1HPM視角下對一節(jié)

1、HPM視角下對一節(jié)韋達定理證明方法探究課的若干思考1、 引言：對于根與系數(shù)的關(guān)系問題，九年級人教A版教材，是以課后閱讀材料的形式呈現(xiàn)。而且教材中也只呈現(xiàn)了，利用已知方程的兩根，用求根公式法，證明了韋達定理。滬教版九年級下冊拓展課程，第一章第一節(jié)將韋達定理，用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系為標(biāo)題，對韋達定理給予了證明，并以例題將韋達定理加以了運用。其中該教材中所呈現(xiàn)的，韋達定理的證明方法，也是用求根公式加以證明的。但是，從整個中學(xué)數(shù)學(xué)體系中來看，特別是高中在解一元二次不等式以及圓錐曲線與直線方程聯(lián)立來探索其中某些數(shù)量關(guān)系時會經(jīng)常要用到韋達定理的。韋達定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位和應(yīng)用。本人有幸作為

2、訪問學(xué)者，來上海聆聽了，上海N教師的韋達定理證明方法探究課，有若干思考，和大家分享。有研究顯示，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的由來，可以幫助學(xué)生去理解數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)知識出現(xiàn)的必要性。通過古代數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生時的情境，可以給學(xué)生創(chuàng)造探究數(shù)學(xué)問題的情境，給學(xué)生探究問題的機會，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本節(jié)課設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）經(jīng)歷觀察、分析和發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，并導(dǎo)出定理的過程，獲得探索新知的體驗，感受一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的簡潔、和諧之美。（2）在參與數(shù)學(xué)活動和解決問題的過程中，領(lǐng)會化歸、整體代入和分類討

3、論等數(shù)學(xué)思想。（3）經(jīng)歷對韋達定理證明的探究過程，領(lǐng)會設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想。2、 教學(xué)過程：師：我們在初二時已經(jīng)學(xué)習(xí)了，一元二次方程的求根公式了。昨天，我給同學(xué)們發(fā)了課前學(xué)習(xí)單，其中有8個一元二方程，讓同學(xué)們自己尋找一元二次方程根與系數(shù)，到底有怎樣的關(guān)系。（評注：課前學(xué)習(xí)單的使用，為本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的達成，創(chuàng)造了條件）。師：問題1：你能總結(jié)出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系嗎？誰能寫到黑板上和大家分享一下？生：（板書）師：同學(xué)們，你們總結(jié)的規(guī)律跟她寫的一樣嗎？生：（齊答）一樣。師：問題2：我們通過8個方程總結(jié)出來的規(guī)律，能作為定理使用嗎？生：有回答“能”，也有回答“不能”。師：請回答不能的同學(xué)，回答一下

4、你的理由？生：我們的結(jié)論，是通過8個方程得出來的，有可能是特例，不一定可以使用于其他的一元二次方程。還需要證明，字母的證明。師：這位同學(xué)說得很好。（評注：這里教師及時的反饋學(xué)生的回答，很必要）為什么還要證明，我舉個例子，我們班一共有21位男生，18位女生，那么剛才上課時，如果，從外面走進教室的前8位都是男生，我能不能下結(jié)論，我們班全是男生，沒有女生呀？（評注：從學(xué)生的實際經(jīng)歷出發(fā)，讓學(xué)生深刻感知證明的必要性）生：不能。師：要想讓我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作為定理使用，還需要我們?nèi)ミM一步的證明。也就是 特例 規(guī)律 證明 定理 的過程。師：問題3：你是如何證明這個定理的呢？有沒有同學(xué)愿意到黑板上來展示一下，你

5、的證明過程？生：一女生用求根公式法，來展示，。師：（總結(jié)提煉板書 求根公式法） 問題4：你還有其他的證明方法嗎？請寫在黑板上和大家分享。（通過設(shè)置4個問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生做進一步的思考，把學(xué)生的思維引向更深入）生：（板書），設(shè)，。師：剛才這位同學(xué)，把一元二次方程進行了因式分解。所以這個證明方法，我們可以把它叫做因式分解法。（板書：因式分解，比較系數(shù)）。不過他的證明過程中，把設(shè)成了，把設(shè)成了，如果我們想把 和 設(shè)成和，我們可以怎么設(shè)上面的方程呢？生：設(shè)成 。師：很好。這樣的話，我們也可以得出結(jié)論 和。如果我們不用和，而是用和直接代替兩個根，可以嗎？生：可以的。師：（板書）可以寫成，展開得，對比

6、系數(shù)可得，。請問還有別的證明方法嗎？生：有師：請到前面來給大家展示一下。生：（板書）即：師：他的證明方法，同學(xué)們看出來沒有，是什么方法？生：還是因式分解法。師：我想問同學(xué)們，還有沒有其他的證明方法沒有？（教室里一片寂靜）那么請同學(xué)們看，若是方程的兩個根，則是不是一定有和。如果我們通過這兩個式子，相減，可以得到怎樣的結(jié)論呢？請大家小組討論一下，然后展示，你們的結(jié)論。生：兩式相減也能夠得到結(jié)論。，由式減去式得到，得，得或，得。師：（點評）他得到了兩種情況，我們要對這兩種情況，進行分類討論。若，則可以得到，則可以得到。若呢，則一定有，從而也可以得到。但是，他只證明出來了，但是沒有證出來等于多少呀？誰

