概率論與數(shù)理統(tǒng)計猴博士

1、實用標(biāo)準(zhǔn)概率論第一課一、 無放回類題目例1：盒子中有4紅3白共7個球，不用眼瞅，七個球摸起來是一樣的，現(xiàn)無放回的摸4次，那摸出兩個紅球兩個白球的概率是多少？P=C 條件一總條件一取 × C 條件二總條件二取C 總?cè)=C42×C32C74例2：隔壁山頭共有11只母猴兒，其中有5只美猴兒、6只丑猴兒，在大黑天看起來是一樣的。今兒月黑風(fēng)高，我小弟冒死為我擄來5只，問天亮后，發(fā)現(xiàn)有2只美猴兒、3只丑猴兒的概率是多少？P=C 條件一總條件一取 × C 條件二總條件二取C 總

2、取P=C52×C63C115關(guān)于 Cnm 的計算：二、 有放回類題目例1：盒子中有5紅6白共11個球，不用眼瞅，11個球摸起來是一樣的，現(xiàn)有放回的摸5次，那摸出兩個紅球三個白球的概率是多少？例2：在小弟為我抓回的5只母猴兒中，有2美3丑，每天我都隨機挑一只母猴兒來，為她抓虱子。就這樣，過去了101天，抓了101次虱子，問這101次中，為美猴兒服務(wù)50次、丑猴兒服務(wù)51次的概率是多少？三、 需要畫圖的題目例1：已知0<x<1，0<y<1，求x>y的概率是多少？ 表現(xiàn)已知條件 表現(xiàn)待求概率的條件 找出重合部分 P(x>y)=   =

3、  1 2例2：已知-1<x<1，-1<y<1，求x²+y²<1的概率是多少？Px2+y2<1=S圓S正=×124=4四、 條件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)解釋：事件A：擲一次骰子，朝上點數(shù)大于3事件B：擲一次骰子，朝上點數(shù)是6P(B|A)：擲一次骰子，已知朝上點數(shù)大于3，朝上點數(shù)是6的概率P(AB)：擲一次骰子，朝上點數(shù)是6的概率P(A)：擲一次骰子，朝上點數(shù)大于3的概率例1：小明概率論考試得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知這次考試小明概率論沒掛，那么小明得80分以上

4、的概率是多少？事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上時，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=8085=1617例2：某地區(qū)今年會發(fā)生洪水的概率是80%，今明兩年至少有一年會發(fā)生洪水的概率是85%，假如今年沒有發(fā)生洪水，那么明年發(fā)生洪水的概率是多少？事件A：今年沒有發(fā)生洪水事件B：明年發(fā)生洪水P(B|A)：今年沒有發(fā)生洪水的情況下，明年發(fā)洪水的概率P(AB)：今年沒有發(fā)生洪水，明年發(fā)生洪水的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=85-801-80=520=14五、 全概率公式公式：A、B等個體均可能發(fā)生

5、某事，則P(發(fā)生某事)=P(A出現(xiàn))·P(A發(fā)生某事)+P(B出現(xiàn))·P(B發(fā)生某事)例1：某高速公路上客車中有20%是高速客車，80%是普通客車，假設(shè)高速客車發(fā)生故障的概率是0.002，普通客車發(fā)生故障的概率是0.01。求該高速公路上有客車發(fā)生故障的概率。 P(有客車發(fā)生故障)=P(高速車出現(xiàn))·P(高速車故障)+P(普通車出現(xiàn))·P(普通車故障)=20%×0.002+80%×0.01=0.0084例2：猴博士公司有猴博士與傻狍子兩個員工，老板要抽其中一個考核，抽中猴博士與傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通過的概率是100%，傻狍

6、子考核通過的概率是1%，那么抽中的員工通過考核的概率是多少？ P(抽中的員工通過考核)=P(猴博士出現(xiàn))·P(猴博士通過)+P(傻狍子出現(xiàn))·P(傻狍子通過)=50×100+50×1=50.5六、 貝葉斯公式公式：A、B等個體均可能發(fā)生某事，則P(已知有個體發(fā)生某事時，是A發(fā)生的)=P(A出現(xiàn))·P(A發(fā)生某事)P(發(fā)生某事)例1：某高速公路上客車中有20%是高速客車，80%是普通客車，假設(shè)高速客車發(fā)生故障的概率是0.002，普通客車發(fā)生故障的概率是0.01。求該高速公路上有客車發(fā)生故障時，故障的是高速客車的概率。P(有客車發(fā)生故障)=P(高速

