運籌學與效益管理浙江科技學院

1、本章介紹整數(shù)規(guī)劃，重點是整數(shù)線性規(guī)劃的數(shù)學模型，介紹割平面法和分支定界法，使學生掌握整數(shù)線性規(guī)劃的解題方法，介紹01型整數(shù)規(guī)劃，使學生掌握指派問題的解題方法。本章的難點是割平面法和分支定界法的思想方法，本章共布置8道習題。 第五章 整數(shù)規(guī)劃第一節(jié)整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學模型及解的特點1。整數(shù)規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式：要求一部分或全部決策變量必須取整數(shù)值的規(guī)劃問題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標函數(shù)和約束條件構成的規(guī)劃問題稱為原問題的松弛問題。若松弛問題是一個線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式max (min) z = c1x1+ c2x2+cnxna11x1+

2、 a12x2+a1nxn(=, )b1a21x1+ a22x2+a2nxn(=, )b2am1x1+ am2x2+amnxn(=, )bmx1, x2,xn 0 x1, x2,xn中部分或全部取整數(shù)純整數(shù)線性規(guī)劃,混合整數(shù)線性規(guī)劃0-1型整數(shù)線性規(guī)劃2。整數(shù)規(guī)劃的例子：在一般線性規(guī)劃問題中增加整數(shù)條件。0-1型整數(shù)線性規(guī)劃問題可以描述邏輯問題3。解的特點：整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集合是它的松弛問題的可行解集合的一個子集。前者最優(yōu)解的目標函數(shù)值不會優(yōu)于后前者最優(yōu)解的目標函數(shù)值。松弛問題的最優(yōu)解經(jīng)過簡單取整后，得到的解不一定是原整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解，甚至不一定是原問題的可行解。但是，松弛問題的最優(yōu)解的

3、鄰域可能存在原整數(shù)規(guī)劃問題的較優(yōu)解，可以作為近似解。第二節(jié)割平面法在純整數(shù)線性規(guī)劃中，若松弛問題的最優(yōu)解X*不滿足整數(shù)條件，則從X*的非整分量中選取一個，用以構造一個線性約束條件，將其加入原松弛問題，形成一個新的線性規(guī)劃，重復直至獲得整數(shù)最優(yōu)解。為了最終獲得整數(shù)最優(yōu)解，構造的線性約束條件必須：1。不滿足整數(shù)條件的最優(yōu)解X*不滿足新線性約束條件。2。凡整數(shù)可行解滿足新線性約束條件。若bi0不是整數(shù)，xi0是基變量，K是非基變量的下標集合：分解ai0和bi0成兩部分：ai0=Ni0,j+fio,j ,整數(shù)部分Ni0,j ai0, 0 fio,j 1bi0=Ni0+fi0 ,整數(shù)部分Ni0 bi0,

4、 0 fio 1新線性約束條件是Kjijjiibxax0,00kjijjifxf0, 0)(kjjjiiijKjjiixffNxNx1, 000, 00對于整數(shù)可行解，滿足然而，原來的松弛問題最優(yōu)解X*不滿足新線性約束條件。0 - fi00,00kjjjiixff-1/7x3+-2/7x5-6/7 -1/7x3+-2/7x5+x6=-6/7 3-1000cxBbx1x2x3x4x53-10 x1x2x413/79/731/71000101/7-2/7-3/70012/73/722/700-5/70-3/73-10000cxBbx1x2x3x4x5x63-100 x1x2x4x613/79/73

5、1/7-6/7100001001/7-2/7-3/7-1/700102/73/722/7-2/7000100-5/70-3/703-100 x1x2x3x615/45/27/41000010000100-1/4-1/21/400011-5/4-11/2-3/4000-1/40-17/4-1/4x4-1/4x6-3/4第三節(jié)分支定界法整數(shù)規(guī)劃有時只有有限個可行解，枚舉求出解z*。分支定界法：把原問題的可行解分成若干支，分別求出各支最優(yōu)解，比較后可得最優(yōu)解z*。假使已經(jīng)求出一個可行解z ，把它作為界限z z*,如果可以判斷某支的最優(yōu)解不如z，那么該支中不存在最優(yōu)解，不必在該支中搜索。分支定界法的要

