高中數(shù)學(xué) 2.3《向量的坐標(biāo)表示和空間向量》課件 北師大版選修2-1

1、數(shù)學(xué)：向量的坐標(biāo)表示和空間向量課件PPT（北師大版選修2-1）iA(a,0,0)B(0,b,0)ijkxy坐標(biāo)空間中，設(shè)， ，分別為軸、 軸、(0,1,0)(0,0,1)jk，。OQQOPP此時(shí)，OA OB OC a ib jc k 。vPvOP 空間中，對(duì)於任一向量，必有點(diǎn) ，使得。( , , )a b cva ib jc k 即存在唯一序?qū)?，使得? , , )va b cabc此時(shí)記作，並稱 、 、 分別為OxyzP(a,b,c)C(0,0,c)Q(a,b,0)jk空間向量的坐標(biāo)表示法則點(diǎn) P在 x 軸、y 軸、z 軸上的投影點(diǎn)分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。

2、一、空間向量的坐標(biāo)1. 向量坐標(biāo)：z 軸上的單位向量xzvy向量的、量分量、分分量。(1,0,0)i 即，設(shè)點(diǎn) P(a,b,c)，212211,(),(),P x y zQ xyz若，為坐標(biāo)空間中兩點(diǎn)，111111),(P x y zxyzijk ，222222),(Q xyzxyzijk ，OQ OPPQ 222111()()x iyjzxyjzkki121212()()()xyxyzijkz221112(,)xxyyzz。121212(),),(Q xPyyxzz若，Oxyz111( ,)P x y z222(,)Q xyz說明：注意：221211(,)PQxyxyzz則 。2212222

3、1()()()PQQxyPxyzz則 。222( , , )va b cvvabc設(shè)向量向量的長度 。111222( ,)(,)ux y zvxyz已知，121212,uvxxyyzz 則 。( , , )CDy zBDxA設(shè)，因?yàn)?，A(1,2,3)B(4,3,1)C(2,3,5)D(x,y,z)2. 向量的長度：3. 向量的相等：4. 範(fàn)例：空間坐標(biāo)中，平行四邊形 ABCD 中，A(1,2,3)，解：B(4,3,1)，C(2,3,5)，求 D 點(diǎn)坐標(biāo)。則 (x1 , y2 , z3)=(2 , 6 , 4) x= 1，y= 4，z= 7。故 D(1 , 4 , 7)。AByz求在平面上的正

4、射影長。(6, 4,3)AB (0, 4,3)AByzu在平面上的正射影為 。2220( 4)35u 故所求為 。PQzx求在平面上的正射影長。(5, 8,12)PQ (5,0,12)PQzxu在平面上的正射影為 。222501213u 故所求為 。5. 範(fàn)例：空間坐標(biāo)中，A(2,1,5)，B(8,3,2)，解：馬上練習(xí)：空間坐標(biāo)中，P(2,4,3)，Q(7,4,9)，Ans：13。解：QRxyyzzx設(shè)在、平面的正射影長分別為( , , )QRx y zQRxyyzzx設(shè)，則在、平面的正射影( , ,0) ,(0, , ) ,( ,0, )ux yvy zwxz分別為 ，222 2uxy ，

5、223vyz ，224wxz ，2222()89 1633xyz解得： 2223366 22QRxyz 。6. 範(fàn)例：解：2 234QR、 、 ，求的長。10PQPQxyyz設(shè)，且在、平面的正射影長98PQzx分別為、 ，求在平面的正射影長。55 。( , , )PQx y zPQxyyzzx設(shè)，則在、平面的正射影( , ,0) ,(0, , ) ,( ,0, )ux yvy zkxz分別為 ，229uxy ，228vyz ，22210 (10)xyzPQ又 222364519xyz解得： ， ，22 xz所求36 1955 。馬上練習(xí)：Ans：解：11112222( ,)(,)rvx y z