7、車出現(xiàn))·P(高速車故障)+P(普通車出現(xiàn))·P(普通車故障)=20%×0.002+80%×0.01=0.0084P(已知有客車發(fā)生故障，是高速客車發(fā)生的)=P(高速客車出現(xiàn))·P(高速客車故障)P(有客車故障)=20·0.0020.0084=121例2：猴博士公司有猴博士與傻狍子兩個員工，老板要抽其中一個考核，抽中猴博士與傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通過的概率是100%，傻狍子考核通過的概率是1%，求抽中的員工通過考核時，被抽中的員工是傻狍子的概率。P(抽中的員工通過考核)=P(猴博士出現(xiàn))·P(猴博士通過)+P(傻

8、狍子出現(xiàn))·P(傻狍子通過)=50×100+50×1=50.5 P(已知有員工通過考核，是傻狍子通過的)=P(傻狍子出現(xiàn))·P(傻狍子通過)P(抽中的員工通過考核)=50·150.5=1101概率論第二課七、 已知 FX(x)與 fX(x)中的一項，求另一項公式：fX(x)=FX(x) FX(x)=-xfX(x)dx例1：設(shè)X的分布函數(shù) FX(x)=0，x<1 lnx，1x<e1，xe ，求X的密度函數(shù) fX(x)。fX(x)=FX(x)=0'，x<1 (lnx)'，1x<e1'，xe 0，x&l

9、t;1 1x，1x<e0，xe 1x，1x<e0，其他 例2：設(shè)X的密度函數(shù) fX(x)=-12x+1，0x20，其他 ，求X的分布函數(shù) FX(x)。當(dāng)x>2時，F(xiàn)X(x)=-xfX(x)dx=1當(dāng)0x2時，F(xiàn)X(x)=-xfX(x)dx=-x24+x當(dāng)x<0時，F(xiàn)X(x)=-xfX(x)dx=-x0dx=0FX(x)=0，x<0 -x24+x，0x21，x>2 八、 已知 FX(x)與 fX(x)中的一種，求P公式：P(a<X<b)=FX(b)-FX(a)=abfX(x)dx例1：設(shè)X的分布函數(shù)FX(x)= 0，x<1 lnx，1x<

10、;e1，xe ，求概率Px2<4P(x2<4)=P(-2<x<2) =FX(2)-FX(-2) =ln2-0 =ln2例2：設(shè)X的密度函數(shù)fX(x)=-12x+1，0x20，其他 ，求概率P(-1<x<2)P(-1<x<2)=-12fX(x)dx =-10fX(x)dx+02fX(x)dx =-100dx+02(-12x+1)dx =0+1 =1九、 FX(x)或 fX(x)含未知數(shù)，求未知數(shù)公式：FX(-)=0，F(xiàn)X(+)=1，F(xiàn)上(分段點)=F下(分段點) -+fX(x)dx=1例1：設(shè)X的分布函數(shù) FX(x)=0，x0 a+be-x，x&g

11、t;0(>0)，求a和b。 FX(+)=1 a+be-·(+)=1 a+be-=1 a+be+=1 a=1 F上(0)=F下(0) 0=a+be-·(0) 0=a+be0 a+b=0 a=1 a+b=0 a=1 b=-1例2：設(shè)X的密度函數(shù) fX(x)=ax+1，0x20，其他 ，求常數(shù)a。 -+fX(x)dx=1 -0fX(x)dx+02fX(x)dx+2+fX(x)dx=1 -00dx+02ax+1dx+2+0dx=1 0+2a+2+0=1 解得 a=-12十、 求分布律例1：從編號為1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示從中取出的最大號碼，求其分布律