6、點：1。問題可分解成若干分支。2。可以找到每一支的較好的上界。3。盡早找到一個較好的可行解作為判斷的界限。4。在搜索中，如果發(fā)現(xiàn)更好的可行解，應更新判斷的界限，作為當前的最優(yōu)解。5。所有的分支都搜索后，當前的最優(yōu)解就是最后的最優(yōu)解。在整數(shù)規(guī)劃中，每支的松弛問題的最優(yōu)解可以作為該支的上界。如果某支的松弛問題的最優(yōu)解不如界限z,那么可以判斷某支的最優(yōu)解不如z，不必在該支中搜索。一般步驟：整數(shù)規(guī)劃問題A有最優(yōu)解Z*,松弛問題為B。1.解問題B， 得下列幾種情況：(a) B無可行解，則問題A也無可行解，Stop(b) B有最優(yōu)解，且滿足整數(shù)條件，也是A的最優(yōu)解，Stop(c) B有最優(yōu)解x，但不滿足整

7、數(shù)條件。轉步驟2。2. 用觀察法或在x的鄰域找出A的可行解，作為當前的最優(yōu)解，記目標函數(shù)值為zb,轉步驟3。 3. 對于問題B，任選一個不符合整數(shù)條件的變量xj=bj，對問題B進行分支，增加兩個約束條件： xjbj 和 xjbj +1，形成兩個后繼問題B1 和B2 ,求它們的松弛問題，得到目標函數(shù)值的上界。轉步驟4 。 4. 考察所有后繼問題，(a)如果它的目標函數(shù)值的上界不如zb，舍去該支，轉步驟4 。(b)如果沒有后繼問題, 則當前最優(yōu)解就是原問題的最優(yōu)解，stop。(c)尋找目標函數(shù)值的上界最好的后繼問題,轉步驟5。 5. 處理某一個后繼問題Bi，(a)如果它的最優(yōu)解滿足整數(shù)條件，且優(yōu)于

8、zb，則用它更新zb，轉步驟4。(b)如果它的最優(yōu)解不滿足整數(shù)條件，轉步驟3。第四節(jié) 0-1型整數(shù)規(guī)劃1. 0-1變量及其應用：0-1變量可表示邏輯關系：x=1: 采取方案。x=0:不采取方案。若需要從p個約束條件中，恰好選擇q個，則可引入p個0-1變量：njijijpibxa1),.,2 , 1(yi=0:選擇i個約束條件。yi=1:不選擇i個約束條件那么，約束條件組為：Mi是充分大的數(shù)njiiijijpiMybxa1),.,2 , 1(piiqpy12. 0-1型整數(shù)規(guī)劃的解法n個變量有2n種組合，采用隱枚舉法。列出2n種組合，先求出一個可行解，計算目標函數(shù)值，作為當前的最優(yōu)解。對于其它組

9、合，先計算目標函數(shù)值，若不如當前的最優(yōu)解，就不必檢驗它的可行性。否則，如果是可行解，則把更新為當前的最優(yōu)解。采用分支定界法，搜索更快。第五節(jié)指派問題1.指派問題的標準形式：有n個人和n件事，已知第i人做第j事的費用為cij(i,j=1,2,n)，要求決定人和事之間的一一對應指派方案，使總費用最少。xij=1:指派第i人做第j事xij=0: 不指派第i人做第j事（ cij ）稱為系數(shù)矩陣。2. 匈牙利解法若從系數(shù)矩陣中的某行（某列）的各元素都減去數(shù)K，不會改變最優(yōu)解，而會使目標函數(shù)的值減少K。不同行且不同列的0元素稱為獨立0元素。如果變換后的系數(shù)矩陣中有n個獨立0元素，則對應的變量指派1，得到最

