計算方法習(xí)題集

1、緒論(一)考核知識點(diǎn)誤差的來源類型；絕對誤差和絕對誤差限，相對誤差和相對誤差限，有效數(shù)字；絕對誤差的傳播。(二)復(fù)習(xí)要求1.知道產(chǎn)生誤差的主要來源。2.了解絕對誤差和絕對誤差限、相對誤差和相對誤差限和有效數(shù)字等概念以及它們之間的關(guān)系。3.知道四則運(yùn)算中的誤差傳播公式。一、重點(diǎn)內(nèi)容一個物理量的真實(shí)值和我們算出的值往往不相等，其差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的，主要有：模型誤差，觀測誤差，截斷誤差，舍入誤差。在計算方法中主要討論的是截斷誤差和舍入誤差。誤差：設(shè)精確值x*的近似值為x，差exx*稱為近似值x的誤差(絕對誤差)。誤差限近似值x的誤差限e是誤差e的一個上界，即|e|xx*|。相對誤差

2、er是誤差e與精確值x*的比值，。常用計算。相對誤差限是相對誤差的最大限度，常用計算相對誤差限。有效數(shù)字如果近似值x的誤差限是它某一個數(shù)位的半個單位，我們就說x準(zhǔn)確到該位。從這一位起到前面第一個非0數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為x的有效數(shù)字。二、難點(diǎn)內(nèi)容(1)設(shè)精確值x*的近似值x，x±0.a1a2an×10m，a1，a2，an是09之中的自然數(shù)，且a10，|xx*|0.5×10ml，1ln。則x有l(wèi)位有效數(shù)字。(2)設(shè)近似值x±0.a1a2an×10m有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限(3)設(shè)近似值x±0.a1a2an×10m的相對誤

3、差限不大于則它至少有n位有效數(shù)字。(4)要求精確到103，取該數(shù)的近似值應(yīng)保留4位小數(shù)。三、例題例1設(shè)x*=p=3.1415926近似值x=3.140.314×101,即m=1，它的誤差是0.0015926，有，即n=3，故x=3.14有3為有效數(shù)字。x=3.14準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。近似值x=3.1416，它的誤差是0.0000074，有，即m=1,n5，x=3.1416有5位有效數(shù)字。近似值x=3.1415，它的誤差是0.0000926，有即m=1，n4，x=3.1415有4位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五

4、入得到的，那么該數(shù)有s位或s1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對誤差限和相對誤差限：2.0004解因?yàn)閤1=2.00040.20004×101,它的誤差限0.00005=0.5×1015，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效數(shù)字.相對誤差限x2=0.00200，誤差限0.000005，因?yàn)閙=2，n=3，x2=0.00200有3位有效數(shù)字。相對誤差限er=0.00005/0.00200=0.25%。x3=9000，絕對誤差限為0.5，因?yàn)閙=4,n=4,x3=9000有4位有效數(shù)字，相對誤差限er0.5/9000=0.0056%x4=9000.

5、00，絕對誤差限0.005，因?yàn)閙=4，n=6，x4=9000.00有6位有效數(shù)字，相對誤差限為er=0.005/9000.00=0.000056%由x3與x4可以看到小數(shù)點(diǎn)之后的0，不是可有可無的，它是有實(shí)際意義的。例3ln2=0.69314718，精確到103的近似值是多少？解精確到1030.001，即絕對誤差限是e0.05,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。Ln2»0.693。例4如何去設(shè)計一個好的算法？答：一個好的算法必須滿足：1、計算步驟簡化以減少運(yùn)算次數(shù)及誤差積累；2、避免兩個相同號數(shù)數(shù)值相近的數(shù)相減；3、計算若干同號數(shù)時的和,按絕對值增大的順序相加；4、避免乘除法中數(shù)值絕

6、對值過大或過?。?、防止大數(shù)吃掉小數(shù)；6、選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。四、練習(xí)題1.設(shè)某數(shù)x*，它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差是_。2.設(shè)某數(shù)x*,它的精確到104的近似值應(yīng)取小數(shù)點(diǎn)后_位。3.()的3位有效數(shù)字是0.236×102。(A)235.54×101(B)235.418(C)2354.82×102(D)0.0023549×1034.設(shè)a*=2.718181828，取a=2.718,則有(),稱a有四位有效數(shù)字。(A)(B)(C)(D)5.設(shè)某數(shù)x*,對其進(jìn)行四舍五入的近似值是(),則它有3位有效數(shù)字，絕對誤差限是。(A)0.315(B)0.