6、vxyz設(shè)為實(shí)數(shù)，若，12121212(1)(,)vvxxyyzz ；11112222()()vvxiyjzxyjz kki 212121()()()xyxyzijkz112221(,)xxyyzz。11112222()()vvxiyjzxyjz kki 212121()()()xyxyzijkz112221(,)xxyyzz。7. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算：證明：12121212(,)vvxxyyzz 。1111(2)(,)r vrx ry rz。1111()vx iz kryrj 111x iyjzrrkr111(,)xyrrzr。證明：3420DADBDC 且滿足，3( 1,6,)4(3, 1,

7、2)xyzxyz 33124820183448203841020 xxxyyyzzz ( , , )( 7,30,18)x y z 。8. 範(fàn)例：令A(yù)(1,6,0)，B(3,1,2)，C(4,4,5)為坐標(biāo)空間中三點(diǎn)，若 D 為空間中一點(diǎn)，解：令 D(x,y,z)2(4,4,5)(0,0,0)xyz求點(diǎn) D 的坐標(biāo)。11112222( ,)(,)rvx y zvxyz設(shè)為實(shí)數(shù)，若，111222122220/ /xyzx y zvvxyz 且，則。2121/ /ttvvvv， 為實(shí)數(shù)。212112( ,)(,)x y zxytz221112ttxyxzzty ，221121xytzxyz 。9.

8、 向量的平行：證明：(1)(1,3,5)(4, 4,2)23ababab 設(shè)， ，求與。(2)(1,2, 2)6ababb ，的長度為，且和同方向，求 。(1)ab 1,3,54, 4,2(5, 1,7) 。23ab 2(1,3,5)3(4, 4,2)222(2)12( 2)36ab ，又2ba 是的倍，ab 又和同方向22(1,2, 2)(2,4, 4)ba 。10. 範(fàn)例：解：(2,6,10)(12, 12,6)( 10,18,4) 。(1)(3, 2,5) ,( 2,1,3)234ababab 設(shè) ，求與。(2)(2,1, 2)9ababb ，的長度為，且和反方向，求。(1)2( 1,0

9、,11)34(17, 10,3)abab ，(1)2ab (3, 2,5)( 4,2,6)( 1,0,11) 。34ab (9, 6,15)( 8,4,12)(17, 10,3) 。222(2)21( 2)39ab ，又3ba 是的倍，ab 又和反方向33(2,1, 2)( 6, 3,6)ba 。解：馬上練習(xí)：Ans：(2)( 6, 3,6)b 。( 2,1,1)(5, 5,2)2abcak b 設(shè)，cabc 且平分和的夾角，求向量 。 6 ,a cab 欲使平分和的夾角，2=2 6ak b則必23k 。223cab 故224 102( 2,1,1)(5, 5,2)(,)3333 。ook b

10、2 ac11. 範(fàn)例：解：( 菱形的對(duì)角線即為分角線 )3 6b ，223ab ( 4,0,3)(2,2,1)abcat b 設(shè)， ，cabc 且平分和的夾角，求向量 。2 10 14(,)333c 。5 ,a cab 欲使平分和的夾角，5 ()at b 則必菱形的對(duì)角線即為分角線53t 。53cab 故52 10 14( 4,0,3)(2,2,1)(,)3333 。oot bac馬上練習(xí)：Ans：解：3b ，53ab 122211(,)( ,)B xyzA x y z設(shè)與為坐標(biāo)空間中的兩點(diǎn)，OPmnA(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)證明：設(shè)原點(diǎn)O(0,0,0)，P(x,y,z)，二