10、優(yōu)解。匈牙利數(shù)學家康尼格證明：系數(shù)矩陣中獨立0元素的個數(shù)等于能夠覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)。1. 分別從各行各列減去最小數(shù)。2. 計算獨立0元素：(a)在只有一個0元素的行，給0元素加圈,同時劃去同列的0元素，記為。(b)在只有一個0元素的列，給0元素加圈,同時劃去同行的0元素，記為。(c)重復(a)和(b)(d) 如果仍然有0元素，則試探加圈， 0元素少的行列優(yōu)先。3. 計算覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)。(a) 對沒有的行打(b)在已打的行中，含的列打(c)在已打的列中，含的行打(d)重復(b)和(c)(e)對沒有 的行劃一橫線，對有 的列劃一垂線，得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)l，如果 l

11、R。（3）單位存貯費c1，單位缺貨費 c2，訂貨費每次 c3 ，不考慮貨物價值。最優(yōu)存貯周期：t* = 經(jīng)濟批量公式：Q*=缺貨補足時間：t2*=c1t*/(c1+c2)/(/ )()/(222113RPPcccRcc)/(/ )(/222113RPPccccRc開始生產(chǎn)時間：t1*=(P-R)t2*/P結束生產(chǎn)時間：t3*=Rt*/P+(1-R/P)t2*最大存貯量：A*=R(t*-t3*)最大缺貨量：B*=Rt1*平均總費用：C*=2c3/t*3.模型三：不允許缺貨，補充時間較長。在模型二中，取消允許缺貨條件，即c2,t2=0最優(yōu)存貯周期：t* = 經(jīng)濟批量公式：Q*=Rt*=結束生產(chǎn)時間

12、：t3*=Rt*/P最大存貯量：A*=R(t*-t3*)=R(P-R)t*/P平均總費用：C*=2c3/t*)(/()2(13RPRcPc)(/()2(13RPcRPc4.模型四：允許缺貨，補充時間極短。在模型二中，取消補充需要時間條件，即P最優(yōu)存貯周期：t* = 經(jīng)濟批量公式：Q*=Rt*=生產(chǎn)時間：tp*=t1=t2=t3=c1t*/(c1+c2)最大存貯量：A*=c2Rt*/(c1+c2)最大缺貨量：B*=c1Rt*/(c1+c2)平均總費用：C*=2c3/t*)/()(221213Rccccc)/()(221213ccccRc5.模型五：單價與批量相關。訂貨批量Q=Rt，對應的單價K(

13、Q)。當Qi-1QQi時, K(Q)=Ki, i=1,2,n平均總費用:C(t)=c1Rt/2+c3/t+RK(Q)(1)按模型一的經(jīng)濟批量公式（11.3-4)，計算，Q=Rt= 若Qj-1QQ),少賣的損失期望值：QrrPrQh0)()(1)()(QrrPQrk報童每天準備Q份報紙，總損失期望值：C(Q)=邊際分析法：C(Q)=C(Q+1)-C(Q)記 F(Q) = , N=k/(k+h)，稱N為損益轉折概率，則 C(Q)=(k+h)F(Q)-N最佳訂購量：F(Q*-1)Q),少賣的損失期望值：總損失期望值： C(Q)=drrrQHQ0)()(drrQrKQ)()(QQdrrQrKdrrrQ

14、H)()()()(0對變量Q求導數(shù): D(C(Q)/dQQQdrrKdrrH)()(0)(1 ()(00QQdrrKdrrHKdrrKHQ0)()(當導數(shù)等于零，函數(shù)得最小值，即用盈利期望值，可以得到相同的結果。模型六與模型七有類似的公式。QHKKdrrQF0)()(模型九，最大存貯量S定貨點s:滿足下式的最小s值：SrSrrPhkkrP010)()(120131201)()()()*()()()(srsrsrsrsrCrPrsCsSkCsrCrPrsCk 是單位成本即120131201*)()()*(*)()()(srsrsrsrSrCrPrSCkSCsrCrPrsCks本章介紹對策論，重點

