2014年廣東省深圳市高三一模理科數學試題及答案

1、廣東省深圳市 2014 屆高三 2 月第一次調研數學理試題2014.2本試卷共 6 頁，21 小題，滿分 150 分.考試用時 120 分鐘.注意事項：1 .答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確；之后務必用 0.5 毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號,同時，將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、 不污損.2 選擇題每小題選出答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上不按要求填涂的，答案無效.3 非選擇題必須用 0 .

2、 5 毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原的答案，然后再寫 上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4 作答選做題時，請先用 2B 鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答漏涂、錯涂、多涂的答案無效.5 考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回.參考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 PA BPA) P；B);如果事件 A、B 相互獨立，那么P( AB)二R A)R B);若錐體的底面積為S，高為h，則錐體的體積為V=】Sh.3一、選擇題：本大題共 8 個小題；每小題 5 分

3、，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一 項是符合題目要求的.1已知集合A=2, 0,1,4，集合B=x0cx蘭4,x迂R，集合C =A “B.則集合C可表示為C. 1,2,4 D.xOvx蘭4,x乏R2.復數z滿足z(1 -i) = 1(其中i為虛數單位)，則z=1,x：04.“ =1”是“函數f(x) =cosx在區(qū)間1.0, J上單調遞減”的A.2,0,1,4B.1, 2,3,43.A.B.F列函數中，為奇函數的是D.A.B. y =x, x 0,1/C. y = x sin xD.y = 0,x = 01,XA0A.充分不必要條件B .必要不充分條件8.在平面直角坐標系中，

4、定義兩點P(Xi, yi)與Q(X2,y2)之間的“直角距離”為d(P,Q) = Xi X2+ yi- y2.給出下列命題:(1)若P(1,2),Q(sin,2cos)( R)，則d(P,Q)的最大值為3,5；(2)若P,Q是圓x2y1上的任意兩點，則d(P,Q)的最大值為2&；1若P(1,3)，點Q為直線y=2x上的動點，貝U d(P,Q)的最小值為一.2其中為真命題的是A. (1) (2) (3)B . (1) (2)C . (1) (3) D .(3)7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分.本大題分為必做題和選做題兩部分.9、10、11、12、13 題為必做

5、題，每道試題考生都必須作答.9 .函數 f(x) =；2X-4 的定義域為 _ .10 .某幾何體的三視圖如圖3 所示，其正視圖是邊長為 2 的正方形,5.執(zhí)行如圖1 所示的程序框圖，則輸出的a的值為(注:aa =2”，即為“a2” 或為“a: =2”.)A.21B.3C.12D.-36. (x-4的展開式中常數項為11A.B22C.3D ._3227.如圖2, 在矩形 OABC 內：記拋物線討二X 1 與直線 y = x 1點P，則點P落在區(qū)域M內的概率是A.丄B丄1812C.1D163、填空題：本大題共(一)必做題：第C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件圍成的區(qū)域為M(圖中陰影部分).

6、隨機往矩形 OABC 內投一O圖 2正視圖側視圖側視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則此幾何體的體積是_俯視圖A.充分不必要條件B .必要不充分條件2 2 2 211. 已知雙曲線C:冷-與=1與橢圓x-1有相同的焦點，a2b294且雙曲線C的漸近線方程為y =，2x，則雙曲線C的方程為_ 工x乞y,12.設實數x, y滿足y _ 10 - 2x,向量 a =（2x y, m） ,b =（ -1,1） 若 a / b，則實數m的最大值x -1,為_ 13. 在數列 江中，已知a?=4,a?=15，且數列an-是等比數列，則a.二_ （二）選做題：第 14、15 題為選做題，考生只能選做一題，兩題

7、全答的，只計算前一題的得分.14.（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系 xOy 中，以原點0為極點，x 軸的正半軸為極軸建立| x =t極坐標系若曲線 G 的參數方程為 2:丁（ t 為參數），曲線 c2的極坐標方程為Psin 日 Pcos 日=一 1 .則曲線 G 與曲線 C2 的交點個數為 _15.（幾何證明選講選做題）O 的切線，過A作弦AB=_三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分解答須寫出文字說證明過程和演算步驟.16.（本小題滿分 12 分）已知函數f （x）二sin（2 x）（0：冗）的圖像經過點（，1）12（1） 求 的值；如圖4， 已知AB是BAO圖 4（2）在AB

