分式教材分析

1、第十五章 分式 教材分析 一、本章的地位和作用分式是不同于整式的另一類有理式，是一種重要的代數(shù)式；相應(yīng)的，分式方程是不同于整式的另一類有理方程，是一種重要的方程分式或分式方程作為某些類型問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，具有整式或整式方程不可替代的特殊作用這一章所涉及的分式的基本概念,基本性質(zhì),基本運(yùn)算,分式方程的基本解法等,都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必須具備的基礎(chǔ)知識(shí)。在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)分?jǐn)?shù)有較多的了解在此基礎(chǔ)上，通過(guò)分式與分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式；在討論分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分和四則運(yùn)算時(shí)進(jìn)行類比，可以溫故知新、深化知識(shí)教材通過(guò)利用現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系引出數(shù)學(xué)模型分式的概念，然后

2、通過(guò)與分?jǐn)?shù)類比的方法得出分式的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算法則.最后運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)解決可化為一元一次方程的分式方程的實(shí)際問(wèn)題等，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)和一元二次方程等知識(shí)做好準(zhǔn)備。 二、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1、以描述實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系為背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，認(rèn)識(shí)分式是一類應(yīng)用廣泛的重要代數(shù)式.2、類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，了解分式的基本性質(zhì)，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，了解最簡(jiǎn)分式的概念.3、類比分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，探究分式的四則運(yùn)算法則，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算.4、結(jié)合分式的運(yùn)算，將指數(shù)的范圍從正整數(shù)擴(kuò)大到全體整數(shù)，了解整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；能用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的正數(shù).

3、5、掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，體會(huì)解分式方程中的化歸思想.6、結(jié)合利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型.三、本章主要內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想1、基本知識(shí)：分式的概念、分式的基本性質(zhì)，分式的約分和通分法則、分式的四則運(yùn)算、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、掌握可以化為一元一次方程的分式方程的解法.2、基本技能：熟練掌握分式的約分和通分、分式的四則運(yùn)算、可以化為一元一次方程的分式方程的解法.3、基本的數(shù)學(xué)思想：化歸思想（化繁為簡(jiǎn)）、類比思想（類比分?jǐn)?shù)）、整體思想（化簡(jiǎn)求值、分式方程）、數(shù)學(xué)建模思想（應(yīng)用題）.4、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)： 積累分式運(yùn)算的方

4、法，總結(jié)進(jìn)行分式運(yùn)算的解題經(jīng)驗(yàn)，解決不同類問(wèn)題時(shí)有不同的策略.5.重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是分式的四則運(yùn)算，它是整式四則運(yùn)算的進(jìn)一步發(fā)展，是代數(shù)式恒等變形的重要內(nèi)容之一（1）分式的基本性質(zhì)是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)（2）分式的四則運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容（3）注意類比學(xué)習(xí)方法的掌握難點(diǎn)：(1)分式的四則混合運(yùn)算(2)分式方程的增根問(wèn)題(3)列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題 四、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本章的要求：了解分式及最簡(jiǎn)分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算；能解可以化為一元一次方程的分式方程.五、中考說(shuō)明中對(duì)分式的要求考試內(nèi)容考試要求層次ABC數(shù)與代數(shù)數(shù)與式分式了解分式

5、和最簡(jiǎn)分式能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算；能選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q與分式有關(guān)的問(wèn)題冪的運(yùn)算了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)能用整數(shù)指數(shù)的冪性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算代數(shù)式的值了解代數(shù)式的值的概念會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)代數(shù)式的特征推斷代數(shù)式反映的規(guī)律運(yùn)用恰當(dāng)?shù)闹R(shí)和方法對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形，解決有關(guān)問(wèn)題方程與不等式分式方程了解分式方程的概念能解可化為一元一次方程的分式方程運(yùn)用方程不等式的內(nèi)容解決有關(guān)問(wèn)題六、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖七、課時(shí)安排本章教學(xué)時(shí)間約需15課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：15.1 分式 3課時(shí)15.2 分式的運(yùn)算 6課時(shí)15.3 分式方程 3課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng) 1課時(shí)小

6、結(jié) 2課時(shí)八、教學(xué)建議（一）參考教參P246P250（二）具體教學(xué)建議：1. 加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo), 重視分?jǐn)?shù)與分式的聯(lián)系 分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系，即相對(duì)于分式而言分?jǐn)?shù)就是具體的、特殊的基礎(chǔ)對(duì)象.分式是把具體的分?jǐn)?shù)一般化后的抽象代表，根據(jù)這種關(guān)系，分式的基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則等應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則等相對(duì)應(yīng)，即兩者具有一致性，這也可以說(shuō)是數(shù)式通性.本章教科書(shū)對(duì)分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則等內(nèi)容的展開(kāi)，充分地考慮了這樣的認(rèn)識(shí)過(guò)程.因此，教學(xué)中應(yīng)重視分?jǐn)?shù)與分式的聯(lián)系，考慮到學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)已有一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，要發(fā)揮這樣的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)

