數(shù)列與不等式證明方法歸納解析版

1、共歸納了五大類，16種放縮技巧，30道典型例題及解析，供日后學(xué)習(xí)使用。1、 數(shù)列求和（1） 放縮成等比數(shù)列再求和（2） 放縮成差比數(shù)列再錯位相減求和（3） 放縮成可裂項(xiàng)相消再求和（4） 數(shù)列和比大小可比較單項(xiàng)2、 公式、定理（1） 利用均值不等式（2） 利用二項(xiàng)式定理（3） 利用不動點(diǎn)定理（4） 利用二次函數(shù)性質(zhì)3、 累加、累乘（1） 累加法（2） 利用類等比數(shù)列累乘4、 證明不等式常用方法（1） 反證法（2） 數(shù)學(xué)歸納法及利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)論5、 其它方法（1） 構(gòu)造新數(shù)列（2） 看到“指數(shù)的指數(shù)”取對數(shù)（3） 將遞推等式化為遞推不等式（4） 符號不同分項(xiàng)放縮一、數(shù)列求和（1）放縮成等比數(shù)列再

2、求和典例1已知數(shù)列，。（）求證：當(dāng)時：；（）記，求證。解析（）令，得（*）；又，兩式相減得，即與同號（*）；由（*）、（*）得；（）令，得；由（）得單調(diào)遞減，即；所以；即。典例2已知數(shù)列滿足，。（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：。解析（）由得，即；所以是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，所以，即；（）由（）得；所以典例3設(shè)數(shù)列滿足，。（）證明：；（）求正整數(shù)，使最小。解析（）因?yàn)?，且，即?shù)列遞增，所以，則，累加得，即，即；（）由（）得，且；累加得；即，所以；所以正整數(shù)，使得最小。（2） 放縮成差比數(shù)列再錯位相減求和典例1已知數(shù)列滿足：，求證：。解析因?yàn)椋耘c同號；又因?yàn)?，所以，即，即，所以?shù)

3、列為遞增數(shù)列，所以，即；累加得：；令，所以，兩式相減得：，所以，所以；故得。典例2已知數(shù)列與其前項(xiàng)和滿足。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：。解析（）設(shè)公差為，所以，解得，所以；因?yàn)?，所以，兩式相減得；將代入原等式，解得，所以；（）由（）得，所以（糖水原理）；所以，有錯位相減法得，所以，。（3） 放縮成可裂項(xiàng)相消再求和典例1已知。求證：。解析即證；因?yàn)?；所以；即證；記，下證；因?yàn)?；所以，即原不等式成立。典?已知數(shù)列滿足，。（）求證：是等比數(shù)列；（）求證：。解析（）因?yàn)椋瑑墒较鄿p得；所以，是公比為3的等比數(shù)列；（）由（）得；因?yàn)?；所以典?設(shè)是數(shù)列前項(xiàng)之積，滿足，。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，

4、求證：。解析（）因?yàn)?，所以，即，所以是公差?的等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，所以，即，所以；（）設(shè)，因?yàn)?，即是遞增數(shù)列，所以，即不等式左端成立；又因?yàn)?，即不等式右端成立；綜上，。（4） 數(shù)列和比大小可比較單項(xiàng)典例1已知數(shù)列滿足，。（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：。解析（）由得，即；所以是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，所以，即；（）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，；所以，要證，只需證，即；即，顯然成立；所以，從而。典例2已知，圓：與軸正半軸的焦點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為。對，證明：（）；（）若，則。解析（）由點(diǎn)在曲線上可得，又點(diǎn)在圓上，則，從而的方程為，由點(diǎn)在上得：，將代入化簡得，則；（）原不等式化

5、為，將不等式左右兩端分別看成數(shù)列、的前項(xiàng)和，則只需證，即；因?yàn)?，故，所以有；又因?yàn)楫?dāng)時，有，即，即，即；因?yàn)?，所以，所以有；綜上，即二、公式、定理（1）利用均值不等式典例數(shù)列定義如下：，。證明：（）；（）；（）。解析（）由，得；（）因?yàn)?，所以，累乘得；（）先證；由，得，即；累加得，即不等式左端成立再證；因?yàn)椋灾恍枳C，即；因?yàn)?，即；所以，即不等式右端成立；綜上，。（2）利用二項(xiàng)式定理典例已知數(shù)列滿足：，。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，證明：。解析（）設(shè)即與比較系數(shù)得，即又，故是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，故；（）即證，當(dāng)時顯然成立。易驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；設(shè)下面先研究其單調(diào)性；當(dāng)時，；所以，

6、所以；即數(shù)列是遞減數(shù)列；因?yàn)?，故只須證，即證；因?yàn)楣噬喜坏仁匠闪ⅲ痪C上，原不等式成立。（3） 利用不動點(diǎn)定理求數(shù)列通項(xiàng)典例1已知函數(shù)，數(shù)列滿足，。（）求的取值范圍，使對任意的正整數(shù)，都有；（）若，求證：，解析（）因?yàn)椋?），即，解得，所以；下證：時，恒有。因?yàn)椋?，即與同號，所以恒有，由（*）得；綜上，；（）由不動點(diǎn)定點(diǎn)得與均是以為公比的等比數(shù)列；所以，所以，即不等式左端成立；又因?yàn)?；累乘得，即不等式右端成立；綜上，典例2已知函數(shù)，數(shù)列滿足，。（）求的實(shí)數(shù)解；（）是否存在實(shí)數(shù)，使得對所有的都成立？證明你的結(jié)論；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：。解析（），；（）由（）及不動點(diǎn)定理得是以為首項(xiàng)，為公比

