中南大學(xué)線性代數(shù)試卷

1、考試試卷1閉卷考試時(shí)間：100分鐘、填空題此題 15分，每題3分1、設(shè)A A,A2,A3,A4為四階方陣，其中Ai i1,2,3,4為A的第i個(gè)列向量,2、設(shè)A為三階方陣，A為A的伴隨矩陣，且2111 13、設(shè)A 3213 t ，且R(A)1t3524、假設(shè)n階方陣A有特征值，那么 f(A)Ak特征值。5、假設(shè)一次型f2 x3y22z 2axy2xz那么a0、選擇題此題 15分，每題3 分。BA中有一行元素全為零；D必有一行元素為其余行的線性組合。令 B A A2,A2 A3, A3 A4, A4 A，那么 B| A| 3，那么 |(A ) 1 | 2，那么 t 。k 1ak 1 Aa1A a

2、0 E 必有2 22yz經(jīng)正交變換化為f y1 4y2，1、設(shè)A是n階方陣，那么|A| 0的必要條件是AA中兩行列元素對(duì)應(yīng)成比例；C任一行元素為其余行的線性組合；(A) BAB;(B)ABA;(C)ABAB;(D)BABAo3、設(shè)向量組11,1,，T,21,2,3T,31,3, t T,當(dāng)t (時(shí)，向量組1 ,2 ,線性相關(guān)。(A) 5(B) 4(C) 3(D) 24、設(shè)A為43矩陣，1,2, 3是非齊次線性方程組Ax b的3個(gè)線性無關(guān)的解向量,2、設(shè)A是n階對(duì)稱陣，B是n階反對(duì)稱陣，那么以下矩陣中反對(duì)稱矩陣是3k1, k2為任意常數(shù),那么非齊次線性方程組Ax b的通解為。(A)32k1 (

3、21)；(B)2 2 3k1 ( 2 1 )；(C)32k1 ( 21) k2(31) ；(D) 22 3k1 ( 21 ) k2 (31 )1105、設(shè)方陣A1k0是正定矩陣，那么必有。00k2(A)k 0 ；(B)k1 ；(C)k 2 ；(D) k1。三、此題8分計(jì)算行列式a01 000a1x100,其中a0,i0,1,2, ,n 1 oan 20 0X1an 10 00X1 01四、此題12分設(shè)AXEA2X，且A0 20，求矩陣X及X1 01其中X 11為X 的伴隨矩陣,E為單位矩陣。五、此題14分)設(shè)向量組11,0,1 T ,20,1 T,31,3,5 T不能由向量組11,U T,21

4、,2,3 T,33,4, k T線性表示。1 求向量組1,2,3的2求k的值;一個(gè)極大無關(guān)組;3將向量1用1, 2, 3線性表示。六、此題14分設(shè)齊次線性方程組I為X1 X20，齊次線性方程組nx2 x40的通解為ki 0,1,1,0 T k2 1,2,2,1 T。 1 求方程組I的根底解系；2問方程組I和n是否有非零公共解？假設(shè)有，那么求出所有非零公共解，假設(shè)沒有，那么說明理由。01001000設(shè)矩陣A001X0011七、此題14 分八、此題8分試證明:1 bbb2 b 1bbn階矩陣Aa的取大特征值為a 1 n 1b，其中0 b 1。1A的一個(gè)特征值為2,求x;2求方陣P，使 AP T A

5、P為對(duì)角陣。參考答案、填空題此題15分，每題3分1、0;2、4、f；5、1。二、選擇題此題15分，每題3分1、D;2 、B;3 、A；4 、C；5、B.三、此題8分解：從第一行開始，每行乘x后逐次往下一行加，再按最后一行展開得:原式=a0xn 1a1xn 2an2Xan 1。四、此題12分解:AXA2X，得：AE)X A20,(AE可逆，故X由于X五、此題14分)2由于(X1)1XX解：13)， A0,R(A)3線性無關(guān)，3是向量組2,3的一個(gè)極大無關(guān)組;4個(gè)3維向量1, 2,3,i(i1,2,3線性相關(guān),113于是1,2，3線性相關(guān)，從而I1， 2，3 |124k 50, k 5。13k1

6、0111002(3)令 B (1 ,2 ,3,1 )01310104 ，12 14 23。1 1510011假設(shè)1，2，3線性無關(guān)，那么i可由1，2，3線性表示，與題設(shè)矛盾;六、此題14分解：1 A110 00 1 0 10 0 0；，所以方程組1的根底解系為:1 0,0,1,0T,1,1,0,1(2)設(shè) k1 0,1,1,0 Tk21,2,2,1 T k3 1k4 2，即k1k2k3k40,故上述方程組的解為k(k( 1,1,1,1)T(k七、此題14分解:2 由11,1,1,1T，于是方程組0為任意常數(shù)。(1)所有非零公共解為:2代人上式，得令ataA2OA2由 E A2八、此題11X11

