大學(xué)物理課件--機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波

1、第六章第六章 物體周期性運(yùn)動(dòng)物體周期性運(yùn)動(dòng)和機(jī)械波和機(jī)械波12021/2/6 振動(dòng)是自然界中最普遍的一種運(yùn)動(dòng)形式。物體在平衡振動(dòng)是自然界中最普遍的一種運(yùn)動(dòng)形式。物體在平衡位置附近做往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng)位置附近做往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng), ,稱為機(jī)械振動(dòng)。電流、電壓、稱為機(jī)械振動(dòng)。電流、電壓、電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度圍繞某一平衡值做周期性變化電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度圍繞某一平衡值做周期性變化, ,稱為電稱為電磁振動(dòng)或電磁振蕩。磁振動(dòng)或電磁振蕩。 一般地說一般地說, ,任何一個(gè)物理量的值不斷地經(jīng)過極大值和極任何一個(gè)物理量的值不斷地經(jīng)過極大值和極小值而變化的現(xiàn)象小值而變化的現(xiàn)象, ,稱為振動(dòng)。稱為振動(dòng)。 雖然各種振動(dòng)的具體

2、物理機(jī)制可能不同雖然各種振動(dòng)的具體物理機(jī)制可能不同, ,但是作為振但是作為振動(dòng)這種運(yùn)動(dòng)的形式動(dòng)這種運(yùn)動(dòng)的形式, ,它們卻具有共同的特征。它們卻具有共同的特征。 本章主要討論簡諧振動(dòng)和振動(dòng)的合成本章主要討論簡諧振動(dòng)和振動(dòng)的合成, ,并簡要介紹阻尼并簡要介紹阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振現(xiàn)象以及非線性振動(dòng)。振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振現(xiàn)象以及非線性振動(dòng)。簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng):一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體,如果其偏離平衡位置如果其偏離平衡位置的位移的位移 x（或角位移或角位移 ）隨時(shí)間）隨時(shí)間 t 按余弦（或正弦）規(guī)按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。律變化的振動(dòng)。0cos()xAt 簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)定義簡諧

3、振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)定義x 可以是位移、電流、場強(qiáng)、溫度可以是位移、電流、場強(qiáng)、溫度一、彈簧振子模型一、彈簧振子模型彈簧振子彈簧振子:彈簧彈簧 物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 平衡位置平衡位置:彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕輕彈簧彈簧 質(zhì)量忽略不計(jì)質(zhì)量忽略不計(jì),形變滿足胡克定律形變滿足胡克定律 物體物體 可看作質(zhì)點(diǎn)可看作質(zhì)點(diǎn) 簡諧振動(dòng)的判據(jù)簡諧振動(dòng)的判據(jù)kxOmxkxF 受力受力22dtxdmkx 微分方程微分方程2km 令令 2220d xxdt 其通解為其通解為:二、簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程二、簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程0cos()xAt 0222 xdtxd 簡諧振動(dòng)的微分方程簡諧振動(dòng)的微分方程

4、 簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程00cos()sin()2tt 20 令令 sin()xAt 200cos()cos()maAtat 0cos()xAt 00sin()cos()2mvAtvt 三三 諧振動(dòng)振子的速度和振動(dòng)加速度諧振動(dòng)振子的速度和振動(dòng)加速度toTa vx.avxT/4T/4)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由圖可見由圖可見: :2av 超超前前2vx 超超前前x t+ o Amv ma 090090以彈簧振子為例以彈簧振子為例諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量 = 系統(tǒng)的系統(tǒng)的動(dòng)能動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的系統(tǒng)的勢能勢能Ep某一時(shí)刻

5、某一時(shí)刻,諧振子速度為諧振子速度為v,位移為位移為x0sin()vAt 0cos()xAt212kEmv 2201sin ()2kAt 212pEkx 2201cos ()2kAt 諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢能是時(shí)間的周期性函數(shù)諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢能是時(shí)間的周期性函數(shù)動(dòng)動(dòng)能能221mvEk )t(sinkA02221 勢勢能能212pEkx )t(coskA02221 情況同動(dòng)能情況同動(dòng)能maxmin,pppEEE0min kE2114t TkktEE dtkAT 2max21kAEk 機(jī)械能機(jī)械能221kAEEEpk 簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒由起始能量求振幅由起始能量求振幅022EEA

