函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（Word）

1、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）【專題要點】1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.高考資源網(wǎng)2. 了解函數(shù)的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質簡化函數(shù)圖像的繪制過程3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系.4.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質.5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質.6.能夠運用函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質解決某些簡單的實際問題.【考綱要求】高考資源網(wǎng)1通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模

2、型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；3通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用；4通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；1通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；高考資源網(wǎng)（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。函數(shù)的三要素函數(shù)的表示法函數(shù)的性質反函數(shù)函數(shù)的應用初等函數(shù)基本初等函數(shù)：冪函數(shù) ； 二次函

3、數(shù)指數(shù)函數(shù)； 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)映射函數(shù)（2）通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；1 / 13【典例精析】1.函數(shù)的性質與圖象函數(shù)的性質是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內容在復習中要肯于在對定義的深入理解上下功夫復習函數(shù)的性質，可以從“數(shù)”和“形”兩個方面，從理解函數(shù)的單調性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質的問題中得以鞏固，在求復合函數(shù)的單調區(qū)間、函數(shù)的最值及應用問題的過程中得以深化具體要求是：1正確理解函數(shù)單調性和奇偶性的定義，能準確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調性，能熟練運用定義證

4、明函數(shù)的單調性和奇偶性2從數(shù)形結合的角度認識函數(shù)的單調性和奇偶性，深化對函數(shù)性質幾何特征的理解和運用，歸納總結求函數(shù)最大值和最小值的常用方法3培養(yǎng)學生用運動變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法解決問題的能力函數(shù)的圖象是函數(shù)性質的直觀載體，函數(shù)的性質可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。因此，掌握函數(shù)的圖像是學好函數(shù)性質的關鍵，這也正是“數(shù)形結合思想”的體現(xiàn)。復習函數(shù)圖像要注意以下方面高考資源網(wǎng)1掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描點法和圖象變換法高考資源網(wǎng)2會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質，解決方程、不等式中的問題3用數(shù)形結合的思想、分類討論的思想和轉化變換的思想分析解

5、決數(shù)學問題4掌握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力例1、（2008廣東汕頭二模）設集合A=x|x1，B=x|log2x0，則AB=( ) Ax| x1Bx|x0Cx|x-1 Dx|x1【解析】:由集合B得x1 , AB=x| x1，故選（A） 。點評本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象的性質，是函數(shù)與集合結合的試題，難度不大，屬基礎題。例2、“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是 （

6、 ） A B C D【解析】：選（B），在（B）中，烏龜?shù)竭_終點時，兔子在同一時間的路程比烏龜短。點評函數(shù)圖象是近年高考的熱點的試題，考查函數(shù)圖象的實際應用，考查學生解決問題、分析問題的能力，在復習時應引起重視高考資源網(wǎng)例3、設 ，又記則 （ ）A； B； C； D；【解析】:本題考查周期函數(shù)的運算。，據(jù)此，因為型，故選.高考資源網(wǎng)點評本題考查復合函數(shù)的求法，以及是函數(shù)周期性，考查學生觀察問題的能力，通過觀察，關于總結、歸納，要有從特殊到一般的思想。例4、函數(shù)，若,則的值為 （ ）A.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】：為奇函數(shù)，又故即.點評本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學生觀察問題的能力，通

7、過觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過變換式子與學過的知識相聯(lián)系，使問題迎刃而解。例5、（2008廣東高考試題）設，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調性【解析】 對于，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；高考資源網(wǎng)當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；對于，當時，函數(shù)在上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。點評在處理函數(shù)單調性的證明時，可以充分利用基本函數(shù)的性質直接處理，但學習了導數(shù)后，函數(shù)的單調性就經常與函數(shù)的導數(shù)聯(lián)系在一起，利用導數(shù)的性質來處理函數(shù)的單調進性，顯得更加簡單、方便高考資源網(wǎng)2.二次函數(shù)二次函數(shù)是中學代數(shù)的基本內容之一，它既簡單又具有豐富的內涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調

8、性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學問題.同時，有關二次函數(shù)的內容又與近、現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展緊密聯(lián)系，是學生進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎. 因此，從這個意義上說，有關二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了. 學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合，這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法.例6、

9、設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當時，證明.【解析】：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式. 證明：由題意可知.， ，高考資源網(wǎng) 當時，.高考資源網(wǎng)又， ，綜上可知，所給問題獲證. 高考資源網(wǎng)點評：本題主要利用函數(shù)與方程根的關系，寫出二次函數(shù)的零點式例7、設二次函數(shù)，方程的兩根和滿足（I）求實數(shù)的取值范圍；高考資源網(wǎng)（II）試比較與的大小并說明理由【解析】法1：（）令，則由題意可得故所求實數(shù)的取值范圍是（II），令當時，單調增加，高考資源網(wǎng)當時，即法2：（I）同解法1高考資源網(wǎng)（II），由（I）知，又于是，即，故高考資源網(wǎng)法3：（I）方程，