7、 1，顯然，顯然1對(duì)應(yīng)的特征向量為2對(duì)應(yīng)的特征向量為1)2A為實(shí)對(duì)稱陣，而AT Aat A和A2也是實(shí)對(duì)稱陣,0，得A2的特征值(1, 1)T(1,1)T，單位化:單位化:A1是單位陣,0,24，(、2.2、t2 2G，)T，022丄2022,22，那么有APAPPt(AtA)P8分證明：由2aa2ba2ba2a2ba2ba2ba2ba2a2b na2(1 n )a2b 0a2ba2ba2ba2得 A的特征值 i a21 (n 1)b, 23n a2(1 b),20 b 1,a20,1故A的最大特征值是a21 (n 1)b。1 1=(1, 2,3，設(shè) A=T，那么 An =5、設(shè)A為n階方陣，

8、A0, A為A的伴隨矩陣，E為n階單位陣,A有特征值考試試卷2閉卷考試時(shí)間：100分鐘、填空題此題 15分，每題3分1、假設(shè)n階行列式零元素的個(gè)數(shù)超過 n n-1 個(gè)，那么行列式為2、假設(shè)A為4階矩陣，且A=丄，那么(3A) 1 2A= 。2k1111k113、設(shè) A=，且 R (A) =3，貝U k=11k1111k4、向量，=1,2,3，,那么A2E必有特征值、選擇題此題 15分，每題3 分不成立。1、設(shè)A，B,C為n階方陣，E為n階單位陣，且 ABC=E那么以下各式中A CAB=EBC BCA=ED2、設(shè)A,B均為n階非零矩陣，且A必有一個(gè)等于零C 一個(gè)小于n, 個(gè)等于n3、以下命題中正

9、確的選項(xiàng)是B 1A 1C 1 EC 1A 1B 1 EAB=O那么它們的秩滿足。B都小于nD都等于nA在線性相關(guān)的向量組中，去掉假設(shè)干個(gè)向量后所得向量組仍然線性相關(guān) B 在線性無關(guān)的向量組中，去掉每個(gè)向量的最后假設(shè)干分量后仍然線性無關(guān)C任何n+k個(gè)n維向量k 1必然線性相關(guān)k1 1才成立，且m線性無關(guān)，那么m線性無關(guān)4、設(shè) 1(1, 2,1)T，2(1, 1,1)T,那么 3=(時(shí)，有1,2,3為R3的基D假設(shè)只有k,k2, km全為零時(shí)，等式k,(A) (2,1,2)T ( B)(1,0,1)T( C)(0,1,0)T(D)(0,0,1)T、10分計(jì)算n階行列式Dn111111111,并求該

10、行列式展開后的正項(xiàng)總數(shù)。112105、設(shè)二次型的矩陣為 A112，且此二次型的正慣性指數(shù)為3，那么02k(A) k8( B) k7(C) k6(D) k51 0 1四、10 分設(shè) AX E = A2 X ,且 A020 ，求矩陣X及(X 1)，其中1 0 1X 1為X 1的伴隨矩陣，E為單位矩陣。五、此題14分設(shè)有向量組172530111 _ ， 2“，3小，42140603121求該向量組的秩;2求該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余向量分別用求得的最大無關(guān)組線性表出。六、此題14分設(shè)向量 1, 1,1， 1求3階方陣A T的特征值與特征向量;2求一正交矩陣 Q,使QtAQ為對(duì)角矩陣。1 2a

11、七、此題14分設(shè)矩陣A 11、222 2c12b ，21 問a,b,c為何值時(shí)A是正交矩陣2 當(dāng)A是正交矩陣時(shí)，求方程組 AX1的解。八、此題8分證明：n維列向量組1，2線性無關(guān)的充要條件是其中iT表示向量i的轉(zhuǎn)置，i1,2, ,n 。TTT11121nTTTD21222nTTTn1n2nn參考答案、填空:每題3 分,1、0 ；共計(jì)32 .8115 分-3 ；n4、 A 3二、選擇:1、D 2每題3 分,、B 3共計(jì)、C15 分4、此題10分練習(xí)冊(cè)解:C1DnC1c； CC2C3nP1170 .0 .2 .設(shè)Dn展開式中正、負(fù)項(xiàng)總數(shù)分別為X1,X2,貝y X1x2n! , x1x22n 1，于

12、是正項(xiàng)1總數(shù)為 x11 2n 1n! o2四、此題10分解：由 AX E A X，得：(A E)X A2 E ,10, (A E)可逆，故2 01X A E030;102由于X 90,2011、，1 1 1 、，1C30 .。XX岡X-09102解：將矩陣五、(此題14 分)六、(此題14分)111解：A= TE A 2(3)2172511011003301103010101321406001100131031200000000(1)R1,2 ,3 ,43；1,2,3,4化為最簡形階梯形矩陣(2)1, 2, 3為所求的一個(gè)最大線性無關(guān)組，且41 1(1) A的特征值為 0,0,3 ；由AX=0