7、03150(C)0.0315(D)0.003156.以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，相對誤差限為。(A)0.01234(B)12.34(C)2.20(D)0.2200五、練習(xí)題答案該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。2.四3.(A)4.(B)5.(C)6.(D)方程求根(一) 考核知識點(diǎn)二分法；迭代法牛頓法；弦截法。(二)復(fù)習(xí)要求1.知道有根區(qū)間概念，方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)有根的充分條件。2.掌握方程求根的二分法；二分法及二分次數(shù)公式，迭代法及其收斂性。3.熟練掌握牛頓法，掌握初始值的選擇條件。4.掌握弦截法。一、重點(diǎn)內(nèi)容1.二分法:設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b內(nèi)有根，用二分有根區(qū)間的方法，得

8、到有根區(qū)間序列：x*xn=(a0a，b0b)，n0，1，2，有誤差估計式：½x*xn½，n0，1，2，二分區(qū)間次數(shù)：2.牛頓法：用切線與x軸的交點(diǎn)，逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為（n1，2，），選初始值x0滿足f(x0)f²(x0)0，迭代解數(shù)列一定收斂。3.弦截法:用兩點(diǎn)連線與x軸交點(diǎn)逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為(n1，2，)二、難點(diǎn)內(nèi)容：（1）、迭代法概念:若方程f(x)0表成xj(x)，于是有迭代格式：xnj(xn1)（n1，2，），x*xn，存在0l1,|¢j(x)|£l，在區(qū)間a,b內(nèi)任一點(diǎn)為初始值進(jìn)行迭代，迭代

9、數(shù)列收斂。（2）定理一：設(shè)在區(qū)間【a,b】上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足如下兩個條件：當(dāng)時，；存在正常數(shù)L<1，使得對任意有。則 方程f(x)=0在區(qū)間【a,b】上有唯一根； 對任意，迭代格式xj(x)收斂，且；（3）定理二：設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間【a,b】內(nèi)有根x*,且當(dāng)時，則對任意初始值，且，迭代格式xj(x)發(fā)散。(4)定理三（局部收斂）：設(shè)方程xj(x)有根x*,且在x*的某個鄰域內(nèi)j(x)存在一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時，迭代公式局部收斂；當(dāng)時，迭代公式發(fā)散。(5)迭代序列收斂階的概念若存在0l1，|¢j(x)|£l，在區(qū)間a,b內(nèi)任一點(diǎn)為初始值進(jìn)行迭代，迭代數(shù)列

10、收斂。設(shè)迭代序列收斂于，如果存在實(shí)數(shù)與正常數(shù)c，使得,則稱序列是階收斂于。特別地，當(dāng)時，稱序列為線性（一次）收斂；為線性收斂時，必須要求。當(dāng)時，稱序列為平方（二次）收斂；當(dāng)時，稱序列為超線性收斂；收斂階越大，則序列與的誤差縮減越快，也就是序列收斂越快。(6)定理四：若j(x)在x*附近的某個鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，且對一個任意靠近x*的初始值，迭代公式是p階收斂的。三、例題例1證明方程1xsinx0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不超過0.5×104的根要迭代多少次？證明令f(x)1xsinx，f(0)=1>0，f(1)=sin1<0f(x)=1xsinx=0在0

11、，1有根。又f¹(x)=-1cosx<0(xÎ0.1),故f(x)0在區(qū)間0，1內(nèi)有唯一實(shí)根。給定誤差限e0.5×104，有，只要取n14。例2用迭代法求方程x54x20的最小正根，計算過程保留4位小數(shù)。分析容易判斷1，2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式，此時迭代發(fā)散。建立迭代格式，此時迭代收斂。解建立迭代格式，。取1.5185。例3試建立計算的牛頓迭代格式，并求的近似值，要求迭代誤差不超過106。分析首先建立迭代格式.確定取幾位小數(shù)，求到兩個近似解之差的絕對值不超過106。解令，求x的值.牛頓迭代格式為。迭代誤差不超過106，計算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng)

12、x=7或8時，x3=343或512，,取x0=8,有，于是，取7.439760例4用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根.計算中保留5位小數(shù)點(diǎn).分析先確定有根區(qū)間.再代公式.解f(x)=x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根區(qū)間取1,2。迭代公式為(n=1,2,)取x1=2,取1.46553，f(1.46553)»0.000145例4選擇填空題1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若滿足_，則方程f(x)=0在區(qū)間a,b一定有實(shí)根。答案：f(a)f(b)<02.用簡單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表成x=j(x),則f(x)=0的根是()(A

