāng)當(dāng)x x取取1時(shí)，時(shí)， ( )( )2 ( )1xxf xf xf x4242*2*2*2-2=14 (2) (2) 明

3、確事件需要明確事件需要“分類分類”還是還是“分步分步 第一步：找分子第一步：找分子第二步：找分母第二步：找分母 由由分步計(jì)數(shù)原理，可構(gòu)造分步計(jì)數(shù)原理，可構(gòu)造N=4*4=16個(gè)不同個(gè)不同的分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù) (2) (2) 明確事件需要明確事件需要“分類分類”還是還是“分步分步 由分類計(jì)數(shù)原理，可構(gòu)造由分類計(jì)數(shù)原理，可構(gòu)造 N=4+3+2+1=10個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)(3)“(3)“分類分類”是要注意是要注意“類類”與與“類類”之間的獨(dú)立性和并列性之間的獨(dú)立性和并列性.“.“分步分步”時(shí)時(shí)要注意要注意“步步”與與“步步”之間的連續(xù)性之間的連續(xù)性. . 有有1010雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋雙

4、互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出中，從中任意取出4 4只，試求各有多少種只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果情況出現(xiàn)如下結(jié)果. .（1 1）4 4只鞋子沒有成雙的；只鞋子沒有成雙的； 有有1010雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出從中任意取出4 4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果如下結(jié)果. . （2 2）4 4只鞋中有只鞋中有2 2只成雙，另兩支不成雙只成雙，另兩支不成雙. . 有紅、藍(lán)、綠三種顏色的卡片，每種顏有紅、藍(lán)、綠三種顏色的卡片，每種顏色均有色均有A、B、C、D、E字母的各一張，字母的各一張，現(xiàn)每次取

5、出四張，要求字母各不相同，三現(xiàn)每次取出四張，要求字母各不相同，三種顏色齊備，問有多少種不同的取法種顏色齊備，問有多少種不同的取法? ABCDEABCDEEDCBA11115436C C C C 如圖，是高考第一批錄取的一份志愿如圖，是高考第一批錄取的一份志愿表，現(xiàn)有表，現(xiàn)有4所重點(diǎn)院校，每所院校有所重點(diǎn)院校，每所院校有3個(gè)專個(gè)專業(yè)供你選報(bào)業(yè)供你選報(bào).如果此表格需填滿，且要求所如果此表格需填滿，且要求所選的學(xué)校不許重復(fù)，所選的同一院校的專選的學(xué)校不許重復(fù)，所選的同一院校的專業(yè)也不許重復(fù)，那么滿足以上條件的填寫業(yè)也不許重復(fù)，那么滿足以上條件的填寫的不同的方法共有多少種的不同的方法共有多少種? 12

6、1212433323C A C A C A32343()AA第一步，選數(shù)字第一步，選數(shù)字 第二步，排數(shù)字第二步，排數(shù)字 第一步，排百位有第一步，排百位有6種選擇，種選擇，第二步，排十位有第二步，排十位有4種選擇，種選擇，第三步，排個(gè)位有第三步，排個(gè)位有2種選擇種選擇.排列、組合的復(fù)習(xí)排列、組合的復(fù)習(xí)1. 1. 分清是排列問題還是組合問題分清是排列問題還是組合問題 這兩個(gè)概念共同點(diǎn)都是指從這兩個(gè)概念共同點(diǎn)都是指從n個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中進(jìn)行不重復(fù)抽取的情況進(jìn)行不重復(fù)抽取的情況.分清一個(gè)具體問題是分清一個(gè)具體問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵在于看從排列問題還是組合問題的關(guān)鍵在于看從n個(gè)個(gè)不同元素

7、取出不同元素取出m（mn）個(gè)元素是否與順序）個(gè)元素是否與順序有關(guān)，有序就是排列問題，無序則屬于組合有關(guān)，有序就是排列問題，無序則屬于組合問題問題. 有有7名同學(xué)排成一排，甲同學(xué)最高，排名同學(xué)排成一排，甲同學(xué)最高，排在中間，其它六名同學(xué)身高不相等，甲在中間，其它六名同學(xué)身高不相等，甲的左邊和右邊以身高為準(zhǔn)，由高到低排的左邊和右邊以身高為準(zhǔn)，由高到低排列，共有排法總數(shù)是？列，共有排法總數(shù)是？ 分析：此問題相當(dāng)于求六個(gè)元素中取出三分析：此問題相當(dāng)于求六個(gè)元素中取出三個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù). 所以滿足條件的排法有：所以滿足條件的排法有： 36C 從從12名隊(duì)員中組隊(duì)打籃球比賽，要求名隊(duì)員中組隊(duì)打