12、。X可能的取值為3，4，5，6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=320P(X=5)=C42C11C10C63=310P(X=6)=C52C11C63=12分布列：十一、 已知含有未知數(shù)的分布列，求未知數(shù)例1：已知分布列如下，求k的值。 120+320+310+k=1解得 k=12概率論第三課十二、 已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。X-202P0.40.30.3根據(jù)X的所有取值，計算Y的所有取值 Y=-22+1=5 Y=02+1=1 Y=22+1=5將表格里X那一列對應(yīng)換成YY515P0.40.30.3化簡

13、一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X-1的分布列。X3456P12032031012根據(jù)X的所有取值，計算Y的所有取值 Y=2×3-1=5 Y=2×4-1=7 Y=2×5-1=9 Y=2×6-1=11將表格里X那一列對應(yīng)換成YX57911P12032031012也可以表示成：Y5791112032031012十三、 已知 FXx，求 FYy例1：設(shè)X的分布函數(shù)為 FXx=0，x0 x2，0<x<11，x1 ，求Y=2X的分布函數(shù)。 寫出X=?YY=2X X=Y2 用?y替換FXx中的x，結(jié)果為 FX(?y) FXy2=0

14、，y20 y22，0<y2<11，y21 判斷?y中是否有負(fù)號若無，則 FY(y)= FX(?y)若有，則 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=FXy2=0，y0 y24，0<y<21，y2 例2：設(shè)X的分布函數(shù)為 FXx=0，x0 x2，0<x<11，x1 ，求Y=-X的分布函數(shù)。寫出X=?Y Y=-X X=-Y 用?y替換FXx中的x，結(jié)果為 FX(?y) FX(-y)=0，-y0 (-y)2，0<-y<11，-y1 判斷?y中是否有負(fù)號若無，則 FY(y)= FX(?y)若有，則 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=1-FX

15、(-y)=1，y0 1-y2，-1<y<00，y-1 十四、 已知 fXx，求 fYy例1：設(shè)X的密度函數(shù)為 fXx=1，0<x<10，其他 ，求Y=2X的密度函數(shù)。寫出X=?Y Y=2X X=Y2 用?y替換 fXx中的x，結(jié)果為 fX?yfXy2=1，0<y<20，其他 令 fY=(?y)'·fX(?y)fY=y2'·fXy2=12·fXy2=12，0<y<20，其他 判斷?y中是否有負(fù)號若無，則 fY(y)=fY若有，則 fY(y)=-fYfY(y)=fY=12，0<y<20，其他

16、概率論第四課十五、 符合均勻分布，求概率公式：P=滿足要求長度總長度例1：設(shè)X在2,5上服從均勻分布，求X的取值大于3的概率?？傞L度：3大于3的長度：2PX的取值大于3=23例2：設(shè)X在2,5上服從均勻分布，求X的取值小于3的概率?？傞L度：3小于3的長度：1PX的取值小于3=13十六、 符合泊松分布，求概率公式：P(X=x)=xx!e-例1：某電話交換臺每分鐘接到的呼叫數(shù)服從參數(shù)為5的泊松分布。求在一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過6次的概率。X表示一分鐘內(nèi)接到呼叫的次數(shù)P(X6)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6) =500!e-

17、5+511!e-5+522!e-5+533!e-5+544!e-5+555!e-5+566!e-5 =0.7622十七、 符合二項分布，求概率公式：P(X=x)=CnxPx(1-P)n-x例1：重復(fù)投5次硬幣，求正面朝上次數(shù)為3次的概率。x=3 n=5 P(正面朝上)=12P(X=3)=C53123(1-12)5-3=516例2：在二紅一綠三個球中有放回地摸3次，求摸到紅球次數(shù)為2次的概率。x=2 n=3 P(摸到紅球)=23P(X=2)=C32232(1-23)3-2=49十八、 符合指數(shù)分布，求概率公式：f(x)=e-x，x>00，x0 Pa1<X<a2=a1a2f(x)

