圓錐曲線的起源

1、起源編輯2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；用平行圓錐的高的平面截取,可得到雙曲線的一邊;以圓錐頂點(diǎn)做對稱圓錐,那么可得到雙曲線1 。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線，把雙曲線叫做“超曲線，把拋物線叫做“齊曲線。事實(shí)上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。定義編輯幾何觀點(diǎn)用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線coni

2、c sections。通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴(yán)格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：1) 當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為拋物線。2) 當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一條直線。3) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為橢圓。4) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐面的對稱軸垂直，結(jié)果為圓。5) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且過圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐面的對稱軸垂直，結(jié)果為一點(diǎn)。6) 當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為雙曲線的一支另一支為此圓錐面的對頂圓錐面與平面的交線。7) 當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交

3、，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為兩條相交直線。代數(shù)觀點(diǎn)在笛卡爾平面上，二元二次方程 的圖像是圓錐曲線。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。焦點(diǎn)-準(zhǔn)線觀點(diǎn)嚴(yán)格來講，這種觀點(diǎn)下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導(dǎo)出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質(zhì)。給定一點(diǎn)P，一直線L以及一非負(fù)實(shí)常數(shù)e，那么到P的距離與L距離之比為e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線。根據(jù)e的范圍不同，曲線也各不相同。具體如下：1) e=0，軌跡為圓；2) e=1即到P與到L距離相同，軌跡為拋物線2 ；3) 0<e<1，軌跡為橢圓；4) e>

4、;1，軌跡為雙曲線。3概念編輯以下以純幾何方式表達(dá)主要的圓錐曲線通用的概念和性質(zhì)，由于大局部性質(zhì)是在焦點(diǎn)準(zhǔn)線觀點(diǎn)下定義的，對于更一般的退化情形，有些概念可能不適用?？紤]焦點(diǎn)-準(zhǔn)線觀點(diǎn)下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點(diǎn)，稱為圓錐曲線的焦點(diǎn)；定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線；固定的常數(shù)即圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離比稱為圓錐曲線的離心率；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距；焦點(diǎn)到曲線上一點(diǎn)的線段稱為焦半徑。過焦點(diǎn)、平行于準(zhǔn)線的直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學(xué)中又稱為正焦弦。圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。類似圓，與圓錐曲線交于兩點(diǎn)的直線上兩交點(diǎn)間的線段稱為弦；過焦點(diǎn)

5、的弦稱為焦點(diǎn)弦。對于同一個橢圓或雙曲線，有兩個“焦點(diǎn)準(zhǔn)線的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線。而拋物線只有一個焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線。圓錐曲線關(guān)于過焦點(diǎn)與準(zhǔn)線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點(diǎn)，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對于橢圓和雙曲線，還關(guān)于焦點(diǎn)連線的垂直平分線對稱。Pappus定理：圓錐曲線上一點(diǎn)的焦半徑長度等于該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離乘以離心率。Pascal定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形，假設(shè)對邊兩兩不平行，那么該六邊形對邊延長線的交點(diǎn)共線。對于退化的情形也適用Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點(diǎn)。4定理編輯由比利時數(shù)學(xué)家G.F.Dan

6、delin 1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義的等價性。即有一以Q為頂點(diǎn)的圓錐蛋筒，有一平面'你也可以說是餅干與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點(diǎn)，拋物線只有一個或者另一個在無窮遠(yuǎn)處，那么切點(diǎn)為焦點(diǎn)。又球與圓錐之交為圓，設(shè)以此圓所在平面與'之交為直線d曲線為圓時d為無窮遠(yuǎn)線，那么d為準(zhǔn)線。圖只畫了橢圓，證明對拋物線雙曲線都適用，即證，任一個切點(diǎn)為焦點(diǎn)，d為準(zhǔn)線。證：假設(shè)P為曲線上一點(diǎn)，聯(lián)線PQ交圓O于E。設(shè)平面與的交角為，圓錐的母線如PQ與平面的交角為。設(shè)P到平面 的垂足為H，H到直線d的

7、垂足為R，那么PR為P到d的垂線三垂線定理，而PRH=。因?yàn)镻E、PF同為圓球之切線，得PE=PF。如此那么有：PR·sin=PE·sin=PF·sin=PH其中：PF/PR=sin/sin為常數(shù)。5歷史編輯對于圓錐曲線的最早發(fā)現(xiàn)，眾說紛紜。有人說，古希臘數(shù)學(xué)家在求解“立方倍積問題時，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設(shè)x、y為a和2a的比例中項(xiàng)，即 ，那么，從而求得。又有人說，古希臘數(shù)學(xué)家在研究平面與圓錐面相截時發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積問題中一致的結(jié)果。還有認(rèn)為，古代天文學(xué)家在制作日晷時發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷是一個傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當(dāng)太陽光照在日晷上，桿影