7、能幫幫他呢？生：1、若，則，又有，2、 若，則由，代入從而可以得到。師：非常好。我們用了設(shè)出兩根，代入方程相減的方法推導(dǎo)出來韋達定理。設(shè)出了兩個根，但是我們并沒有把兩個根都求出來，這種方法，我們可以稱為，設(shè)而不求，代入相減。（板書設(shè)而不求，代入相減）（評注，通過教師的一個一個問題引導(dǎo)，學(xué)生得出了這種推導(dǎo)韋達定理的方法。設(shè)而不求，為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，做了很好的鋪墊，而且這些方法是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自己推導(dǎo)出來的，這種對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣激勵作用，對學(xué)生以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都有很好的助推作用）師：PPT展示數(shù)學(xué)史料：一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，又稱韋達定理。法國數(shù)學(xué)家韋達（1540-1603），在

8、研究和推廣這個定理中，做出了卓越的貢獻。韋達的推導(dǎo)方法-代入相減法：設(shè)方程的兩根為，代入方程得，得：，當(dāng)時，將代入，可得：。歐拉的推導(dǎo)方法-因式分解法設(shè)方程的兩根為，方程可以表示為，比較系數(shù)得：。師：事實上，我們不僅可以用求根公式證明韋達定理，我們還可以用韋達定理來推導(dǎo)求根公式。19世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯給出了如下的方法：（板書）設(shè)方程的兩根分別為，則由，可以得到與聯(lián)立得第三環(huán)節(jié)：學(xué)以致用：請同學(xué)思考下面的問題，實際上，韋達不僅推導(dǎo)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，還研究了高次方程。你可以根據(jù)今天學(xué)習(xí)的方法推導(dǎo)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系嗎？已知一元三次方程的三個根分別為，請寫出你的猜想。（評注：學(xué)

9、生經(jīng)歷過韋達定理證明的幾種方法，這也激勵學(xué)生用這些方法去探索新的未知的內(nèi)容，）4、課堂小結(jié)（1）韋達定理的基本內(nèi)容是什么？（2） 運用韋達定理時，常見的變形有哪些？5、 課后作業(yè)：完成數(shù)學(xué)寫作，“韋達定理的證明方法”評價與延伸：本節(jié)課，整體的教學(xué)設(shè)計，都是在授課教師深入的挖掘和研究相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容的前提下完成的，教師將歷史上數(shù)學(xué)家證明的方法與學(xué)生自己的證明方法加以比較，對學(xué)生的做法給予積極的評價。整節(jié)課采取了“提出問題-學(xué)生探究-歷史回溯-課堂總結(jié)”的教學(xué)模式，才用復(fù)制式和順應(yīng)式的方式融入了韋達定理的證明的歷史方法，教師讓學(xué)生親身經(jīng)歷了，韋達定理的證明過程，并且不拘泥于一種方法，并且，這些方法

10、的都是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置的，符合學(xué)生的認(rèn)知水平。通過不同方法的類比，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，也達到了提升學(xué)生數(shù)學(xué)推理，數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)的目標(biāo)。學(xué)生通過小組合作探究，也加強了學(xué)生之間的溝通與合作能力，共同體會數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的樂趣，也幫助學(xué)生樹立了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。讓課堂氣氛活躍起來，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的孜孜不倦的探索，才讓數(shù)學(xué)有了今天簡潔的形式之美，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，可以有德育之效。試想，如果這節(jié)課，僅僅用教材上，求根公式來法設(shè)計證明韋達定理，學(xué)生又怎么能體會到，證明韋達定理的過程中，那么多豐富的思想和方法呢？那些思想方法可以，在學(xué)生心靈里埋下以后學(xué)習(xí)的種子，可以帶領(lǐng)學(xué)生去解決更深更高層次的問題。那些經(jīng)過學(xué)生自己親身經(jīng)歷探索得出的思想方法才是能讓學(xué)生，終身受用的。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，也不可能在教師填鴨式的教學(xué)中得到落實。本節(jié)課數(shù)學(xué)史的融入，無疑為我們在教學(xué)中落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，提供了一個很好的課堂教學(xué)設(shè)計的思路和方向。本節(jié)課的反思與啟示：本節(jié)課是在上海市一所普通中學(xué)進行的，教師的教學(xué)目標(biāo)基本得到了全部的實現(xiàn)。如果能制作微視頻，將數(shù)學(xué)家的生平簡單介紹一下，就更能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)問題的艱難和不屈不撓的克服困難的精神。古人在歐幾里得時期就已經(jīng)會