11、、分點(diǎn)公式：1. 分點(diǎn)公式：:AP PBm n且，OAnmOOPmBn 則112212( ,(,),)nm xyzmznx y111222( , , ),nmnmxyznmx y zmnmyznmxn即 。PAB若點(diǎn)在線段上，221211,xynmnmnmPmnmxyzznmn則點(diǎn)的坐標(biāo)為 。(1)PAB當(dāng)為的中點(diǎn)ABCG則重心的坐標(biāo)注意：(2)設(shè)ABC三頂點(diǎn)為 A(x1 , y1 , z1)、B(x2 , y2 , z2)、C(x3 , y3 , z3)，222221111112,1 11 11 1222xyzxyzxyzPxyz 。123123123,333xxxyyyzzz為 。ABCD

12、D若的平分線交於，求點(diǎn)坐標(biāo)。( 2, 2,1)AB ，:BD CD又21201( 3)( 2)7(121,1)211262D 2(,3, 4)3 。C(2,7,6)B(0,1,3)DA362. 範(fàn)例：ABC中，A(2,3,4)，B(0,1,3)，C(2,7,6)，解：( 4,4, 2)AC ，:3:61:2AB AC。ABCE若之外角平分線交直線於，11( ,2, )22E 。(4,1,1)AB ，:3 2 :23:1BE ECAB AC又。:2:1BC CE 。( , , )E x y z令5212121(2,2,1),12212221xyzC 11( , , )( ,2, )22E x y

13、 z 。C(2,2,1)B(5,2,2)AEook3k3 22馬上練習(xí)：ABC中，A(1,1,1)，B(5,2,2)，C(2,2,1)，Ans：解：求 E 點(diǎn)的坐標(biāo)。(1,1,0)AC ，20PEFEPFP 在上，且( , , )DPaDA bDC cDHa b c 若，求數(shù)對(duì) 。:2:1EP PF ，12()()33DA DHDBDH 12()()33DA DHDA DCDH 23DADCDH 2( , , )(1,1)3a b c 。DEFGBHCAP3. 範(fàn)例：一正立方體如圖，解：DP1233DEDF ( , , )AJa AB b AD c AEa b c 若，求數(shù)對(duì) 。1 1(1,

14、)2 2 。1122AGAABJ 11()22AFFGAB 11()22ABAEFGAB 1122ABAEFG 1122ABADAE 1 1( , , )(1, )2 2a b c 。JAHFGBDEC馬上練習(xí)：一平行六面體如圖，J 為 BCGF 的中心，Ans：解：22121121(),()xvzyvxyz若，(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)ijk坐標(biāo)空間中，1ijkijjkki ； ，000ijjijkkjikki 且，。11121222() ()vvijkixxzjyzky 則22122221()()xyzxyziijkkxyjij 2212()xzkijkyz 221211x

15、yiijjkkzzxy 121221xyzxyz 。三、空間向量的內(nèi)積：1.說明：分別是x、y、z軸上的單位向量，2212111221vvvvyzxyzx 則與的內(nèi)積 。121212121 20vvvvx xy yz z 則 。(2)( , , )vx y z若向量，注意：11112222(1)( ,)(,)vx y zvxyz若，2222( , , ) ( , , )vvvx y zx y zxyz 則 。ABAC 求與的夾角。(1,1,2)(1, 2, 1)ABAC，1 1 1 ( 2)2 ( 1)3AB AC 。cosAB ACAB AC 又366cos 1cos2 23 所求夾角為 。

16、解：2. 範(fàn)例：設(shè)A(1,2,3)，B(2,3,5)，C(2,0,2)，PQPR 求與的夾角。2 。(2,3,1)(5, 3, 1)PQPR，2 53 ( 3) 1 ( 1)0PQ PR 2 所求夾角為 。馬上練習(xí)：設(shè)P(2,1,4)，Q(4,4,5)，R(7,2,3)，Ans：解：(1,3,0)(0,0,1)(1,3,1)31ABBCCG如圖，長方體中，BHDFP設(shè)兩對(duì)角線 與相交於點(diǎn)，(1,3,1)DF，cosDF HBDF HB 2222221 9 191113113( 1) 。HFBxzyCGAPED3. 範(fàn)例：且FPB=，求cos之值。解：將長方體放在坐標(biāo)空間中，以D為原點(diǎn)。(1,3

