高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)單元檢測(cè)06《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》提升卷（教師版）

1、單元檢測(cè)六數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法(提升卷)考生注意：1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共4頁(yè)2答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫在相應(yīng)位置上3本次考試時(shí)間100分鐘，滿分130分4請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，若S2163，則a7a11a15等于()A6B9C12D15答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由S2163，得21a1210d63，即a110d3，所以a7a11a153

2、a130d3(a110d)9，故選B.2已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足(a1a2a3a4a5)0，且a6，則數(shù)列an的前9項(xiàng)和為()A7B8C7D8答案C解析由(a1a2a3a4a5)0，得a1a2a3a4a5a1，所以a31.又a6，所以公比q，a14，故S94·7，故選C.3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A1B12C123D1234答案D解析當(dāng)n1時(shí)，左邊應(yīng)為12(13)，即1234，故選D.4等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S2018>0，S2019<0，且對(duì)任意正整數(shù)n都有|an|ak|，則正整數(shù)k的值為()A1008

3、 B1009 C1010 D1011答案C解析由S2019<0，得a1010<0，由S2018>0，得a1009a1010>0，a1009>a1010|a1010|.又d<0，n>1010時(shí)，|an|>|a1010|，n<1010時(shí)，|an|a1009|>|a1010|，k1010.5已知在數(shù)列an中，a11，an1ann1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為()A.B.C.D.答案D解析由an1ann1，得an1ann1，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1nn121，故，故數(shù)列的前n項(xiàng)和為(23n1)，故選D.6用數(shù)學(xué)歸納法證明

4、“(nN*)”時(shí)，由nk到nk1時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是()A.B.C.D.答案C解析分別代入nk，nk1，兩式作差可得左邊應(yīng)添加項(xiàng)當(dāng)nk時(shí)，左邊為，當(dāng)nk1時(shí)，左邊為，所以增加項(xiàng)為兩式作差得，故選C.7設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11,2Snan11，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan3nBan3n1Can2nDan2n1答案B解析因?yàn)?Snan11，所以2a1a21，又a11，所以a23.由題知當(dāng)n2時(shí)，2Sn1an1，所以2anan1an，易知an0，所以3(n2)，當(dāng)n1時(shí)，也符合此式，所以an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an3n1(nN*)，故選B.8已知數(shù)列an中，a

5、1，且對(duì)任意的nN*，都有an1成立，則a2020的值為()A1B.C.D.答案C解析由題得a1；a2；a3；a4，數(shù)列an為周期數(shù)列，且a1a3a5a2n1(nN*)，a2a4a6a2n(nN*)，所以a2020，故選C.9已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann3n224(nN*)，則當(dāng)an取得最小值時(shí)，n等于()A5B6C7D8答案C解析令f(x)x3x224(x1)，則f(x)3x221x3x(x7)在區(qū)間(1,7)內(nèi)，f(x)<0；在區(qū)間(7，)內(nèi)，f(x)>0.故當(dāng)x7時(shí)，f(x)取得最小值，即n7時(shí)，an取得最小值，故選C.10設(shè)數(shù)列an滿足a1，且對(duì)任意的nN*，都有an2a

6、n3n，an4an10×3n，則a2021等于()A. B.2 C. D.2答案A解析因?yàn)閷?duì)任意的nN*，滿足an2an3n，an4an10×3n，所以10×3n(an4an2)(an2an)3n23n10×3n，所以an4an10×3n.因?yàn)閍2021(a2021a2017)(a2017a2013)(a5a1)a110×(32017320133)10×.11記f(n)為最接近(nN*)的整數(shù)，如：f(1)1，f(2)1，f(3)2，f(4)2，f(5)2，.若4038，則正整數(shù)m的值為()A2018×2019B2

7、0192C2019×2020D2020×2021答案C解析設(shè)x，nN*，f(x)n，則n<<n，所以n2n<x<n2n，則n2n1xn2n，故滿足f(x)n的x的值共有2n個(gè)，分別為n2n1，n2n2，n2n，且2n×2.因?yàn)? 0382×2 019，所以m2 01922 0192019×2020，故選C.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a10，常數(shù)>0，且a1anS1Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()A.B.C.D.答案A解析令n1，則a2S12a1，即a1(a12)0，因?yàn)閍10，所以a1，

8、所以2anSn，當(dāng)n2時(shí)，2an1Sn1，得2an2an1an，即an2an1(n2)，所以an是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an×2n1(nN*)，故選A.第卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a19，a4a64，則當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n_.答案6解析由已知得a52，d，a62>0，a7<0，n6時(shí)，Sn取得最大值14已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a6a52a4，若存在兩項(xiàng)am，an，使得2a1，則的最小值為_答案解析設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0)，則由a6a52a4，可得

9、q2或q1(舍去)，又2a1，mn4，又m，nN*，經(jīng)驗(yàn)證m1，n3時(shí)，min.15已知數(shù)列an滿足a12，且an2(n2)，則an的通項(xiàng)公式為_答案ann1解析因?yàn)閍n2(n2)，所以an12(n2)，得(an12)(an2)an1an(n2)，整理得(n2)，又a12，且a22，所以a23，則·····×××××，整理得，所以ann1(nN*)(經(jīng)檢驗(yàn)n1也符合)16如圖是一個(gè)類似“楊輝三角”的圖形，記an,1，an,2，an，n分別表示第n行的第1個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)第n個(gè)數(shù)，則an,2_.(n

10、2且nN*)122343477451114115答案解析把第n行(n2)的第2個(gè)數(shù)記為an，則由題意可知a22，a34，a47，a511，a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1，所有等式兩邊同時(shí)相加得ana2，整理得an，n2，即an,2，n2.三、解答題(本題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a25，S3a7.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn2an，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由題意知解得由ana1(n1)d，得an2n1(nN*)，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(

11、2)由(1)可知an2n1，則bn22n1，所以4.因?yàn)閎1238，所以bn是首項(xiàng)為8，公比q4的等比數(shù)列記anbn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)n22n.18設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn，an1，4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<.(1)解由題意得4Sn(an1)2.當(dāng)n1時(shí)，a1(a11)2，所以a11；當(dāng)n2時(shí)，4Sn(an1)2，4Sn1(an11)2，得4ana2ana2an1，即(anan1)(anan12)0.又an>0，所以anan1

12、2，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即an2n1(nN*)(2)證明bn·，所以Tn<.19已知數(shù)列an滿足an0，a11，n(an12an)2an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解(1)因?yàn)閚(an12an)2an，故an1an，得2·.設(shè)bn，所以bn12bn.因?yàn)閍n0，所以bn0，所以2.又因?yàn)閎11，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故bn2n1，ann·2n1(nN*)(2)由(1)可知3n52n13n5，故Sn(203×15)(213×25)(2n13n5)(20212n1

13、)3(12n)5n2n1.20設(shè)a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若b1，是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n<c<a2n1對(duì)所有nN*恒成立？證明你的結(jié)論解(1)由題意得a22，a31.因?yàn)閍11，a21，a31.所以猜想an1(nN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式成立當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(nN*)時(shí)結(jié)論成立，即ak1，則ak11111，即當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上可知an1(nN*)(2)設(shè)f(x)1，則an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題a2n<<a2n1<1.當(dāng)n1時(shí)，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2<<a3<1，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(nN*)時(shí)結(jié)論成立，即a2k<<a2