7、的作用，通過(guò)分式與分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式，這將有助于理解和記憶所學(xué)的分式內(nèi)容.同時(shí)，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)于培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)方法也會(huì)起到引導(dǎo)作用.2.關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，本章中分式的基本概念、基本性質(zhì)、基本運(yùn)算、分式方程的概念、解法和應(yīng)用等，都是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的基礎(chǔ)，應(yīng)切實(shí)打好基礎(chǔ)運(yùn)算技能的訓(xùn)練是代數(shù)教學(xué)的基本任務(wù)，也是本章的重要教學(xué)目標(biāo)，本章的運(yùn)算技能涉及分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算、解分式方程等它們都是本章的重點(diǎn)內(nèi)容本章從哪些方面來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力呢？ 調(diào)整好學(xué)生心態(tài)，注意知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系 學(xué)生已經(jīng)掌握分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，并能應(yīng)用它進(jìn)行分?jǐn)?shù)計(jì)算，教師可以因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生明白不

8、要畏懼困難，分?jǐn)?shù)即具體數(shù)值，而分式即為能成立的字母，只不過(guò)數(shù)的范圍擴(kuò)大而已，實(shí)質(zhì)相同，也是找到分母的“公分母”，沒(méi)有想象中的那么復(fù)雜，他們之間即為孿生兄弟，沒(méi)有不可逾越的鴻溝。 掌握基礎(chǔ)知識(shí)，深刻理解算理 切實(shí)掌握相關(guān)運(yùn)算的定義、法則、公式、性質(zhì)、定理等基礎(chǔ)知識(shí)是進(jìn)行正確運(yùn)算的基礎(chǔ)，因?yàn)檫@些基礎(chǔ)知識(shí)能為運(yùn)算指明思考方向，為學(xué)生選擇合理的運(yùn)算方法提供理論依據(jù).從學(xué)生常見(jiàn)的運(yùn)算錯(cuò)誤中可以發(fā)現(xiàn)，大多是與基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)有關(guān)，如大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于機(jī)械運(yùn)算，見(jiàn)積就用乘，見(jiàn)商就想除，就是因?yàn)閷?duì)基礎(chǔ)知識(shí)不理解，不能合理運(yùn)算造成的. 在下面這兩個(gè)典型的錯(cuò)例中，錯(cuò)誤的原因就是：學(xué)生對(duì)解分式方程與分式計(jì)算存在解題策略

9、的混淆；學(xué)生對(duì)增根、驗(yàn)根、分式有意義的條件存在概念、意識(shí)和題型特征的混淆.建議：增強(qiáng)分式運(yùn)算與解分式方程的對(duì)比練習(xí)，澄清有關(guān)的概念，把握題目特征，增強(qiáng)解題能力. 通過(guò)觀察分析，找到解題技巧平方差公式、完全平方公式和兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，在異分母分式加減法中應(yīng)用最廣，首先將分式中的分母因式分解，即化難為易，找到本質(zhì)，才能做到有的放矢。比如：通過(guò)觀察兩個(gè)分式的分母有公分母（y-x）,而（x-y）與（y-x）互為相反數(shù)，可把轉(zhuǎn)化為，這樣達(dá)到通分的目的. 分析觀察可以從包含以下幾個(gè)方面逐級(jí)深入：第一，全題包含了哪些運(yùn)算；第二，各運(yùn)算之間的先后順序如何? 第三，算式中有無(wú)應(yīng)先整理的式子(如分?jǐn)?shù)小數(shù)系數(shù)、多項(xiàng)

10、式排列混亂、需要先因式分解等)；第四，是否有簡(jiǎn)便方法；第五，哪些地方容易忽視和出錯(cuò) 突出比較分析，選擇合理方法選擇合理的方法是在挖掘題目中特殊的信息基礎(chǔ)上，對(duì)題目進(jìn)行剖析，多法擇優(yōu)。在具體的課堂教學(xué)中，可以要求學(xué)生在對(duì)某一問(wèn)題得到一種算法后，不要滿足于已得的解法，要有意識(shí)地分析比較這種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，積極探求可加以改進(jìn)和其他更簡(jiǎn)便的運(yùn)算方法，并總結(jié)解決過(guò)程中是如何對(duì)運(yùn)算進(jìn)行合理設(shè)計(jì)的，促進(jìn)學(xué)生形成追求最合理、最明確、最簡(jiǎn)單的運(yùn)算方法的思維品質(zhì)。 注重對(duì)典型運(yùn)算錯(cuò)誤的剖析 發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，比解決一個(gè)問(wèn)題更重要。從實(shí)際的教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，如從整體上看，運(yùn)用的運(yùn)算方法