8、的移動可以計(jì)時。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的創(chuàng)造在古代就已失傳。早期對圓錐曲線進(jìn)行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼Apollonius，前262前190。他與歐幾里得是同時代人，其巨著?圓錐曲線?與歐幾里得的?幾何原本?同被譽(yù)為古代希臘幾何的登峰造極之作。在?圓錐曲線?中，阿波羅尼總結(jié)了前人的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對前人的成果進(jìn)行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此根底上，又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，以致后代學(xué)者幾乎沒有插足的余地達(dá)千余年。我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、

9、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個點(diǎn)，如圖1所示。在此，我們僅介紹阿波羅尼關(guān)于圓錐曲線的定義。如圖2，給定圓BC及其所在平面外一點(diǎn)A，那么過A且沿圓周移動的一條直線生成一個雙錐面。這個圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸未畫出，軸未必垂直于底。設(shè)錐的一個截面與底交于直線DE，取底圓的垂直于DE的一條直徑BC，于是含圓錐軸的ABC叫軸三角形.軸三角形與圓錐曲線交于P、P，PP未必是圓錐曲線的軸，PPM是由軸三角形與截面相交而定的直線，PM也未必垂直于DE。設(shè)QQ是圓錐曲線平行于DE的弦，同樣QQ被PP平分，即VQ=QQ。現(xiàn)作AFPM，交BM于F，再在截面上作PL

10、PM。如圖3，PLPP對于橢圓、雙曲線，取L滿足，而拋物線，那么滿足，對于橢圓、雙曲線有QV=PV·VR，對于拋物線有QV=PV·PL，這是可以證明的兩個結(jié)論。在這兩個結(jié)論中，把QV稱為圓錐曲線的一個縱坐標(biāo)線，那么其結(jié)論說明，縱坐標(biāo)線的平方等于PL上作一個矩形的面積。對于橢圓來講，矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV；而雙曲線的情形是VR>PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線、“超曲線和“齊曲線。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。阿波羅尼所給出的兩個結(jié)論，也很容易用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號來表示：趨向無窮

11、大時，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。在阿波羅尼的?圓錐曲線?問世后的13個世紀(jì)里，整個數(shù)學(xué)界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進(jìn)展。11世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀(jì)起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當(dāng)時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀(jì)，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一是德國天文學(xué)家開普勒Kepler,15711630繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運(yùn)行的事實(shí)；二是意大利物理學(xué)家伽利略Galileo,15641642得出物體斜拋運(yùn)動的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運(yùn)動

12、的普遍形式。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動。譬如，1579年蒙蒂Guidobaldo del Monte,15451607橢圓定義為：到兩個焦點(diǎn)距離之和為定長的動點(diǎn)的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質(zhì)的研究推進(jìn)并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。17世紀(jì)初，在當(dāng)時關(guān)于一個數(shù)學(xué)對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無窮遠(yuǎn)處的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都

13、可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€，只須考慮焦點(diǎn)的各種移動方式。譬如，橢圓有兩個焦點(diǎn)F1、F2，如圖4，假設(shè)左焦點(diǎn)F1固定，考慮F2的移動，當(dāng)F2向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，F(xiàn)1與F2重合時即為圓；當(dāng)F2向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，F(xiàn)2到無窮遠(yuǎn)處時即為拋物線；當(dāng)F2從無窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當(dāng)F2繼續(xù)向右移動，F(xiàn)2又與F1重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線。這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個符合邏輯的直觀根底。隨著射影幾何的創(chuàng)始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由于它與錐面有著天然的聯(lián)系，也被用于圓錐曲線的研究。在這方面法國的三位數(shù)學(xué)家笛沙格Desar

14、gue15911661、帕斯卡Pascal，16231662和拉伊爾Phailippe de La Hire，16401718得出了一些關(guān)于圓錐曲線的特殊的定理，可謂別開生面。而當(dāng)法國另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對圓錐曲線的認(rèn)識進(jìn)入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于投射和截影法，而是朝著解析法的方向開展，即通過建立坐標(biāo)系，得到圓錐曲線的方程，進(jìn)而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而到達(dá)抽象化的目標(biāo)，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。到18世紀(jì)，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系，并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換。在這種情況

15、下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標(biāo)準(zhǔn)形式，或者引進(jìn)曲線的參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了?分析引論?，這是解析幾何開展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作。在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程出發(fā)，圓錐曲線的各種情形，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，總可以化以下標(biāo)準(zhǔn)形式之一：繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地開展起來，由圓錐曲線導(dǎo)出了許多重要的曲面，諸如圓柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等?？偠灾?，圓錐曲線無論在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，還是在我們的實(shí)際生活中都占有重要的地位，人們對它的研究也不斷深化，其研究成果又廣泛地得到應(yīng)用。這正好反映了人們認(rèn)識