15、是矩陣對策的基本理論，介紹矩陣對策的純策略，使學生掌握純策略下平衡局勢意義，介紹矩陣對策的混合策略。本章的難點是混合策略的思想方法，本章共布置6道習題。 第十二章對策論第一節(jié)引言1.對策現(xiàn)象和對策論：game theory在具有競爭或?qū)沟默F(xiàn)象中，參加競爭或?qū)沟母鞣骄哂胁煌睦婧湍繕?。為了達到各自的利益和目標，各方必須考慮對手的各種可能的方案，并力圖選擇對自己最有利或最合理的方案。對策論就是研究對策現(xiàn)象中，各方是否存在最合理的行動方案，以及如何找到合理的行動方案的數(shù)學理論和方法。齊王賽馬2.對策現(xiàn)象的三要素 (1)局中人(I)：有權決定自己行動方案的對策參加人，對策利益利益完全一致的參加人

16、只能看作一個局中人。假設：每個局中人都是“理智”的，沒有利用其他局中人決策失誤而得利的機會。(2)策略(si):可供局中人選擇的一個行動方案。局中人i的所有行動方案形成策略集Si。 si Si策略集Si至少包括兩個策略。(3)贏得函數(shù)：在一個對策中，每個局中人所出策略形成的策略組稱為一個局勢。s = (s1, s2, ,sn)全部局勢的集合記為S：S = S1 S2 Sn 當一個局勢s出現(xiàn)后，為每個局中人i規(guī)定一個贏得值(或所失值)Hi(s)。3.對策問題舉例及對策的分類(1)根據(jù)局中人的個數(shù)：二人或多人(2)根據(jù)局中人的贏得函數(shù)的代數(shù)和：零和或非零和對策。(3)根據(jù)局中人間是否合作：合作對策

17、或非合作對策。(4)根據(jù)局中人的策略集中策略的個數(shù)：有限對策或無限對策。兩人有限零和非合作對策，矩陣對策。第二節(jié)矩陣對策的基本理論1.矩陣對策的純策略：兩個局中人I、II各有m、n個策略。對于每個純局勢s = (i, j),局中人I的贏得值為H1(s)=aij，形成局中人I的贏得矩陣A。局中人II的贏得矩陣-A。局中人I的目標是獲得至少收益的最大值，不管對手如何。局中人II的目標是獲得最多損失的最小值，不管對手如何。定義1：設G=S1,S2;A,S1=1, 2, m, S2=1, 2, n, A=(aij)mXn,max min aij = min max aij =VG im jn jn i

18、m成立，稱VG為對策的值，(i*, j*)為對策的解， i*和j*分別為局中人I和II的最優(yōu)純策略。局中人I的至少收益的最大值等于局中人II的至多損失的最小值。定理1：矩陣對策G=S1,S2;A在純策略意義下有解的充要條件是：存在純局勢(i*, j*)，使得對任意i和j，有aij*ai*j*ai*j矩陣中，滿足條件的點叫鞍點，即所在行的最小值，同時又是所在列的最大值。在一個平衡局勢(i*, j*)中，當局中人I選中純策略i*后，為了減少損失，局中人II只能選擇純策略j*。反之，當局中人II選擇純策略j*后，為了贏得更多，局中人I只能選擇純策略i*。性質(zhì)1(無差別性)：若(i1, j1)和(i2

19、, j2)是對策G的兩個解，則 ai1,j1=ai2,j2性質(zhì)2(可交換性)：若(i1, j1)和(i2, j2)是對策G的兩個解，則(i1, j2)和(i2, j1)也是對策G的解。2.矩陣對策的混合策略：局中人I希望獲得至少收益的最大值, 局中人II希望獲得最多損失的最小值： v1 = max min aij , v2 = min max aij im jn jn im可以證明：v1v2當時，不存在一個雙方都可以接受的平衡局勢，因此局中人可以根據(jù)某種概率選擇各種策略。前者稱作純策略，后者稱作混合策略。定義1：設矩陣對策G=S1,S2;A,S1=1, 2, m, S2=1, 2, n, A=