10、由韋達定理得，于是故所求實數(shù)的取值范圍是高考資源網(wǎng)（II）依題意可設，則由，得，故點評本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質及二次不等式的解法，考查推理和運算能力3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)高考資源網(wǎng)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對蘊含其中的函數(shù)思想、等價轉化、分類討論等思想方法的理解與運用. 因此應做到能熟練掌握它們的圖象與性質并能進行一定的綜合運用.Oyx例8、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關系是（ ）高考資源網(wǎng)ABCD【解析】：由圖易得取特殊點 .選A.點評：本小題主要考查正確利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小例9、（2007全國高考試題）設，函數(shù)在區(qū)

11、間上的最大值與最小值之差為，則（）高考資源網(wǎng)A B CD【解析】：設，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，它們的差為， ，4，選D。例10、（2008全國高考試題）若，則（ ）ABC D 【解析】：由，令且取知4.反函數(shù)反函數(shù)在高考試卷中一般為選擇題或填空題，難度不大。通常是求反函數(shù)或考察互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質應用和圖象關系 主要利用方法為：反函數(shù)的概念及求解步驟：由方程y=(x)中解出x=j(y)；即用y的代數(shù)式表示x.。改寫字母x和y，得出y=-1(x)；求出或寫出反函數(shù)的定義域，（亦即y=(x)的值域）。 即反解互換求定義域互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象之間的關系，高考資源網(wǎng)互為反函數(shù)的

12、兩個函數(shù)性質之間的關系：注意：在定義域內嚴格單調的函數(shù)必有反函數(shù)，但存在反函數(shù)的函數(shù)在定義域內不一定嚴格單調，如y=。例11、（2007北京高考試題）函數(shù)的反函數(shù)的定義域為（）【解析】：函數(shù)的反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域為， 選B。高考資源網(wǎng)點評：本題考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)性質之間的關系，即：反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域例12、（2008湖南高考試題）設函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過點(1,2),則函數(shù)的圖象一定過點 .【解析】由函數(shù)的圖象過點(1,2)得: 即函數(shù)過點則其反函數(shù)過點所以函數(shù)的圖象一定過點高考資源網(wǎng)點評：本題考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象之間的關系以及圖象的平移

13、5.抽象函數(shù)抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值，特定的運算性質等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質，又能考查學生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題，（一） 函數(shù)性質法函數(shù)的特征是通過其性質(如奇偶性，單調性周期性，特殊點等)反應出

14、來的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設條件和隱含的性質，靈活進行等價轉化，抽象函數(shù)問題才能轉化，化難為易，常用的解題方法有:1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調性等價轉化;3，利用周期性回歸已知4;利用對稱性數(shù)形結合;5，借助特殊點，布列方程等.（二 ）特殊化方法高考資源網(wǎng)1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質時，一般用代換的方法，將x換成x等2、在求函數(shù)值時，可用特殊值代入3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對綜合題，的解答提供思路和方法. 高考資源網(wǎng)總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們如果能通過對題目的信息分析與研究，采用特殊的方法

15、和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，真有些山窮水復疑無路，柳暗花明又一村的快感. 高考資源網(wǎng)例13、定義在上的函數(shù)滿足（），則等于（ ）高考資源網(wǎng)A2B3C6D9解：令，令；令得6.函數(shù)的綜合應用高考資源網(wǎng)函數(shù)的綜合運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數(shù)量本質特征和制約關系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系因此，運動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運用函數(shù)思想解決有關數(shù)學問題的意識是運用函數(shù)思想的關鍵例14

16、、某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經測算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？高考資源網(wǎng)（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）【解析】：設樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得高考資源網(wǎng)則，令，即，解得當時，；當時，高考資源網(wǎng)因此，當時，取得最小值，元.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層。點評：這是一題應用題，利用函數(shù)與導數(shù)的知識來解決問題。利用導數(shù)，求函數(shù)的單調性、求函數(shù)值域

17、或最值是一種常用的方法.例15、某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件. 如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件高考資源網(wǎng)（I）將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；（II）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？高考資源網(wǎng)本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，以及運用函數(shù)、導數(shù)的知識解決實際問題的能力【解析】：（）設商品降價元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個星期的獲利為，則依題意有，又由已知條件，于是有，高考資源網(wǎng)所以（）根據(jù)（），我們有21200極小極大故時，達到極大值因為，所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大點評：本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，以及運用函數(shù)、導數(shù)的知識解決實際問題的能力7.函數(shù)的零點高考資源網(wǎng)例16、（2008山東荷澤模擬題）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是 ）AB（1，10）CD高考資源網(wǎng)解：因為f（1）010，f（10）10，即f（1）f（10）0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,10）之間有零點。點評：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）f（b）0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點，函數(shù)的零點，二分法，函數(shù)的應用都是函數(shù)的重點