16、事物的目的和規(guī)律。6性質(zhì)編輯橢圓文字語言定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個小于1的正常數(shù)e。平面內(nèi)一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)焦點(diǎn)的距離和等于定長2a的點(diǎn)的集合設(shè)動點(diǎn)為P，兩個定點(diǎn)為F1和F2，那么PF1+PF2=2a。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線是橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程：1、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：其中，。2、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：其中，。參數(shù)方程：；為參數(shù)，02)雙曲線文字語言定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)e;平面內(nèi)一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)焦點(diǎn)的距離差等于定長2a的點(diǎn)的集合設(shè)動點(diǎn)為P，兩個定點(diǎn)

17、為F1和F2，那么PF1-PF2=2a且PF2-PF1=2a定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程：1、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：其中a>0，b>0，c²=a²+b².參數(shù)方程：x=asec；y=btan 為參數(shù) )拋物線文字語言定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是等于1。定點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，定直線是拋物線的準(zhǔn)線。參數(shù)方程x=2pt² y=2pt (

18、t為參數(shù) t=1/tantan為曲線上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)確定直線的斜率特別地，t可等于0直角坐標(biāo)y=ax²+bx+c 開口方向?yàn)閥軸，a0 x=ay²+by+c 開口方向?yàn)閤軸，a0 )離心率橢圓，雙曲線，拋物線這些圓錐曲線有統(tǒng)一的定義：平面上，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。且當(dāng)0<e<1時為橢圓：當(dāng)e=1時為拋物線；當(dāng)e>1時為雙曲線。這里的參數(shù)e就是圓錐曲線的離心率，它不僅可以描述圓錐曲線的類型，也可以描述圓錐曲線的具體形狀，簡言之，離心率相同的圓錐曲線都是相似圖形。一個圓錐曲線，只要確定了離心率，形狀就確定了。特別的，因?yàn)?/p>

19、拋物線的離心率都等于1，所以所有的拋物線都是相似圖形。極坐標(biāo)方程1、在圓錐中，圓錐曲線極坐標(biāo)方程可表示為：其中l(wèi)表示半徑，e表示離心率；2、在平面坐標(biāo)系中，圓錐曲線極坐標(biāo)方程可表示為：其中e表示離心率，p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。3 焦半徑圓錐曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑。圓錐曲線左右焦點(diǎn)為F1、F2，其上任意一點(diǎn)為P(x,y，那么焦半徑為：橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex雙曲線P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+exP在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey

20、|PF2|=a+ey拋物線|PF|=x+p/2切線方程圓錐曲線上一點(diǎn)P ， 的切線方程：以 代替 ，以 代替 ；以 代替 ，以 代替即得橢圓： ；雙曲線： ；拋物線：焦準(zhǔn)距圓錐曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p，叫圓錐曲線的焦準(zhǔn)距，或焦參數(shù)。橢圓：雙曲線：拋物線：p焦點(diǎn)三角形橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形。設(shè)F、F分別為橢圓或雙曲線的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)且PFF能構(gòu)成三角形。假設(shè)FPF=，那么橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為 ；雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積為通徑圓錐曲線中，過

21、焦點(diǎn)并垂直于軸的弦稱為通徑。橢圓的通徑：雙曲線的通徑：拋物線的通徑：2p比照圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)y²=2px (p>0)范圍x-a,ay-b,bx(-，-aa,+)yRx0,+)yR對稱性關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱關(guān)于x軸對稱頂點(diǎn)(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(diǎn)(c,0),(-c,0)【其中c

22、8;=a²-b²】(c,0),(-c,0)【其中c²=a²+b²】(p/2,0)準(zhǔn)線x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2漸近線y=±(b/a)x4 離心率e=c/a,e0,1)e=c/a,e1,+e=1焦半徑PF=a+exPF=a-exPF=ex+aPF=ex-aPF=x+p/2焦準(zhǔn)距p=b²/cp=b²/cp通徑2b²/a2b²/a2p參數(shù)方程x=a·cosy=b·sin，為參數(shù)x=a·secy=b·

23、tan，為參數(shù)x=2pt²y=2pt,t為參數(shù)過圓錐曲線上一點(diǎn)(x0,y0的切線方程x0·x/a²+y0·y/b²=1x0x/a²-y0·y/b²=1y0·y=p(x+x0)斜率為k的切線方程y=kx±(a²·k²+b²)y=kx±(a²·k²-b²)y=kx+p/2k中點(diǎn)弦問題圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線的一弦中點(diǎn)，求該弦的方程：1、聯(lián)立方程法。用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程斜率不存在的情況需要另外考慮，與圓錐曲線方