13、)y=x與y=j(x)的交點(diǎn)(B)y=x與y=j(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=j(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)答案：(B)3.為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是()。(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代發(fā)散。在(B)中，故迭代收斂。在(C)中，故迭代收斂。在(D)中，類似證明，迭代收斂.4牛頓切線法是用曲線f(x)上的_與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的_與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)0的解。答案：點(diǎn)的切線；兩點(diǎn)的連線四、練

14、習(xí)題1.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)的根xn，已知誤差限e，確定二分的次數(shù)n是使()。(A)ba£e(B)½f(x)½£e(C)½x*xn½£e(D)½x*xn½£ba2.設(shè)方程f(x)=x42x=0，在區(qū)間1,2上滿足_,所以f(x)=0在區(qū)間1,2內(nèi)有根。建立迭代公式，因?yàn)開，此迭代公式發(fā)散。3.牛頓切線法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0滿足()，則解的迭代數(shù)列一定收斂。(A)<0(B)>0(C)£0(D)³04.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,

15、b內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)<0,當(dāng)_時，則用弦截法產(chǎn)生的解數(shù)列收斂到方程f(x)=0的根。5.用二分法求方程x3x1=0在區(qū)間1.0,1.5內(nèi)的實(shí)根,要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。6.試用牛頓切線法導(dǎo)出下列各式的迭代格式：(1)不使用除法運(yùn)算；(2)不使用開方和除法運(yùn)算。五、練習(xí)題答案1.(C)2.;>13.(B)4.f¢(x)¹06.(1)線性方程組的數(shù)值解法(一)考核知識點(diǎn)高斯順序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯賽德爾迭代法；消去法消元能進(jìn)行到底的條件，迭代解數(shù)列收斂的條件。(二)復(fù)習(xí)要求1.知道高斯消去法的基本思想，熟練掌握高斯順序消去法和

16、列主元消去法。2.掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法。3.知道解線性方程組的高斯消去法消元能進(jìn)行到底的條件，知道迭代解數(shù)列收斂概念和上述兩種迭代法的收斂性的充分條件。一、重點(diǎn)內(nèi)容1.高斯消去法：解線性方程組AXb，對增廣矩陣順序作初等行變換，使矩陣A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中，。注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性。2.列主元消去法：在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元，(k1，2，3，n1)把第r行作為主方程，做第k次消元。把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解。3.LU公式法 其中4.雅可比迭代

17、法：解線性方程組AXb的雅可比迭代法公式為(k0，1，2，)4.高斯賽德爾迭代法：解線性方程組AXb的高斯賽德爾迭代法公式為(i1，2，n；k0，1，2，)二、難點(diǎn)內(nèi)容：解的收斂性定理（1）高斯消去法消元過程能進(jìn)行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0。（2）(迭代法基本定理)：設(shè)線性方程組XBXf對于任意初始向量X(0)及任意f，對應(yīng)此方程組的迭代公式：X(k1)B(k)Xf，收斂的充分必要條件是,其中i(i1，2，n)為迭代矩陣B的特征根。當(dāng)i為復(fù)數(shù)時，|i|表示i的模。（3）(迭代法收斂的充分條件)設(shè)線性方程

18、組AXb，(1)若A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法收斂；(2)若A為對稱正定矩陣，則高斯賽德爾迭代法收斂。注：設(shè)矩陣Aaijn，若則稱矩陣A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。三、例題例1用順序消去法解線性方程組解順序消元于是有同解方程組回代得解：x3=1,x2=1,x1=1,原線性方程組的解為X(1,1,1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解建立迭代格式：(k=1,2,3,)第1次迭代,k=0：X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T,第2次迭代，k=1：，X(2)(5,3,3)T；第3次迭代，k=2：，X(3)(1,1,1)T；第4次迭代，k

19、=3：，X(4)(1,1,1)T；例3填空選擇題：1.用高斯列主元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2，3個方程分別為。解選a21=2為主元，作行互換，第1個方程變?yōu)椋?x1+2x2+3x3=3，消元得到是應(yīng)填寫的內(nèi)容。2.用選主元的方法解線性方程組AXb，是為了()。(A)提高計算速度(B)減少舍入誤差(C)減少相對誤差(D)方便計算答案：選擇(B)3.用高斯賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中(k=0,1,2,)答案：解答：高斯賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求x2的值時應(yīng)該用x1的新值。4.當(dāng)a()時，線性方程組的迭代解一定收斂。(A)>6(B)=6(C)<6(D)