6、kk 212EkA xtTEoEtEk(1/2)kA2Ep實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng) 系統(tǒng)沿系統(tǒng)沿x軸振動(dòng)軸振動(dòng),勢能函數(shù)為勢能函數(shù)為Ep(x),勢能曲線存在極勢能曲線存在極小值小值,該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。在該位置（取在該位置（取x=0）附近將勢能函數(shù)作級數(shù)展開附近將勢能函數(shù)作級數(shù)展開222001( )(0)2ppppxxdEd EExExxdxdx 微振動(dòng)系統(tǒng)一般可以當(dāng)作諧振動(dòng)處理微振動(dòng)系統(tǒng)一般可以當(dāng)作諧振動(dòng)處理00pdExdx ，有有22201( )(0)2pppxd EExExdx ( )pdExFdx 220pxd Exdx ()kx 6.2 6.2

7、 簡諧振動(dòng)的特征量簡諧振動(dòng)的特征量0cos()xAt 一一 振幅振幅 A A 簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。移（或角位移）的絕對值。0sin()dxvAtdt 000vv ,xx,t 若已知初始條件若已知初始條件00 cosAx 00sinvA 2200()vAx 由初始條件和系統(tǒng)本身情況決定由初始條件和系統(tǒng)本身情況決定頻率頻率 :單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。二二 周期周期 、頻率、圓頻率頻率、圓頻率對彈簧振子對彈簧振子12T 角頻率角頻率 22T kmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有頻率、固有角頻率固有周期、固

8、有頻率、固有角頻率周期周期T :物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。00cos()cos()AtAtT 2T 0 是是 t =0 時(shí)刻的位相時(shí)刻的位相 初位相初位相三三 位相與相位差和位相與振幅的確定位相與相位差和位相與振幅的確定 位相，位相，決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)0t 0cos()xAt 0sin()dxvAtdt 22202cos()d xaAtxdt 00cosxA 00sinvA 000tanvx 由初始條件和系統(tǒng)本身情況決定由初始條件和系統(tǒng)本身情況決定位相差位相差 兩振動(dòng)位相之差。兩振動(dòng)位相之差。12 當(dāng)當(dāng) =2k , k = 0,1,2

9、, 兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同, ,稱稱同相同相當(dāng)當(dāng) = (2k+1) , k=0,1,2. 兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反, ,稱稱反相反相0 當(dāng)當(dāng) 2 超前于超前于 1 或或 1 滯后于滯后于 2 位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落 四、簡諧振動(dòng)的四、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA0cos()xAt ox旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 確確定定 和研究振動(dòng)合成很方便和研究振動(dòng)合成很方便xv0 00 x0A/202xA 00v 03 例如例如,已知已知x參考圓參考圓(circle of reference) 0AA

10、0t+ ox tt = 0 x = A cos( t + ) 3 則由左圖給出則由左圖給出172021/2/6用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相例例:已知某簡諧振動(dòng)的已知某簡諧振動(dòng)的 速度與時(shí)間的關(guān)系曲線速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示如圖所示,試求其振動(dòng)方程。試求其振動(dòng)方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解解:設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為00sin15.7vA 0cos()xAt 00cos0 xA 31.4mAv 0015.71sin31.42vA 0566 或或000,cos0a 則則06 115.7

11、tv 1sin()62mvvAv 711666 或或100,cos()0 x 則則766 13.14s 31.4103.14mvAcm 故振動(dòng)方程為故振動(dòng)方程為10 cos()6xtcm 一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡諧振動(dòng), ,其頻率仍為其頻率仍為 22121220102cos()AAAAA 112201122sinsintgcoscosAAAA 1110( )cos()xtAt 2220( )cos()xtAt 合振動(dòng)合振動(dòng): :1xxx 0cos()xAt 22121220102cos()AAAAA 112201122sinsint