24、程聯(lián)立求得關(guān)于x的一元二次方程和關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。2、點(diǎn)差法代點(diǎn)相減法設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)x，y和x，y)，代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減，運(yùn)用平方差公式得(x+x)(x-x)/a²+(y+y)(y-y)/b²=0由斜率為y-y)/(x-x，可以得到斜率的取值使用時注意判別式的問題統(tǒng)一方程平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意圓錐曲線可用如下方程表示：其中，0,2)，p>0，e0。e=1時，表示以F(g,h)為焦點(diǎn)，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的拋物線。其中 與極軸夾角A為拋物線頂點(diǎn)。0

25、<e<1時，表示以F1(g,h)為一個焦點(diǎn)，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，e為離心率的橢圓。其中 與極軸夾角。e>1時，表示以F2(g,h)為一個焦點(diǎn)，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，e為離心率的雙曲線。其中 與極軸夾角。e=0時，表示點(diǎn)F(g,h)。五點(diǎn)法求平面內(nèi)圓錐曲線可以采用該統(tǒng)一方程。代入五組有序?qū)崝?shù)對，求出對應(yīng)參數(shù)。注：此方程不適用于圓錐曲線的其他退化形式，如圓等。附：當(dāng)e0時，F(xiàn)(g,h)對應(yīng)準(zhǔn)線方程：7判別法編輯設(shè)圓錐曲線的方程為Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0|A B D|= |B C E| , =|A B| , S=A+C

26、, 稱為二次曲線不變量(=b²-4ac)|D E F| |B C|>0=0有一實(shí)點(diǎn)的相交虛直線>00S<0橢圓>00S>0虛橢圓<0=0相交直線<00雙曲線=00拋物線=0=0D²+E²-AF-CF>0平行直線=0=0D²+E²-AF-CF=0重合直線=0=0D²+E²-AF-CF<0平行虛直線8CGY-EH定理編輯CGY-EH定理又稱圓錐曲線硬解定理5 是一套求解橢圓雙曲線與直線相交時、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦長的簡便算法

27、.定理內(nèi)容假設(shè)曲線 與直線A+By+C=0相交于E、F兩點(diǎn),那么:其中  為一與同號的值， 。定理說明應(yīng)用該定理于橢圓 時,應(yīng)將 代入。應(yīng)用于雙曲線 時,應(yīng)將 代入,同時 不應(yīng)為零,即不為零。求解y1+y2與 y1*y2只須將A與B的值互換且m與n的值互換.可知與'的值不會因此而改變。定理補(bǔ)充聯(lián)立曲線方程與y=kx+ 是現(xiàn)行高考中比聯(lián)立Ax+By+C=0“更為普遍的現(xiàn)象。其中聯(lián)立后的二次方程是標(biāo)準(zhǔn)答案中必不可少的一項(xiàng)，x1+x2，x1x2都可以直接通過該方程與韋達(dá)定理求得，唯獨(dú)弦長的表達(dá)式需要大量

28、計(jì)算。這里給出一個CGY-EH的斜率式簡化公式，以減少記憶量，以便在考試中套用。假設(shè)曲線 與直線y=kx+ 相交于E、F兩點(diǎn),那么:這里的 既可以是常數(shù)，也可以是關(guān)于k的代數(shù)式。由這個公式我們可以推出：假設(shè)曲線 為橢圓 ,那么假設(shè)曲線 為雙曲線 ,那么由于在高考中CGY-EH定理不可以直接應(yīng)用，所以學(xué)生如此解答才可得全步驟分省略號的內(nèi)容需要考生自己填寫：聯(lián)立兩方程得二次式子*所以x1+x2=，x1x2=；所以|x1-x2|=x1+x22-4x1x2=此時代入、式得到一個大式子，但不必化簡化簡得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化簡)下面就可求弦長 了。定理簡證設(shè)曲線x2/m+y2/n=1與直線 A+By+C=0相交于E、F兩點(diǎn)，聯(lián)立式可得最終的二次方程：(A2 m+B2 n) x2+2ACmx+C2 m-mnB2=0應(yīng)用韋達(dá)定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A2 m+B2 n)x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/(A2 m+B2 n)=4mnB2 (-C2)對于等價的一元二次方程的數(shù)值不唯一,且 的意義僅在于其與零的關(guān)系,故由4B2>0恒成立,那么可取與同號的'=mn(-C2)作為的值。3 由|EF|=(x_1-x_2)2+(y_1-y