20、(aij)mXn,S1*=x=(x1,xm)| x1,xm0, x1+xm=1S2*=y=(y1,yn)| y1,yn0, y1+yn=1分別稱S1* 和S2*為局中人I和II的混合策略集；稱x和y為混合策略，稱(x,y)為混合局勢。局中人的贏得函數(shù)：E(x,y)=xTAy,稱G*=S1*,S2*;E為G的混合擴充。不難看出，純策略是混合策略的特例。定義3：設G*=S1*,S2*;E 是矩陣對策G=S1,S2;A的混合擴充, 如果max min E(x,y) = min max E(x,y) =VG x S1* y S2* j S2* x S1* 成立，稱VG為對策的值，滿足上式的混合局勢(x

21、*, y*)為對策G在混合策略意義下的解，稱x*和y*分別為局中人I和II的最優(yōu)混合策略。定理1：矩陣對策G=S1,S2;A在混合策略意義下有解的充要條件是：存在混合局勢(x*, y*)，使得對任意x S1*和y S2* ，有E(x,y*)E(x*,y*)E(x*,y)3.矩陣對策的基本定理：局中人I取純策略i的贏得值：E(i,y)=(0,1,0)Ay=局中人II取純策略j的贏得值：E(x,j)=xTA(0,1,0)T=E(x,y) =E(x,y) =njjijya1miiijxa1iixyiE),(jjyjxE),(定理3：設x* S1*和y* S2* ，則(x*,y*)為對策G的解的充要條

22、件是：E(i,y*)E(x*,y*)E(x*,j)證明：必要性：設(x*,y*)為對策G的解，則有定理2，E(x,y*)E(x*,y*)E(x*,y)。對局中人I和局中人II的純策略(i, j)，有E(i,y*)E(x*,y*)E(x*,j)反之， E(x,y*) = E(x*,y*)iixyiE*), (iixyxE*)*,(定理4：設x* S1*和y* S2* ，則(x*,y*)為對策G的解的充要條件是：存在數(shù)v= E(x*,y*)，使得x*,y*滿足以下不等式：njyymivyamixxnjvxajinjjjnjijmiiimiij,.,2,10,1,.,2,1,.,2,10,1,.,2

23、,11111定理5：任一矩陣對策G=S1,S2;A在混合策略意義下一定有解。定理5的證明是構造性的，不僅證明了解的存在，還給出了利用線性規(guī)劃求解的思路。定理6：設(x*,y*)是矩陣對策G ，v=VG，則(1) 若xi*0，則aijyj*=v(2) 若yj*0，則aijxi*=v(3) 若aijyj*v ，則yj*=0定理7：兩個一矩陣對策G1=S1,S2;A1， G2=S1,S2;A2， A1=(aij)。若A2=(aij+L)，則(1)VG2=VG1+L, (2)T(G1)=T(G2)若A2=(Laij)，則(1)VG2= LVG1, (2)T(G1)=T(G2)， L是任意常數(shù)， T(G

24、)是矩陣對策G的解集。定理8：矩陣對策G1=S1,S2;A，若A=-AT為斜對稱矩陣，則 (1)VG=0，(2)T1(G)=T2(G)，T1(G)和T2(G)分別是局中人I和II的最優(yōu)策略集。第三節(jié)矩陣對策的解法1.圖解法：可以求出贏得矩陣為2n或m2的對策問題的解。2.方程組法：如果已知最優(yōu)解中， xi*和yj*均不等于0，則兩個不等式都是等式。但是有可能有的解是負數(shù)，可將某些方程改為不等式，繼續(xù)試求解。局限性。aijxi=v，j=1,2,n xi=1aijyj=v, i=1,2,m yj=1但是22的矩陣，當贏得矩陣不存在鞍點時，表明對策問題無純策略，于是兩個局中人的最優(yōu)混合中的xi*,y