17、, 1)HB (0,1,1)63 。( 1, 1,1)BH ，BHBG 即為與的夾角，cosBH BGBH BG 所以10 1633 2 。DxyzEFGBHCA以D為原點(diǎn)。馬上練習(xí)：右圖是一個(gè)邊長為 1 的正立方體，且HBG=，求cos之值。Ans：解：將正方體放在坐標(biāo)空間中，( 1,0,1)BG (1,1,0)(0,0,1)(1) ABAC 在方向上的正射影。(2) BAC點(diǎn)在方向上的投影點(diǎn)坐標(biāo)。( 8,1, 1)(1) AB ，2AB ACACAC 所求為8224 88()(1, 2,2)(,)93 33 。(2)( , , )H x y z令投影點(diǎn)4 88(2,1,2)(,)3 33A

18、Hxyz 2 112( , , )( ,)3 33H x y z 。ACBH4. 範(fàn)例：設(shè)A(2,1,2)，B(6,2,1)，C(3,1,4)，求：解：(1, 2,2)AC ，CAB求點(diǎn)在上的投影點(diǎn)坐標(biāo)。32 23 16(,)999H 。( 2, 1,4)AC ，ACAB 在上的正射影為2424442()( 2, 2, 1)(,)9999AB ACABAB 。( , , )H x y z令投影點(diǎn)442(4,3,2)(,)999AHxyx 32 23 16( , , )(,)999H x y z 所求 。ABCH馬上練習(xí)：設(shè)A(4,3,2)，B(2,1,1)，C(2,2,6)，Ans：解：( 2

19、, 2, 1)AB ，ababab 任意兩非零向量與，不等式恆成立，ab 設(shè)兩向量與的夾角為 ，coscos1abab 由，且cosababab abab 即，cos1且當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，0180/ /ab 或。一、柯西不等式：1./ /ab 且等號(hào)成立於時(shí)。證明：111222( ,)(,)ax y zbxyz若，abab 由注意：22222212121 2111222x xy yz zxyzxyz222222212121 2111222()()()x xy yz zxyzxyz即，111222xyzxyz且等號(hào)成立於 111222( ,)(0,0,0)(,)(0,0,0)x y zxyz或或 。

20、( ,2 ,3 )(1,1,1)axyzb令， ，abab 由柯西不等式，2222222(23 )(49)(111 )xyzxyz得2(23 )3 3xyz 3233xyz 23(/ /)111xyzab 故23323111xyzxyz解111 , 23xyz此時(shí)， 。2. 範(fàn)例：已知三實(shí)數(shù) x，y，z 滿足 x2+4y2+9z2=3，求 x+2y+3z 的最大值，及此時(shí)的 x，y，z 的值。解：所以 x+2y+3z 有最大值 3，此時(shí)等號(hào)成立，( , 2 , 3 )(1, 2, 3)axyzb令， ，abab 由柯西不等式，2222222(23 )(23) 1( 2)( 3)xyzxyz得2

21、(23 )6 6xyz6236xyz 23123xyz故，236xyzxyz 解1 1 , 1xyz 此時(shí)， 。解：馬上練習(xí)：已知三實(shí)數(shù) x，y，z 滿足 x2+2y2+3z2=6，求 x+2y+3z 的最小值，及此時(shí)的 x，y，z 的值。Ans：最小值6，此時(shí) x= 1，y = 1，z = 1。所以 x+2y+3z 有最小值 6，此時(shí)等號(hào)成立，( , , )(1,1,1)ax y zb令， ，abab 由，2222222()()(111 )xyzxyz得222212() 3xyz22248xyz 。111xyz故。12111xyzxyz解xyz3. 範(fàn)例：由周長12之三角形的三邊分別向外作正方形，如圖。問當(dāng)三角形為何種三角形