13、得對(duì)應(yīng)的0的特征向量為 k 1 l 0 ,k,l0 1為不全為零的任意常數(shù)，由(3E A)X 0得對(duì)應(yīng)3的特征向量為c為任意非零常數(shù)。1(2)將 101 10正交化，得11 012，再單位化，得111單位化得116： 2為所求正交陣。使20QtAQ03七、此題14分解：1假設(shè)a是正交矩陣，那么 a的列向量兩兩正交，故有2a 2 2 201 2b 2 02a 2 2b 2 2c 0(2)解得a12，b,c0時(shí)a是正交矩陣。21 11TX a 1 a 11 1T1111.211 1 2 11 . 2 2 0 11 1 、2 1八、此題8分證：記矩陣a(1，2，n，那么TTTTa11 11 2 -1

14、nTTTTTa22 12 2 -2 na a1 )2 ,nTTTTnn 1n 2-n n由于ataat|a |a2D ，從而得1, 2，n線性無關(guān)2A 0 A 0 D 0?？荚囋嚲?閉卷考試時(shí)間：100分鐘一、填空題(此題 15分，每題3分)2 1 01、設(shè) f (x) x23，矩陣 A，那么 f (A)。432、設(shè)A,B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P，使成立，貝U稱A與B相似。3、 n元非齊次線性方程組 Am nX b有唯一解的充分必要條件是 。2 2 24、二次型 f (X1, X2,X3) 5X1 5X2 3X3 2X1X2 6X1X3 6X2X3，那么二次型 f 對(duì)應(yīng)的矩陣A。5、設(shè)

15、4階方陣A滿足：|A 0, 3E A 0, AAt 2E，(其中E是單位矩陣)，那么A的 伴隨矩陣A*必有一個(gè)特征值為。二、選擇題(此題 15分，每題3分)1、4階方陣A的伴隨矩陣為 A*，且A的行列式|A|3，那么| A* ()。(A) 81(B) 27(C) 12(D) 92、 設(shè)A、B都是n階方陣，且 A與B有相同的特征值，并且 A、B都有n個(gè)線性無關(guān)的 特征向量，那么()。(A) A 與 B 相似(B)A B(C) A B，但A B 0(D)A與B不一定相似，但 A B3、設(shè)n階方陣A為正定矩陣，下面結(jié)論 不正確的選項(xiàng)是()(A) A可逆(B) A 1也是正定矩陣(C)(D) A的所有

16、元素全為正4、假設(shè)n階實(shí)方陣A A , E為n階單位矩陣，那么(A)R(A)R(AE)(B) R(A) R(A E) n(C)R(A)R(AE)D無法比擬R(A)R(AE與n的大小5、設(shè)其中C1 , C2, C3 , C4為任意常數(shù),C1C2C3C4那么以下向量組線性相關(guān)的為(A)1 ,2,3( B)(C)(D)三、10分計(jì)算nn 2階行列式DDn的主對(duì)角線上的元素都為x，其余位置元素都為 a，且x四、10分設(shè)3階矩陣A、B滿足關(guān)系:1A BA6ABA，且 A 0求矩陣B。五、10分設(shè)方陣A滿足A2A 2E0 其中E是單位矩陣，求A 1, A2E) 1。六、12分向量組1求向量組A的秩;2求向

17、量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)組，并把不屬于該最大無關(guān)組的其它向量用該最大無關(guān)組線性表出。1 1000七、14分設(shè)矩陣A1與矩陣B010相似,1 1002(1 )求(2)求正交矩陣P，使P 1AP B 。八、(14分)設(shè)有線性方程組為X1a1x2a1 X3a1X1a2x22a?X33a2X183X22a3 X33a3X184X2234X33a423(1 )證明：假設(shè)a1, a2,a3, a4兩兩不等，那么此方程組無解;(2 )設(shè) a1a3k, a2a4k(k 0),且1, 2是該方程組的兩個(gè)解，其中(1,1,1)T, 2(1,1,1)T，寫出此方程組的通解。參考答案二、填空：(每題3分，共計(jì)15分)

18、5132 0 11、； 2、P 1AP B ； 3、R(A) R(A, b) n ； 4、A 1538 63 3345、 一 o3二、選擇：(每題3分，共計(jì)15 分)1、B 2 、A 3 、D 4 、C 5 、C、(此題10分)(見教材P44習(xí)題第5題)解：后面n 1列都加到第1列，得1 a1 XLLaaXX(n 1)a(n 1)aaXLLaaDnx(n 1)aLLLLL LLLX(n 1)aaLX1 aLX1aLa0XaL0n 1X(n1)aLLLLx (n1)a(xa)00Lx a四、此題10 分2 0解：B 6(A 1 E) 160 40 0010010000106 03070010061600020。001五、此題10分見練