20、>½6½答案：(D)解答：當(dāng)½a½>6時，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，由定理6，迭代解一定收斂。四、練習(xí)題1.用高斯列主元消去法解線性方程組2.用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。3.證明線性方程組的迭代解收斂。4.用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進(jìn)行到底的充分必要條件是.。5.用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為()。(A)3(B)4(C)4(D)9五、練習(xí)題答案1、X(4，1，2)T2、(4.66619,7.61897,9.07452)T3、提示：系數(shù)矩陣

21、是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。4、線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0。5、(C)函數(shù)插值與曲線擬合(一)考核知識點(diǎn)插值函數(shù)，插值多項(xiàng)式，被插值函數(shù)，節(jié)點(diǎn)；拉格朗日插值多項(xiàng)式：插值基函數(shù)；差商及其性質(zhì)，牛頓插值多項(xiàng)式；線性擬合、二次擬合。(二)復(fù)習(xí)要求1.了解插值函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)等概念。2.熟練掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式的公式，知道拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)。3.掌握牛頓插值多項(xiàng)式的公式，了解差商概念和性質(zhì)，掌握差商表的計算，知道牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。4.了解線性擬合和二次多項(xiàng)式擬合的方法。一、重點(diǎn)內(nèi)容求插值多項(xiàng)式的基本思想：設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)。已知它在上個互不相同的點(diǎn)處的值。如果多項(xiàng)式在點(diǎn)上滿足，

22、則稱是函數(shù)的插值多項(xiàng)式。1.函數(shù)插值：已知函數(shù)f(x)的n個函數(shù)值ykf(xk)，k0，1，2，n。構(gòu)造一個多項(xiàng)式P(x)，使得P(xk)yk。P(x)就是插值多項(xiàng)式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點(diǎn)。誤差R(x)f(x)P(x)。2.拉格朗日多項(xiàng)式：稱n次多項(xiàng)式Pn(x)y0l0y1l1ynln為拉格朗日插值多項(xiàng)式，其中基函數(shù)當(dāng)n1時，線性插值P1(x)yklk(x)yk+1lk+1(x)，其中基函數(shù)。當(dāng)n2時，得到二次多項(xiàng)式，就是二次插值。拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為，其中(a，b)。3.差商與牛頓插值多項(xiàng)式：函數(shù)值與自變量的差商就是差商，一階差商(或記作fx0，x1)；二階差商(或記

23、作fx0，x1，x2)性質(zhì)n階差商可以表示成n+1個函數(shù)值的線 性組合，即f=當(dāng)n=1時，當(dāng)n=2時，注：差商有兩條常用性質(zhì)：(1)差商用函數(shù)值的線性組合表示；(2)差商與插值節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)。用差商為系數(shù)構(gòu)造多項(xiàng)式，就是牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)f(x0)fx0，x1(xx0)fx0，x1，x2(xx0)(xx1)fx0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn-1)牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為Rn(x)f(x)Nn(x)fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)。4.分段線性插值已知n1個互異節(jié)點(diǎn)x0，x1，xn構(gòu)造一個分段一次的多項(xiàng)式P(x)，且滿

24、足：(1)P(x)在a，b上連續(xù)；(2)P(xk)yk(k0，1，2，n)；(3)P(x)在xk，xk+1上是線性函數(shù)。分段線性插值函數(shù)其中l(wèi)k(x)(k0，1，2，n)是分段線性插值基函數(shù)。(i1，2，n1)5.三次樣條插值函數(shù)(k0，1，2，n1)(xkxxk1)其中S²(xk)mk(k0，1，2，n)，hkxk+1xk(k0，1，2，n1)，m0，m1，mn滿足的方程組是(*)其中：，(k1，2，n1)(1)當(dāng)已知S¢(x0)y¢0，S¢(xn)y¢n時，(*)式中m01，ln1，(2)當(dāng)已知S²(x0)y²0m0，S