8、C中，A、. B、 C所對的邊分別為17.（本小題滿分 12 分）某網絡營銷部門為了統(tǒng)計某市網友 2013 年 11 月 11 日在某淘寶店的網購情況，隨機抽查了該市a、b、c，若a2b2c2二ab，且A nf(A才求sin B若網購金額超過2千兀的顧客定義為“網購達人”，網購金額不超過 義為“非網購達人”，已知“非網購達人”與“網購達人”人數比恰好為2千兀的顧客定3: 2 .(1)試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖(如圖 5(2)(2)該營銷部門為了進一步了解這60 名網友的購物體驗，從“非網購達人”、“網購達人”中用分層抽樣的方法確定 10 人， 若需從這 10 人中隨機選取

9、3 人進行問卷調查設為選取 的 3 人中“網購達人”的人數，求的分布列和數學期望.18.(本小題滿分 14 分)如圖 6 所示，平面 ABCD 平面 BCEF，且四邊形 ABCD 為矩形，四邊形 BCEF 為直角梯形,19.(本小題滿分 14 分)當天60名網友的網購金額情況，得到如下數據統(tǒng)計表(如圖網購金額(單位：千元)頻數頻率(0,0.530.05(0.5,1xP(1,1.590.15(1.5,2150.25(2, 2.5180.30(2.5,3yq合計601.00BF /CE ,(1)(2)(3)BC_CE , DC =CE =4 , B BF =2 .求證：AF /平面CDE;求平面A

10、DE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值; 求直線EF與平面ADE所成角的余弦值.(1)5 ( 1)：頻率圖 6x已知數列的前n項和為Sn,且滿足4(n - 1)(Sn1)=(n 2)乜(nN ).x(1)求印,a2的值；(2)求an；(3)設bn =n_-，數列、bn f的前n項和為Tn，求證：Tn：-.an420.(本小題滿分 14 分)如圖 7,直線丨：y =xb(b 0)，拋物線C:y2=2px(p 0)，已知點P(2,2)在拋物線C上，且拋物線C上的點到直線l的距離的最小值為 土2.(1)求直線I及拋物線C的方程；(2)過點Q(2,1)的任一直線(不經過點P)與拋物線C交于A、B兩點，

11、直線AB與直線I相 交于點M，記直線PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3問：是否存在實數 ，使得k1k k3?若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.(2)在ABC中，A、 B、 C所對的邊分別為a、b、c，若a2b2_ c2= ab，且21 .(本小題滿分 14 分)已知函數 f(x)9x(a 0) 1 +ax1(1) 求 f(x)在,2上的最大值；2(2)若直線 y = _x 2a 為曲線 y = f(x)的切線，求實數a的值；(3)當 a =2 時，設 x1, x2,4|12 ,且人+ x2+ x 戸44,若不等式f( x )+ f(X2)+f (為4)恒成立，求實數的最小值.

12、2014 年深圳市高三年級第一次調研考試數學(理科)答案及評分標準說明：一、 本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查 內容比照評分標準制訂相應的評分細則.二、 對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內容和難度， 可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續(xù)部分的解答有較 嚴重的錯誤，就不再給分.三、 解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.四、 只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數.一、選擇題：本大題每小題 5 分，滿分 40 分.三、解答題16.(本小題滿分 12 分)

13、12345678CBDADCBA5 分，滿分 30 分.二、填空題：本大題每小題9.x X =2;10.11.I；12.6;13.2 3n4-n；14.15.2,6.已知函數f (x) =sin(2 x+)(0 v u)的圖像經過點(1).12(1)求的值;：A 0,二，.sin二丄210 分又Tsin B二sin( n(A - C)二sin(A C),近1 sin B二sin AcosC cos A sinC =-2 22.32一6r - X -=-22412 分【說明】 本小題主要考查了三角函數f(x)二Asin(:)的圖象與性質，三角恒等變換，以及余弦定理等基礎知識，考查了簡單的數學運算