11、正確，但在運(yùn)算的過(guò)程中，抄寫(xiě)運(yùn)算符號(hào)、數(shù)值、去括號(hào)、去分母、約分等方面出現(xiàn)問(wèn)題，而影響了整個(gè)運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，并且這樣的屢屢出錯(cuò)會(huì)挫傷學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，從而阻礙了數(shù)學(xué)思維的進(jìn)一步發(fā)展。為此，對(duì)于學(xué)生運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，一定要注意收集總結(jié)、歸類整理，以此為例題，引導(dǎo)學(xué)生自主、合作地進(jìn)行剖析，師生共同探究這些錯(cuò)誤產(chǎn)生的根本原因，找出運(yùn)算出錯(cuò)的根源，從而加以解決，這也是提高學(xué)生運(yùn)算能力的有效途徑之一。 3. 關(guān)注方程與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想 列方程解應(yīng)用題一直是學(xué)生的難點(diǎn)，講解的過(guò)程中注意滲透思考分析問(wèn)題的思路. 列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的基本思路和方法是一致的.

12、不同的是，因?yàn)閷W(xué)習(xí)了分式后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式就可以不受整式限制，也可以用分式表示.對(duì)于應(yīng)用題要講清以下步驟： （1）審清題意：弄清題中涉及哪些量？已知數(shù)和未知量各幾個(gè)？量與量之間的基本關(guān)系是什么？ （2）設(shè)未知數(shù)，找出盡可能多的等量關(guān)系，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其它未知量，注意所設(shè)未知量的單位要明確. （3）列方程，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含有未知數(shù)的等式，這就是方程. （4）解方程，并驗(yàn)根，驗(yàn)根時(shí)應(yīng)注意： 檢驗(yàn)解得的根是否是原分式方程的根； 檢驗(yàn)這個(gè)根是否符合實(shí)際.（5）寫(xiě)出答案. 設(shè)未知數(shù)、列方程是建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵步驟，而正確地理解問(wèn)題情境，分析其中的

13、等量關(guān)系是設(shè)未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ)列方程歷來(lái)是教學(xué)中的難點(diǎn)，教學(xué)中，可以從多角度幫助學(xué)生進(jìn)行思考，例如借助表格、圖形、等進(jìn)行分析，尋找等量關(guān)系，檢驗(yàn)方程的合理性教師還可以結(jié)合實(shí)際情況選擇更貼近學(xué)生生活的各種問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用分式方程分析、解決它們總之，教師需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生克服難點(diǎn)，使學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，體會(huì)方程的作用，掌握運(yùn)用方程解決問(wèn)題的方法我校備課組在分式方程教學(xué)中采用列表分析法進(jìn)行教學(xué)，中上層學(xué)生們較易接受和掌握，效果不錯(cuò)。用列表在實(shí)際教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)在應(yīng)用題的題目本身結(jié)構(gòu)中一般會(huì)有兩個(gè)共同之處：三個(gè)量；兩種情況。所謂三個(gè)量：不管什么類型的題目都是三個(gè)量之間的關(guān)系。例如：行程問(wèn)題中是速度、路程、時(shí)間；工程問(wèn)題中是工作時(shí)間，工作效率、工作總量，銷售問(wèn)題中是單價(jià)，數(shù)量、總價(jià)；等等，所謂兩種情況：不管什么題目都會(huì)有甲、乙兩人，或兩個(gè)工程隊(duì)，或今年、明（去）年，或計(jì)劃、實(shí)際等。所以，在解應(yīng)用題時(shí)可以先列個(gè)表格，具體方法如下：例題：學(xué)校組織學(xué)生去距離學(xué)校15千米的郊區(qū)，一部分同學(xué)騎自行車，另一部分同學(xué)在40分鐘后乘汽車沿相同的路線行進(jìn)，結(jié)果騎自行車與乘汽車的同學(xué)同時(shí)到達(dá)目的地。已知汽車的速度是自行車速度的3倍，求自行車和汽車的速度。 （1）三個(gè)量：路程、速度、時(shí)間 （2）兩種情況：騎自行車、豳自行車； （3）列表：如下表1：表1路程速度時(shí)間自行