25、i*均大于零。(x1,x2)A=(v,v), x1+x2=1(y1,y2)AT=(v,v), y1+y2=1優(yōu)超原理：若某行的元素都小于等于另一行的對應元素，若某列的元素大于等于另一列的對應元素，則該行(列)被優(yōu)超。利用優(yōu)超，可簡化贏得矩陣。3.線性規(guī)劃法：在定理5的互為對偶的線性規(guī)劃問題中，假設w0, (或w0)令，xi=xi/w, i=1,m, yj=xj/v, j=1, n 得到等價線性規(guī)劃問題：min xi max yj aijxi1, j=1,n aijyj1, i=1,mxi 0 ,i=1,m , yj 0, j=1,n得到xi和yj，計算VG = w=1/ xi ,最后變換得xi

26、和yj。本章介紹決策分析 ，重點是風險型決策方法 ，介紹不確定型決策方法 ，使學生掌握各種形勢下的決策方法 ，介紹層次分析法，使學生掌握復雜形勢下的一個分析方法 。本章的難點是層次分析法的思想方法，本章共布置6道習題。 第十三章決策分析第一節(jié) 決策分析的基本問題一。決策分析概述決策是為了達到預期的目的，從所有可供選擇的方案中，找出最滿意的一個方案的行為。1。決策的類型(1)按內(nèi)容和層次：戰(zhàn)略/戰(zhàn)術決策。(2)按重復程度：程序性和非程序性決策。(3)按把握程度：確定型，不確定型和分風險型決策。2。決策的原則信息，預測，可行性，系統(tǒng)和反饋原則3。決策的程序 (1)形成決策的問題。(2)概率描述各個

27、方案(3)定量分析各個方案(4)選擇最偏好的方案4。決策系統(tǒng)包括信息機構，智囊機構，決策機構和執(zhí)行機構。決策分析的目的在于，改進并輔助決策。二。決策分析研究的問題決策問題的典型特征：1.不確定性2.動態(tài)性3.多目標性4.模糊性5.群體性：決策對其他群體決策的影響，集體制定。第二節(jié) 風險型決策方法必須能夠把握問題的結果的概率(主觀或客觀)一。風險型決策方法的期望值法(1) 確定性收益等同期望收益(2)期望收益越大越好設A1,Am為可以選擇的方案, S1,Sn為可能出現(xiàn)的狀態(tài),其概率分別為p1=P(S1), , pn=P(Sn), 方案Ai在狀態(tài)Sj出現(xiàn)時的益損值aij=u(Ai,Sj)。方案Ai

28、的期望收益：E(Ai) = i= 1, 2, ,mE(Ai*) = max E(Ai) 1im在實際工作中，可作期望益損值對狀態(tài)概率、益損值的靈敏度分析。二。利用后驗概率的方法和信息價值風險型決策緣于信息的不完備性。當收到進一步的消息B后，利用后驗概率p(Sj|B)代替先驗概率p(Sj)，可以改進決策。njijjap1二。利用后驗概率的方法和信息價值風險型決策緣于信息的不完備性。當收到進一步的消息B后，利用后驗概率p(Sj|B)代替先驗概率p(Sj)，可以改進決策。E(Ai|B) = i= 1, 2, ,m設隨機試驗B的有結果 I1,.,Ie,若已知條件概率p(Ik|Sj), k=1,.,e,

29、 j =1,n, 則可以計算全概率p(Ik) = njijjaBSp1)|(njjkjSIpSp1)|()(條件概率p(Sj|Ik) = p(Sj)p(Ik|Sj)/p(Ik), 然后計算E(Ai|Ik) =E(Ai*|Ik) = max E(Ai|Ik), k = 1,e 1im最后計算后驗期望收益值： E(A|B) = 信息B的價值D = E(A|B) - E(Ai*) njijjaISpk1)|(ekkkiIpIAE1*)()|(三。決策樹方法多階段決策，下一步?jīng)Q策取決于上一步?jīng)Q策及其結果。(1) 決策點：方形點，引出多條決策分支，用數(shù)字表出決策費用。(2)狀態(tài)點：圓形點，引出多條狀態(tài)分