8、籃球比賽，要求其中一隊(duì)的年齡最小的隊(duì)員也比另一隊(duì)其中一隊(duì)的年齡最小的隊(duì)員也比另一隊(duì)中年齡最大的隊(duì)員要大，問有多少種不中年齡最大的隊(duì)員要大，問有多少種不同的組隊(duì)方法同的組隊(duì)方法?分析：從分析：從12名隊(duì)員中選兩名觀戰(zhàn)的每名隊(duì)員中選兩名觀戰(zhàn)的每一種選法，對應(yīng)著一種組隊(duì)方法一種選法，對應(yīng)著一種組隊(duì)方法: 2101212CC 從從0，1，9這十個(gè)數(shù)字中這十個(gè)數(shù)字中任取任取3個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且要求百位數(shù)大于十位數(shù)，數(shù)，且要求百位數(shù)大于十位數(shù)，十位數(shù)大于個(gè)位數(shù)，這樣的三位十位數(shù)大于個(gè)位數(shù)，這樣的三位數(shù)有多少個(gè)？數(shù)有多少個(gè)？ 310C 從從2，3，5，7四個(gè)數(shù)中任取不同的

9、兩四個(gè)數(shù)中任取不同的兩數(shù)，分別作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)數(shù)，分別作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)問：（問：（1）可得多少個(gè)不同的對數(shù)值？）可得多少個(gè)不同的對數(shù)值？ （2）可得多少個(gè)大于）可得多少個(gè)大于1的對數(shù)值？的對數(shù)值？分析：（分析：（1）與順序有關(guān)，是排列問題）與順序有關(guān)，是排列問題. 24A(2) 與順序無關(guān)，是組合問題與順序無關(guān)，是組合問題 24ClogaN例例 甲乙兩隊(duì)各出甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員按事先排名隊(duì)員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者在與負(fù)方勝者在與負(fù)方2號隊(duì)員比賽，號隊(duì)員比賽，.直到有一方隊(duì)員全被淘

10、汰為止，另直到有一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程一方獲勝，形成一種比賽過程.那么，那么，所有可能出現(xiàn)的比賽過程共有多少所有可能出現(xiàn)的比賽過程共有多少種？種？分析：設(shè)甲隊(duì)：分析：設(shè)甲隊(duì)： 乙隊(duì)：乙隊(duì)： 下標(biāo)表示事先安排好的出場順序，下標(biāo)表示事先安排好的出場順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序，比若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序，比賽過程可類比為這賽過程可類比為這14個(gè)字母互相穿個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列插的一個(gè)排列.如：如： 127,.a aa127,.b bb12 1 23 3 44 5 6 7567a a bb a b b a b b b a a a 最后是勝隊(duì)中不被淘汰的隊(duì)員最后是勝

11、隊(duì)中不被淘汰的隊(duì)員和未參賽的隊(duì)員和未參賽的隊(duì)員 所以比賽過程可表示為所以比賽過程可表示為14個(gè)個(gè)位置中取位置中取7個(gè)位置安排甲隊(duì)隊(duì)員，個(gè)位置安排甲隊(duì)隊(duì)員，其余位置安排乙隊(duì)隊(duì)員其余位置安排乙隊(duì)隊(duì)員.故比賽過故比賽過程的總數(shù)：程的總數(shù)： 714C12 1 23 3 44 5 6 7567a a bb a b b a b b b a a a 2.對復(fù)雜的排列、組合問題，能對復(fù)雜的排列、組合問題，能正確解決的關(guān)鍵：做好分類，將復(fù)正確解決的關(guān)鍵：做好分類，將復(fù)雜問題簡單化雜問題簡單化. 一天排語、數(shù)、外、生、體、班六節(jié)課一天排語、數(shù)、外、生、體、班六節(jié)課（上午（上午4節(jié)，下午節(jié)，下午2節(jié)），要求：第節(jié)）

12、，要求：第1節(jié)不排體節(jié)不排體育，數(shù)學(xué)課一定排在上午，班會一定排在下午，育，數(shù)學(xué)課一定排在上午，班會一定排在下午，問這樣的條件下，共有多少種排課表的方法？問這樣的條件下，共有多少種排課表的方法？（2006年遼寧卷）年遼寧卷）5名乒乓球隊(duì)員中名乒乓球隊(duì)員中,有有2名名老隊(duì)員和老隊(duì)員和3名新隊(duì)員名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排名隊(duì)員排成成1、2、3號參加團(tuán)體比賽號參加團(tuán)體比賽,則入選的則入選的3名隊(duì)名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員員中至少有一名老隊(duì)員,且且1、2號中至少有號中至少有1名新隊(duì)員的排法有名新隊(duì)員的排法有_種種.(以數(shù)作答以數(shù)作答)解析：解析：兩老一新時(shí)兩老一新時(shí), 有有 123233C