25、²(xn)y²nmn時，(*)式化為6、最小二乘法用j(x)擬合數(shù)據(jù)(xk，yk)(k1，2，n)，使得誤差的平方和為最小，求j(x)的方法，稱為最小二乘法。(1)直線擬合若，a0，a1滿足法方程組(2)二次多項(xiàng)式擬合若，a0，a1，a2滿足法方程組三、例題例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk2045yk5131試構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式Pn(x)，并計算P(1)。只給4對數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過3次解:先構(gòu)造基函數(shù)所求三次多項(xiàng)式為P3(x)=。P3(1)例2已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第1，2列。計算它的各階差商。解依據(jù)差商計算公式，結(jié)果列表中。kXkf(xk)一階差商

26、二階差商三階差商四階差商00.400.4107510.550.578151.1160020.650.696751.168000.2800030.800.888111.275730.358930.1973340.901.201521.384100.433480.213000.03134計算公式為一階差商二階差商三階差商四階差商例3設(shè)是n+1個互異的插值節(jié)點(diǎn)，是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：(1)(2)證明(1)Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln=當(dāng)f(x)º1時，1由于，故有(2)對于f(x)=xm,m=0,1,2,n，對固定xm(0£m£n),作拉格朗日插值多項(xiàng)

27、式，有當(dāng)n>m1時，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以。注意：對于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,利用上結(jié)果，有：=可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式在n+1個互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例4已知函數(shù)ex的下列數(shù)據(jù)x0.100.150.250.30ex0.9048370.8607080.7788050.740818用分段線性插值法求x=0.2的近似值。解用分段線性插值，先求基函數(shù)。，所求分段線性插值函數(shù)為所以，e0.2=P(0.2)=0.81907×0.2+0.983569=0.819755。例5選擇填空題1.設(shè)y=f(x),只

28、要x0,x1,x2是互不相同的3個值，那么滿足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)是(就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因?yàn)檫^3個互異節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式是不超過2次的。設(shè)P(x)=a2x2+a1x+a0,a2,a1,a0是待定數(shù)。P(xk)=yk,即這是關(guān)于a2,a1,a0的線性方程組，它的解唯一，因?yàn)橄禂?shù)行列式所以，不超過2次的多項(xiàng)式是唯一的。2.通過四個互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式P(x)，只要滿足(),則P(x)是不超過一次多項(xiàng)式。(A)初始值y0=0(B)一階差商為0(C)二階差商為0(D)三階差商為0答案：(C)解答：因?yàn)槎A差商為0，那么牛頓插值多項(xiàng)式為N(x)

29、=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超過一次的多項(xiàng)式。3.拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是()(A)(B)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(C)(D)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。見教材有關(guān)公式。例6已知數(shù)據(jù)如表的第2，3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解計算列入表中。n=5。a0,a1滿足的法方程組是解得a0=2.45,a1=1.25。所求擬合直線方程為y=2.45+1.25xkxkykxkyk11414224.5493369184481632558

30、.52542.5S153155105.5例7設(shè)是以0，1，2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，則,b,c應(yīng)取何值?解由定義給出的條件，在這(n-1)個內(nèi)點(diǎn)上應(yīng)滿足故在處由及連續(xù)，可得解得=-2,b=3,c=-1.此時s(x)是0,2上的三次樣條函數(shù)。四、練習(xí)題1.已知函數(shù)y=f(x),過點(diǎn)(2,5),(5,9),那么f(x)的線性插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為。2.過6個插值節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)l4(x)。3.已知多項(xiàng)式P(x)，過點(diǎn)(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3階差商為常數(shù)1，一階，二階差商均不為0，那么P(x)是()(A)二次多項(xiàng)式(B)不超過二

31、次的多項(xiàng)式(C)3次多項(xiàng)式(D)四次多項(xiàng)式4.已知y=f(x)的差商,。那么f(x4,x2,x0)=()(A)5(B)9(C)14(D)85.求過這三個點(diǎn)(0,1),(1,2),(2,3)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。6.構(gòu)造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項(xiàng)式，并求f(0.596)的近似值。7.設(shè)l0(x)是以n+1個互異點(diǎn)x0,x1,x2,xn為節(jié)點(diǎn)的格朗日插值基函數(shù)試證明：8、已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。x2.57.510y4.07.05.0y¢0.130.139.求數(shù)據(jù)擬合的直線方程y=a0+a1x的系數(shù)a0,a1是使最小。10.已知數(shù)據(jù)對(7,3.1),(8,4.9)