30、支，用數(shù)字表出狀態(tài)概率。(3)結果點：大句號 (葉)，用數(shù)字表出益損值。決策方法：依據(jù)期望值準則從最下層的樹葉開始，計算出每個狀態(tài)點的期望收益，把最大收益標在相應的決策點。決策時，根據(jù)期望收益最大原則，從下到上“剪枝”，直至最高決策點。第三節(jié)不確定型決策方法既不確切知道將出現(xiàn)哪種自然狀態(tài)，也知道各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率。一。悲觀準則(max-min)保守穩(wěn)妥的方法，從每個決策方案可能出現(xiàn)的最差結果出發(fā)，從中選擇最好的。U(Ai)=min aij, i= 1,m, U(Ai*)=max U(Ai) 1jn 1im二。樂觀準則(max-max)主動冒險的方法，從每個決策方案可能出現(xiàn)的最好結果出發(fā)，從

31、中選擇最好的。U(Ai)=max aij, i= 1,m, U(Ai*)=max U(Ai) 1jn 1im三。折中準則折中準則介于悲觀準則和樂觀準則，既不完全保守又不完全冒險。U(Ai*)=max (max aij +(1-)min aij ) 1im 1jn 1jn四。等可能準則假設各種狀態(tài)等可能出現(xiàn)，計算數(shù)學期望：U(Ai*)=max ( ) 1im五。遺憾準則(min-max)盡量減少決策后的遺憾，少后悔或不后悔后悔矩陣 bij=每列中最大 aijr(Ai)=max bij, i= 1,m, U(Ai*)=min r(Ai) 1jn 1imnjijna1/第四節(jié)效用函數(shù)方法一。效用的概

32、念一般都用貨幣標準來量化效益。相同貨幣量對不同場合、不同時間和不同的決策者的主觀滿足程度不一定相同。決策者不一定僅依據(jù)期望收益進行決策。效用是一個屬于主觀范疇的概念，是因人因時因地而變化的。另外，不同的人對風險收益的態(tài)度不盡相同。二。效用曲線的確定及分類可以用效用來量化決策者對風險的態(tài)度。效用值是一個相對值。決策者最偏好、最傾向、最愿意的事物(方案)的效用值，U (方案) =1，相反的事物(方案)的效用值U (方案) = 0。用對比提問法確定效用曲線。pU (y)+(1-p)U(z) = U(x)在p,x,y,z中固定三項，向決策者提問第四項。在實際計算中，p=0.5,固定z,y,提問x.不同

33、的決策者的選擇是不同的，表示決策者對風險的態(tài)度不同。效用曲線大體可分為：保守型、中間型和冒險型。第五節(jié)層次分析法層次分析法AHP適用于結構復雜、準則較多而且不易量化的決策問題。把決策者的主觀判斷和推理聯(lián)系起來，對決策者的推理過程進行量化的描述。AHP首先提出一個總目標。然后將問題按層次分解。對統(tǒng)一層次內(nèi)的各個因素通過兩兩比較的方法確定出相對于上一層目標的各自的權重。自頂向下一層一層分析，直至最低層。可給出所有因素(方案) 對總目標的相對重要性。第一步：明確問題，提出總目標。第二步：把問題分成若干層次第三步：求同一層次上的權數(shù)。設當前層次上的因素為A1,An。針對相關的上一層次每一個因素C，對所有因素A1,An進行兩兩比較，得到判斷矩陣A=(aij)nxm求出最大特征根max，以及相應的標準化特征向量w=(w1,wn)T,就是各因素A1,An對因素C的權數(shù)。第四步：求同一層次上的組合權數(shù)。設上一層的m個因素C1,Cm的組合權數(shù)為a1,am。對于每個Ci，當前n個因素的權數(shù)為wi