7、的等比數(shù)列；所以，顯然，所以取奇數(shù)時有，取偶數(shù)時有，即存在實(shí)數(shù)，使得對所有的都成立；（）由（）得；先證；只需證（為奇數(shù)），即，即；因?yàn)闉槠鏀?shù)，上述不等式化為；因?yàn)?；所以，成立，即不等式左端成立；再證；只需證，由（）得為偶數(shù)時，成立；為奇數(shù)時，即為奇數(shù)時，成立；所以，成立，即不等式右端成立；綜上，。（4） 利用二次函數(shù)性質(zhì)典例在正項(xiàng)數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，且（）比較與的大小；（）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為。解析（）令，則有，所以，即，所以；（），所以，。三、累加、累乘（1）累加法典例1已知數(shù)列，。（）求證：當(dāng)時：；（）記，求證：。解析（）令，得（*）；又，兩式相減得，即與同號（*）；由（*）、（*）得；（）

8、因?yàn)?，所以累加得；即，即。典?已知，數(shù)列的首項(xiàng)，。（）求證：；（）求證：，。解析（），所以；因?yàn)椋?，所以；（）由遞推關(guān)系可得，；所以（*）；又，得，即；所以（*）；結(jié)合（*）、（*），得，。典例3已知數(shù)列滿足=且=-（）（）證明：1（）；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.解析（）因?yàn)椋?，即?shù)列遞減，所以；又因?yàn)椋磁c同號，所以；所以，即；（）因?yàn)椋奂拥?；原不等式化為，即，即，即；因?yàn)?，即；又因?yàn)?，所以，即，累加得，所以，即，所以。?） 利用類等比數(shù)列累乘典例1設(shè)，給定數(shù)列，其中，。求證：。解析因?yàn)?，所以；累乘得，即。典?已知數(shù)列滿足：，且，設(shè)。（）比較和的大?。唬ǎ┣笞C：；（）設(shè)

9、為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：。解析（）因?yàn)?，所以；（）因?yàn)?，所以，即；因?yàn)?，所以，即；故；（）由（）中可知，且，所以；又因?yàn)?，所以，累乘得；所以，即原不等式成立。典?已知函數(shù)，數(shù)列(0)的第一項(xiàng)1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）求證：當(dāng)時，（）；（）。解析（）證明：因?yàn)樗郧€在處的切線斜率因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是所以.（）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時單調(diào)遞增；而；所以，即因此又因?yàn)榱顒t因?yàn)樗砸虼斯实淅?設(shè)數(shù)列滿足，其中。證明：（）；（）。解析（）因?yàn)?，所以與同號，因?yàn)?，所以；所以，累乘得，即；（）由（）得；所以，即原不等式成立。四、證明不等式常用方法（1）反

10、證法典例1設(shè)，給定數(shù)列，其中，。求證：（），；（）如果，那么當(dāng)時，必有。解析（）用數(shù)學(xué)歸納法可證；因?yàn)椋?；即；（）反證法：若當(dāng)時，有；因?yàn)?，且由（）得單調(diào)遞減；所以，即，與假設(shè)矛盾，所以當(dāng)時，必有。典例2已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對任意的，都有，且。求證：。解析先用反證法證明；若當(dāng)且僅當(dāng)時，有；令，則有，因而與矛盾，假設(shè)不成立；若當(dāng)時，有；令，則有，再令，則有，因而與矛盾，假設(shè)不成立；若當(dāng)時有，則，且由題意得，當(dāng)時，因而與矛盾，假設(shè)不成立；結(jié)合上述得，假設(shè)不成立，原命題成立，即；再用反證法證明；若存在時，有，即；由題意得，所以；累加得；所以當(dāng)時，有，因而與矛盾；假設(shè)不成立，原

11、命題成立，即；綜上，。（2）數(shù)學(xué)歸納法及利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)論典例設(shè)數(shù)列滿足，證明對：（）；（）。解析（）數(shù)學(xué)歸納法：令，命題成立；假設(shè)時，命題成立，即；令，成立；由得，；（）由（）中數(shù)學(xué)歸納法中間步驟得，即；所以五、其它方法（1）構(gòu)造新數(shù)列典例設(shè)數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和。證明：對，（）當(dāng)時，；（）當(dāng)時，；（）當(dāng)時，。解析（）由于（*）；又由于，即，即與同號，且，所以（*）；結(jié)合（*）、（*），得時，有；（）因?yàn)椋?，所以，即是單調(diào)遞增數(shù)列；由（）得；所以；（）由（）得，所以，所以，即不等式右端成立；令，由（）（）得；由，可得；從而；又，故，即；注意到；故；即，即，即不等式左端成立；綜上，當(dāng)時，有。（2） 看到“指數(shù)的指數(shù)”取對數(shù)典例已知數(shù)列滿足：，。證明：。解析先證；因?yàn)椋粌蛇吶∫?為底的對數(shù)，得，即；累乘得，所以，即不等式左端成立；再證；因?yàn)?，所以；所以，即；兩邊取?為底的對數(shù)，得，即；累乘得，所以，即不等式右端成立；綜上，。（3）將遞推等式化為遞推不等式典例1已知數(shù)列滿足：，。（）求證：；（）求證：；（）若，求正整數(shù)的最小值。解析（）由于，且，所以；（）由（）得，所以，即；累加得，所以，即，即；（）取最小值時，有，；所以，即；所以，即；累加得，所以，即，即；由（）得，所以當(dāng)時，有，所以最小值為2