14、能力.17.(本小題滿分 12 分)某網絡營銷部門為了統(tǒng)計某市網友2013 年 11 月 11 日在某淘寶店的網購情況,隨機抽查了該市當天60名網友的網購金額情況，得到如下數據統(tǒng)計表(如圖 5 ( 1):網購金額(單位：千元)頻數頻率(0,0.530.05(0.5,1xP(1,1.590.15(1.5,2150.25(2, 2.5180.30(2.5,3yq-.求sin B.2冗=1，即sin( )=1.6n . n-+P=_6 2(2)：a2b2-c22.cosC二2ab由(1)知f (x) = sin(2 x +n),3A n二、2f (+) =sin(A 3)=COSA = -解：(1)

15、由題意可得f2 2 2a b -c 12頻率若網購金額超過2千元的顧客定義為“網購達人”，網購金額不超過 義為“非網購達人”，已知“非網購達人”與“網購達人”人數比恰好為(1) 試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖(如圖 5(2)(2) 該營銷部門為了進一步了解這 60 名網友的購物體驗，從“非網購達人”、“網購達人”中用分層抽樣的方法確定10 人，若需從這 10 人中隨機選取 3 人進行問卷調查設 為選取的 3 人中“網購達人”的人數，求的分布列和數學期望.解：(1)根據題意，有3x91518 y = 60,18+y23x9153f x = 9,解得. 2 分y =6.p =0.1

16、5,q =0.10補全頻率分布直方圖如圖所示. .4 分(2)用分層抽樣的方法，從中選取10人，貝 U2其中“網購達人”有10=4人，“非網購達人5故的可能取值為 0, 1, 2, 3;所以的分布列為:0123p1131621030.E =011 -12331-6. 12 分62103052千元的顧客定3: 2 P(訃窖C10P( =1)學C10P( =2)C42CC3010P(沖等咕.10 分頻率2【說明】本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識, 考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力.18.(本小題滿分 14 分)如圖 6 所示，平面 A

17、BCD 平面 BCEF，且四邊形 ABCD 為矩形，四邊形 BCEF 為直角梯形,BF/CE , BC_CE , DC =CE =4 , BC = BF = 2 .(1) 求證：AF /平面CDE;(2) 求平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值;(3) 求直線EF與平面ADE所成角的余弦值.解：(法一)(1)取CE中點為G連接DG、FG,BF/CG且BF =CG,.四邊形BFGC為平行四邊形，則BC/FG且BC二FG.四邊形 ABCD 為矩形，.BC/AD且BC = AD,.FG/AD且FG二AD,.四邊形AFGD為平行四邊形，則AF /DG.:DG二平面CDE,AF二平面CDE,.A

18、F/平面CDE. 4 分(2)過點E作CB的平行線交BF的延長線于P，連接FP,EP,AP,EP/BC/AD,A,P,E,D四點共面.四邊形BCEF為直角梯形，四邊形ABCD為矩形,EP_CD,EP_CE，又：CD CE二C,EP_ 平面CDE,EP _ DE,又T平面ADE|平面BCEF = EP,ZDEC為平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的平面角.DCMEM,cosDECG圖 62即平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值為DE n =0.AF/平面CDE .（3）過點F作FH _ AP于H，連接EH,；根據（2）知A,P,E,D四點共面，EP/BC/AD,BC _ BF,BC_

19、AB,又.ABBF =B,BC_ 平面ABP, 二BC丄FH貝U FH丄EP.又.FH _ AP,. FH_ 平面ADE.直線EF與平面ADE所成角為.HEF.DC二CE =4，BC二BF =2，11 分.FH = FPsin45 八2,EF = . FP2EPcos. HEF二空一飛二二EF2近2即直線EF與平面ADE所成角的余弦值為（法二）（1）i四邊形BCEF為直角梯形,BC_CE，BC_CD，又.平面ABCD_平面BCEF，且平面ABCDi平面BCEF =BC，DC_ 平面BCEF.以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系.根據題意我們

20、可得以下點的坐標:14 分四邊形A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0),F(2,2,0),則AF = (0,2,-4),CB =(2,0,0).；BC _ CD,BC _ CE,CB為平面CDE的一個法向量.又：AF CB = 0 2 2 0 (-4) 0 =0,AD n0,DE n =0.（2）設平面ADE的一個法向量為n=(羽$,乙)，則當n=2時，有4 (2 1)(31321(2 2) 32，解得32=27.2 分7 AD =(-2,0,0),DE =(0,4, -4),；DC _平面BCEF,.平面BCEF一個法向量為CD =(0,0,