13、C36A112322C12C A兩新一老時(shí)兩新一老時(shí), 即共有即共有48種排法種排法. ( 2006年湖南卷年湖南卷)某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資資3 3個(gè)不同的項(xiàng)目個(gè)不同的項(xiàng)目, ,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過不超過2 2個(gè)個(gè), ,則該外商不同的投資方案有則該外商不同的投資方案有 ( )( )解析：投資于解析：投資于2個(gè)城市的方案有個(gè)城市的方案有 2234A36C投資于投資于3個(gè)城市的方案有個(gè)城市的方案有 34A24所以，共所以，共60種種（09廣東）廣東）2010年廣州亞運(yùn)會組委會要從小張、年廣州亞運(yùn)會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小

14、王小趙、小李、小羅、小王五名五名志愿者中選派志愿者中選派四四人人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中工作，若其中小張和小趙小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有方案共有36種種 12種種 18種種 48種種 小張和小趙小張和小趙兩兩人都被選中人都被選中 小張和小趙小張和小趙兩兩人當(dāng)中有一人人當(dāng)中有一人被選中被選中 解法分析： 23412 20342 符合題意；02340 不符合題意故：首末兩位數(shù)字相同的一定是從 1，2, 3，4中挑選 ,中間三

15、位數(shù)不同但可以為0 實(shí)際上，題目并沒有要求相同的首末兩位數(shù)字與中間三個(gè)數(shù)字不能重復(fù).如23422幾個(gè)典型的問題幾個(gè)典型的問題 (1) 相鄰、不相鄰問題相鄰、不相鄰問題 用用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求八位數(shù)，要求1和和2相鄰，相鄰，3與與4相鄰，相鄰，5與與6相鄰，相鄰，而而7與與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 576 個(gè)個(gè).（用數(shù)字作答）（用數(shù)字作答） 分析：由已知，分析：由已知，1與與2，3與與4，5與與6相鄰，分別有相鄰，分別有 22A再將其看成再將其看成3個(gè)元素有個(gè)元素有 33A排法，出現(xiàn)排法，出現(xiàn)4個(gè)空，插入個(gè)空，

16、插入7與與8有有 24A種排法，由分步計(jì)數(shù)原理，這樣的八位數(shù)種排法，由分步計(jì)數(shù)原理，這樣的八位數(shù) 232()A3234AA把一同排把一同排6張座位編號為張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全的電影票全部分給部分給4個(gè)人，每人至少分個(gè)人，每人至少分1張，至多分張，至多分2張，且這兩張張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是（ ）A168B96 C72 D144 （2006年湖北卷）年湖北卷）某工程隊(duì)有某工程隊(duì)有6 6項(xiàng)工程需要先后項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在

17、工程乙完成后進(jìn)行，又能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后進(jìn)行，又工程丁必須在丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這工程丁必須在丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這6 6項(xiàng)工程的不同的排法種數(shù)是項(xiàng)工程的不同的排法種數(shù)是_20_._20_.（用（用數(shù)字作答）數(shù)字作答）解析：解析：將丙丁做為一個(gè)元素，則甲、乙、（丙將丙丁做為一個(gè)元素，則甲、乙、（丙?。┒。?個(gè)元素共產(chǎn)生個(gè)元素共產(chǎn)生4個(gè)空，然后，將戊、巳插個(gè)空，然后，將戊、巳插入，入， 12114243ACC C（2）放球問題）放球問題 將標(biāo)號為將標(biāo)號為1，2，10的的10個(gè)球放入標(biāo)號個(gè)球放入標(biāo)號為為1，2，10的的10個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則

18、恰好有個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號與其所在盒子的個(gè)球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法種數(shù)為（標(biāo)號不一致的放入方法種數(shù)為（ ） A. 120 B. 240 C. 360 D. 720 解析解析 先將先將7個(gè)球按標(biāo)號放入到有相同標(biāo)號的七個(gè)球按標(biāo)號放入到有相同標(biāo)號的七個(gè)盒子中有個(gè)盒子中有 710C再將余下的再將余下的3個(gè)球放入不同標(biāo)號的盒子中共個(gè)球放入不同標(biāo)號的盒子中共有兩種方法有兩種方法.由分步計(jì)數(shù)原理，共有由分步計(jì)數(shù)原理，共有2 710C （2006年天津卷）年天津卷）將將4 4個(gè)顏色互不相同的球個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為全部放入編號為1 1和和2 2的兩個(gè)盒子里，使得放的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有號，則不同的放球方法有（）（）A10種種B20種種C36種種 D52種種 解析：解析： 分為分為2類：（類：（1）1號盒子放入號盒子放入1個(gè)個(gè)球，球，2號盒子放入號盒子放入3個(gè)球，有個(gè)球，有 14C（2）1號盒子放入號盒子放入2個(gè)球，個(gè)球，2號盒子放