32、,(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),(12,6.4),(13,5.9)。試用二次多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)。11._ ，_。五、練習(xí)題答案1. 2.3、C4.B5.x+16.給定五對點(diǎn)，牛頓多項(xiàng)式是不超過4次的多項(xiàng)式。N4(x)=0.41075+1.11600(x0.55)+0.28000(x0.40)(x0.55)+0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)將x=0.596代入牛頓多項(xiàng)式N4(x)中，得到：f(0.596)»N(0.596)=0.631957.提示：求l0(x)的

33、牛頓插值多項(xiàng)式。89.10.y=0.145x2+3.324x12.794 11.1,0數(shù)值積分與微分(一)考核知識點(diǎn)數(shù)值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)，代數(shù)精度；插值型求積公式，牛頓科茨求積公式，科茨系數(shù)及其性質(zhì)，(復(fù)化)梯形求積公式，(復(fù)化)拋物線求積公式。(二)復(fù)習(xí)要求1.了解數(shù)值積分和代數(shù)精度等基本概念。2.了解牛頓¾科茨求積公式和科茨系數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握并推導(dǎo)(復(fù)化)梯形求積公式和(復(fù)化)拋物線求積公式。一、重點(diǎn)內(nèi)容1.插值型數(shù)值積分梯形公式 ,截斷誤差：R1f辛樸生公式 ,截斷誤差：科特斯公式截斷誤差：2、復(fù)化梯形公式截斷誤差：，M2復(fù)化辛樸生公式截斷誤差：，復(fù)化科特斯求積公

34、式截斷誤差：3龍貝格求積公式4.微分公式(1)等距節(jié)點(diǎn)兩點(diǎn)求導(dǎo)公式：(k0，1，2，n1)(2)等距節(jié)點(diǎn)三點(diǎn)求導(dǎo)公式：(k1，2，n1)三、例題例1試確定求積公式的代數(shù)精度。依定義，對xk(k=0,1,2,3,)，找公式精確成立的k數(shù)值解當(dāng)f(x)取1,x,x2,計算求積公式何時精確成立.(1)取f(x)=1,有左邊,右邊(2)取f(x)=x,有左邊,右邊(3)取f(x)=x2,有左邊=,右邊=(4)取f(x)=x3,有左邊=,右邊=(5)取f(x)=x4,有左邊=,右邊=當(dāng)k£3求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)。例2試用梯形公式、辛卜生公式和科特斯公式

35、計算定積分(計算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計算(2)用辛卜生公式(3)用科特斯公式系數(shù)為如果要求精確到105，用復(fù)化辛卜生公式，截斷誤差為½RNf½，,N³2只需把0.5,14等分，分點(diǎn)為0.5,0.625,0.75,0.875,1例3用三點(diǎn)高斯勒讓德求積公式計算積分高斯型求積公式只能計算1,1上的定積分解做變量替換，查表得節(jié)點(diǎn)±0.774596669和0；系數(shù)分別為0.5555555556和0.8888888889+0.888888889×0.94083124注：該積分準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后七位是0.9460831，可見高斯型求積公式的精度

36、是高的.教材的第12章12.2節(jié)，用多種方法計算過該積分，它們的精度請讀者自行比較.例4用三點(diǎn)公式計算在x=1.0,1.1,1.2處的導(dǎo)數(shù)值。已知函數(shù)值f(1.0)=0.250000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206612解三點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式為k=1,2,3,n1本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1.于是有計算例5選擇填空題1.科特斯求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)是？解答：科特斯求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。2.如果用

37、復(fù)化梯形公式計算定積分，要求截斷誤差的絕對值不超過0.5×104，試問n³()(A)41(B)42(C)43(D)40答案：(A)解答；復(fù)化的梯形公式的截斷誤差為，n=40.8,取n³41.故選擇(A)。四、練習(xí)題1.試確定求積公式的待定參數(shù)，使求積公式的代數(shù)盡可能的高。2.用復(fù)化辛卜生公式計算定積分取n=4,保留4位有效數(shù)字。3.試用四點(diǎn)(n=3)高斯勒讓德求積公式計算積分。4. 若用復(fù)化辛卜生公式計算積分,要求截斷誤差的絕對值不超過0.5×104，試問n³()(A)1(B)2(C)4(D)35.用三點(diǎn)高斯勒讓德求積公式計算積分，是有代數(shù)精度