18、dxPX<a=-af(x)dx PX>a=a+fxdx 例1：某種電子元件的使用壽命X (單位:小時)服從=12000 的指數(shù)分布。求：(1)一個元件能正常使用1000小時以上的概率； (2)一個元件能正常使用1000小時到2000小時之間的概率。X的密度函數(shù)為f(x)=12000e-x2000，x>00，x0 (1)P(X>1000)=1000+f(x)dx=1000+12000e-x2000 dx=e-0.5(2)P(1000<X<2000)=10002000f(x)dx=1000200012000e-x2000 dx =-e-1+e-0.5十九、 符合

19、正態(tài)分布，求概率公式：Pa<X<b=b-a-PX<a=a- PX>b=1-b- 例1：設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(1.5,4)，求：(1)P(1.5<X<3.5)；(2)P(X<3.5)。其中：(0)=0.5，(0.75)=0.7734，(1)=0.8413，(2.25)=0.9878=1.5，=4=2(1)P(1.5<X<3.5)=(3.5-1.52)-(1.5-1.52)=(1)-(0)=0.3413 (2)P(X<3.5)=(3.5-1.52)=(1)=0.8413二十、 正態(tài)分布圖像公式： 圖像關(guān)于對稱 面積表示概率，總面積為

20、1 越小，圖像越陡例1：例2：常見分布的其他表示方法均勻分布 Ua,b二項分布 Bn,p指數(shù)分布 E()正態(tài)分布 N,2例： X在2,5上服從均勻分布，求X的取值大于3的概率。即 XU2,5，求X的取值大于3的概率。 某種電子元件的使用壽X(單位:小時)服從=12000的指數(shù)分布即 某種電子元件的使用壽命X(單位:小時)服從 XE(12000)概率論第五課二十一、 已知二維離散型分布律，求?例1：已知二維隨機變量X，Y的分布律如下表：求：(1)P(X=0)，P(Y=2)(2)P(X<1，Y2)(3)P(X+Y=2)(4)X，Y的分布律(5)Z=X+Y的分布律解：(1)P(X=0)=0.2

21、+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=0.1+0.2=0.3 (2)P(X<1，Y2)=0.2+0.1=0.3 (3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1二十二、 已知二維離散型分布律，判斷獨立性公式：如果任意 xi，yi 均滿足P(X=xi，Y=yi)=P(X=xi)·P(Y=yi)那么X、Y相互獨立否則X、Y不相互獨

22、立例1：已知二維隨機變量X，Y的分布律如下表：請判斷X、Y的獨立性。例2：已知二維隨機變量X，Y的分布律如下表：X、Y是相互獨立的，求、的值。  1 6+ 1 9+1 18 + 1 3+ 2 9+ 1 9=1二十三、 已知F(x,y)，求f(x,y)公式：f(x,y)= 2Fx,y xy例1：二十四、 已知f(x,y)，求F(x,y)例1：已知二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)= 21 4x2y，x2y10，其他 

23、0;                     求F(x,y)。例2：已知二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：f(x,y)=x+y，0x1，0y10，其他                     &

24、#160;              ，求F(x,y)。二十五、 已知F(x,y)，求P公式：P(Xx0，Yy0)=F(x0，y0)例1：二十六、 已知f(x,y)，求P例1：例2：二十七、 求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知數(shù)公式：F(+ , +)=1，F(xiàn)(- , -)=0， F(x , -)=0，F(xiàn)(- , y)=0  -+ -+f(x,y)dxdy=1例1：例2：二十八、 求均勻分布的f(x,y)與P公式：例1：概率論第六課二十九、 求邊緣分布函數(shù)公式：FX(x)=F(x,+)，F(xiàn)Y(y)=F(+,y)例1：三十、 求邊緣密度函數(shù)三十一、 判斷連續(xù)型二維變量的獨立性公式：例1：三十二、 已知f(x,y)，Z=X+Y，求fZ(z)公式：fZ(z)=-+f(x,z-x)dx例1：三十三、 已知f(x,y)，Z=XY，求 fZ(z)公式：fZ(z)=-+f(yz,y)·|y|dy三十四、 已知f(x,y)，且X,Y相互獨立，Z=max(X,Y)，求FZ(z)公式：FZ(z)=FX(z)·FY(z)例1：設(shè)隨機