21、 4),設平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的大小為 :,因此，平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值為(3)根據(2)知平面ADE一個法向量為q =(0,1,1)，設直線EF與平面ADE所成角為0，貝U cos0 = sin c EF ,口因此，直線EF與平面ADE所成角的余弦值為32【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關系，二面角及三角函數及空間坐標系等基礎知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數學問題的能力.19.(本小題滿分 14 分)已知數列fan的前n項和為Sn,且滿足4(n - 1)(Sn1)=(n 2)匕(n N ).設bn二n1，數列、b

22、n的前n項和為Tn,求證：Tn：-.3n42f 2為=04% -4z,=0取z-1, 得n (0,1,1)7 EF = (2, -2,0),” cos EF , m a =-2EF n12、邁.212 分14 分(1)求印,a2的值;(2)求an；(3)COS :-二4_遼4221,10 分解：(1) 當n=1時，有4 (1 1)(a1+1)=(1+2)a1，解得a1=8.21,10 分2(2)(法一)當n_2時，有4(Sn1(n 2) an(n +1)2ani4(Sm 1)奧n3an=(n 1) (n _2).用數學歸納法證明如下:3(I)當n=1時，有a(1 1)，猜想成立.3(n)假設當

23、n二k時，猜想也成立，即：ak=(k 1).2那么當n二k 1時，有4(k 1 1)(Sk i1) = (k 1 2)2ak i，前(k+1+2)2ak十即：4(Sk1丿k1(k+2)2ak又4(Sk山十丄，解，得ak+1=(k 2)=(k 1 1)3.當n k 1時，猜想也成立.an=( n 1)3成立.一得：4an2 2(n 2) an(n 1) an，即：旦_an_1(n 1)33nan 2J 亠二3(n -1)3n3(n-1)3另解：an二玉也II 邑日1anan_2a1(n 1)33n3n(n-1)3HI42(n 1)3.又:當n=1時，有a=8,3an=(n 1).(法二)根據ai

24、=8,a2=27，猜想:3an=( n 1).2-得：4ak1二羅嚴(k 2)2ak(k 3)1(k 2)2(k 1)3因此，由數學歸納法證得1,10 分n +1 =1an(n 1)21 1n(n 1) n n 1直線I的方程為y = x 2，拋物線C的方程為y2= 2x.6 分Tn= bi b2b3.bn Jbn1 1 1 1 1223242n2(n 1)21 1 1 1 1222 3 2 3 (n -1)n n(n 1)1(-1) J)(丄4 2 3 3 4n-1 1113+- - -B(x2, y2)，則224ky1y2,y2：kk；飛y1-2y1-22% -222 -2y2 k1ky1

25、2y2222+8k_y22(y1y2) 42-4k224k k2(y1y2)8得xMk -14k-1k -1，4k -12 _ k -1 2k12k -12k 1313 分因此，存在實數，使得k1k - k3成立，且，=2 . . 14分【說明】本題主要考查拋物線的方程與性質、直線方程、直線與拋物線的位置關系，切 線方程，點到直線距離，最值問題等基礎知識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決 問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想.21 .(本小題滿分 14 分)(法二)：點P(2,2)在拋物線C上，.p=1，拋物線C的方程為寸=2x.設M( ,t)(tR)為拋物線C上的任意一點，點

26、M到直線l的距離為d二2i象，有t b 0,d： (t -1)22b -1,22 近:t R，d的最小值為2b，由2叱1，解得b = 2.2血224因此，直線l的方程為y = x 2，拋物線C的方程為(2) 丁直線AB的斜率存在，.設直線AB的方程為y=kx2k+1,22得ky2y4k+2=0,y =2x,，根據圖y-1 = k(x -2)，即y = kx-2k 1,由f丁2，已知函數 f(x)2(a 0).1 +ax21求 f(x)在,2上的最大值;9x(1)2(2)設切點為(t,f)，則；(；：二鳥.9t(2)若直線 y = _x 2a 為曲線 y = f(x)的切線，求實數a的值;a =2 時，設 x1, x2-x 4|1 2 ,且