38、的。五、練習(xí)題答案1.A0=A2=1/3,A13.3.1416244.(B)5.5次常微分方程的數(shù)值解法(一)考核知識點(diǎn)歐拉公式，改進(jìn)歐拉法，局部截斷誤差；龍格庫塔法，局部截斷誤差。(二)復(fù)習(xí)要求1.掌握歐拉法和改進(jìn)的歐拉法(梯形公式、預(yù)報校正公式和平均形式公式)，知道其局部截斷誤差。2.知道龍格¾庫塔法的基本思想。知道二階、三階龍格¾庫塔法。掌握四階龍格庫塔法，知道龍格¾庫塔法的局部截斷誤差。一、重點(diǎn)內(nèi)容常微分方程數(shù)值解法的基本思想是：在常微分方程初值問題解的存在區(qū)間a,b內(nèi)，取n+1個節(jié)點(diǎn)a=x0x1xN=b（其中差hn=xnxn-1稱為步長，一般取h為常數(shù)，

39、即等步長），在這些節(jié)點(diǎn)上把常微分方程的初值問題離散化為差分方程的相應(yīng)問題，再求出這些點(diǎn)的上的差分方程值作為相應(yīng)的微分方程的近似值（滿足精度要求）。一階微分方程初值問題，該問題的解是在區(qū)間內(nèi)的一個可微函數(shù),而數(shù)值解是該區(qū)間內(nèi)離散的點(diǎn)上的的近似值，即將區(qū)間等分，。一、 歐拉方法：格式：。特點(diǎn):(1)、單步方法；(2)、顯式格式；(3)、局部截斷誤差因而是一階精度。局部截斷誤差：當(dāng)是精確解下，由按照歐拉方法計算出來的的誤差稱為局部截斷誤差。即，。則稱為局部截斷誤差。即是局部截斷誤差。換言之，局部截斷誤差是差分格式中均換成精確解時，所截斷部分，即局部截斷誤差。由，則歐拉格式是將項(xiàng)截斷得：。因此局部截斷

40、誤差是。二、改進(jìn)歐拉方法：1、 格式：2、 特點(diǎn):(1)、是單步方法；(2)、局部截斷誤差是因而是二階精度，截斷余項(xiàng)得改進(jìn)歐拉格式，所以局部截斷誤差是；(3)、是隱式格式，無法從格式中直接求出必須要解方程。3、用預(yù)測校正方法來求隱式格式中的。，三、RungeKutta法：二階RungeKutta方法：取，則，則,得二階龍格庫塔法為：三階RungeKutta方法：，局部截斷誤差，具有三階精度。取，得:，此方法稱為Kutta方法。三階龍格-庫塔法公式的局部截斷誤差為（h4）。四階RungeKutta方法：，截斷誤差，達(dá)到四階精度。?。哼@樣就得到格式稱為古典龍格庫塔格式，書上稱為標(biāo)準(zhǔn)龍格庫塔方法，其

41、格式為：三、例題例1用歐拉法解初值問題，取步長h=0.2.計算過程保留6位小數(shù)。解h=0.2,f(x)=yxy2.首先建立歐拉迭代格式當(dāng)k=0，x1=0.2時，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(40×1)0.8當(dāng)k1，x2=0.4時，已知x1=0.2,y1=0.8，有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(40.2×0.8)0.6144當(dāng)k=2，x3=0.6時，已知x2=0.4,y2=0.6144，有y(0.6)»y3=0.2×0.6144×(40.4×0.461

42、3)0.8例2用歐拉預(yù)報校正公式求解初值問題，取步長h=0.2,計算y(0.2),y(0.4)的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位.解步長h=0.2,此時f(x,y)=yy2sinx歐拉預(yù)報校正公式為：有迭代格式：當(dāng)k=0，x0=1,y0=1時，x1=1.2，有當(dāng)k=1，x1=1.2,y1=0.71549時，x2=1.4，有例3寫出用四階龍格庫塔法求解初值問題的計算公式，取步長h=0.2計算y(0.4)的近似值.至少保留四位小數(shù).解此處f(x,y)=83y,四階龍格庫塔法公式為其中k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)本例計算公式為：其中k1=83yk；k2=5.62.1yk；k3=6.322.37yk;k4=4.2081.578yk當(dāng)x0=0,y0=2,例4：步長，0.21.00000.96078940.03920.40.92000.85214370.06790.60.77280.69767630.07510.80.5873280.52729240.06001.00.3993830.36787940.03151.20.23962980.23692770.0027例5