用正弦定理解三角形需要已知哪些條件

1、用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？用正弦定理解三角形需要已知哪些條件？ 已知三角形的兩角和一邊，或者是已知兩邊和其中一邊的已知三角形的兩角和一邊，或者是已知兩邊和其中一邊的對角。對角。 那么，如果在一個三角形（非直角三角形）中，已知兩那么，如果在一個三角形（非直角三角形）中，已知兩邊及這兩邊的夾角邊及這兩邊的夾角(非直角），能否用正弦定理解這個三角非直角），能否用正弦定理解這個三角形，為什么？形，為什么？正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 sinsinsinabcABC復習回顧復習回顧 不能，在正弦定理不能，在正弦

2、定理 中，已知兩邊及中，已知兩邊及這兩邊的夾角，正弦定理的任一等號兩邊都有兩個未知量。這兩邊的夾角，正弦定理的任一等號兩邊都有兩個未知量。sinsinsinabcABC余弦正理余弦正理勾股定理：勾股定理： 即即222c ab222CB ACAB 余弦定理作為勾股定理的推廣，那么我們可以借助勾余弦定理作為勾股定理的推廣，那么我們可以借助勾股定理來證明余弦定理。股定理來證明余弦定理。CBAabc在三角形在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A,求求BCABCcba222CDBDa22( sin )(cos )bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcA

3、cb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab 當然，對于鈍角三角形來說，證明類似，課后當然，對于鈍角三角形來說，證明類似，課后 自己做上作業(yè)本。自己做上作業(yè)本。D22AB ACCB 222AB ACACAB 222COSAB ACAACAB AC BC BA AB CB CA 同理，同理，從從 出發(fā)，出發(fā)， 證得證得 從從 出發(fā)，證得出發(fā)，證得2222cosacBcba2222cosabCbca 證明：證明：CB AB AC 那么，學過向量之后，能否用向量的方法給予證明呢？那么，學過向量之后，能否用向量的方法給予證明呢？已知已知AB,AC和它們的夾角和它們的夾角A，

4、求，求CB2222cosbcAacb即即CBA余弦定理：余弦定理：2222cosbcAacb2222cosacBcba2222cosabCbca用語言描述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的用語言描述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和平方和, 再減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。再減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。若已知若已知b=8,c=3,A= ,能求能求a嗎？嗎？602222cosbcAacb22602 8 3 cos49378a 它還有別的用途么，若已知它還有別的用途么，若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？2222coscabbcA2222cosacbacB2222

5、cosacbabC余弦定理余弦定理的變形：的變形：歸納：歸納：利用余弦定理可以解決以下兩類有關三角形的問題利用余弦定理可以解決以下兩類有關三角形的問題： （1）已知三邊，求三個角）已知三邊，求三個角 （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，進而）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，進而還可求其它兩個角。還可求其它兩個角。例題分析：例題分析： 例例1、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求A，B，C（精確到（精確到 ）1分析：已知三邊，求三個角，可用余弦定理的變形來解決問題分析：已知三邊，求三個角，可用余弦定理的變形來解決問題解：解：22222271062 10 62c

6、os0.725cabbcA44A 222222761022 7 6cos0.178acbacB 100B 18036CA B 思考：思考：已知條件不變，將例已知條件不變，將例1稍做改動稍做改動 （1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定判定三角形三角形ABC的形狀的形狀分析：三角形分析：三角形ABC的形狀是由大邊的形狀是由大邊b所對的大角所對的大角B決定的。決定的。222(,)90 180cBba（2）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三角形三角形ABC的面積的面積分析：三角形的面積公式分析：三角形的面積公式 S= absi

7、nC = bcsinA= acsinB, 只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB）代入面積公式即可。）代入面積公式即可。121212 例例2、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,c= , 解這個三角形（邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到解這個三角形（邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到 ）28821分析：已知兩邊和兩邊的夾角分析：已知兩邊和兩邊的夾角解：解：2222cosabCbca222 2.730 3.696cos283.696822.730 4.297c 2222223.6964.2972.7

8、302 3.696 4.2972cos0.7767cabbcA232A 3018058BA B 總結總結（1）余弦定理適用于任何三角形）余弦定理適用于任何三角形（3）由余弦定理可知：）由余弦定理可知：22290Aacb22290Aacb22290Aacb（2）余弦定理的作用：）余弦定理的作用： a、已知三邊，求三個角、已知三邊，求三個角 b、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊，、已知兩邊及這兩邊的夾角，求第三邊，進而可求出其它兩個角進而可求出其它兩個角c、判斷三角形的形狀，求三角形的面積、判斷三角形的形狀，求三角形的面積練習一：一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（練習一：一鈍角三角形的

9、邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（ ） A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析：分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗哪一個選項要看哪一組符合要求，只需檢驗哪一個選項 中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。B中：中： ，所以，所以C是鈍角是鈍角222132442 2 3cosC D中：中： ，所以，所以C是銳角，是銳角， 因此以因此以4，5，6為三邊長的三角形是銳角三角形為三邊長的三角形是銳角三角形222156482 4 5cosC A、C顯然不滿足顯然不滿足B練習二：在三角形練習二：在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個角是最大角。由