12、gcoscosAAAA 1110( )cos()xtAt 2220( )cos()xtAt 用旋轉(zhuǎn)矢量法討論用旋轉(zhuǎn)矢量法討論2200()vAx 0cos()xAt 1AA1 0 20 0 2Ax2x1x x如如 A1=A2 , , 則則 A=0,kk21021020 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)21AAA ,k)k(210121020 兩分振動(dòng)相互減弱兩分振動(dòng)相互減弱21AAA 討論討論若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相: :22121220102cos()AAAAA 合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)式中式中21( )2cos()2A tAt 隨隨t 緩變緩變

13、21cos()cos()2tt 隨隨t 快變快變合振動(dòng)可看作振幅緩變的準(zhǔn)簡諧振動(dòng)合振動(dòng)可看作振幅緩變的準(zhǔn)簡諧振動(dòng)二二、兩個(gè)同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成、兩個(gè)同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成 拍拍分振動(dòng)分振動(dòng)11cos()xAt 22cos()xAt合振動(dòng)合振動(dòng)11222cos() cos(2)2Atxt 12xxx當(dāng)當(dāng) 2 1時(shí)時(shí), ,( )cos()xA tt 則則：1212 拍拍 合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻拍頻 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)xt tx2t tx1t t21拍拍212 拍拍拍拍11222cos() cos(2)2Atxt * *1 1、兩個(gè)相

14、互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的合成、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的合成質(zhì)點(diǎn)合振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)合振動(dòng)的軌跡方程軌跡方程: :222201020102212122cos()sin ()xyxyA AAA 分振動(dòng)分振動(dòng)110cos()xAt 220cos()yAt 三三 相互垂直簡諧振動(dòng)的合成相互垂直簡諧振動(dòng)的合成(1)20100 212()0 xyAA 21AyxA 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線在第一、第三象限內(nèi)的直線12AA斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移討論討論yx222212cos()SxyAAt 222201020102212122cos

15、()sin ()xyxyA AAA (2)2010 212()0 xyAA 21AyxA 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線在第二、第四象限內(nèi)的直線12AA 斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移yx222212cos()SxyAAt 222201020102212122cos()sin ()xyxyA AAA (3)20102 12212AyAx合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓110cos()xAt 質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。yx110cos()2yAt 2222

16、01020102212122cos()sin ()xyxyA AAA yx(4)20102 合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓110cos()xAt 質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。110cos()2yAt 222201020102212122cos()sin ()xyxyA AAA = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。 0時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。*2、垂直方向不同頻率垂直方向不同頻率 可看作兩頻率相等而可看

17、作兩頻率相等而 隨隨t 緩慢變化緩慢變化, ,合運(yùn)動(dòng)軌合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。跡將按上頁圖依次緩慢變化。yxA1A2o o- -A2- -A1)()(xyxyt 兩分振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小為整數(shù)比為整數(shù)比xymn 合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線 李薩如圖李薩如圖xxyyxy 達(dá)達(dá)到到最最大大的的次次數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大的的次次數(shù)數(shù)例如右圖：例如右圖：32xy x y2 13 13 2 x = 0： y = 08 y 4 y 83 y 2 y y x0332021/2/6波動(dòng)是一切微觀粒子的屬性波動(dòng)是一切微觀粒子的屬性, ,與微觀粒子對應(yīng)的波稱為與微觀粒

18、子對應(yīng)的波稱為物質(zhì)波物質(zhì)波。各種類型的波有其特殊性各種類型的波有其特殊性, ,但也有普遍的共性但也有普遍的共性, ,有有類似的類似的波動(dòng)方程。波動(dòng)方程。機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波機(jī)械波。聲波、水波聲波、水波電磁振動(dòng)在真空或介質(zhì)中的傳播稱為電磁振動(dòng)在真空或介質(zhì)中的傳播稱為電磁波電磁波。342021/2/6一、機(jī)械波形成一、機(jī)械波形成 如果波動(dòng)中使介質(zhì)各部分振動(dòng)的回復(fù)力是彈性力如果波動(dòng)中使介質(zhì)各部分振動(dòng)的回復(fù)力是彈性力, ,則稱為彈性波。則稱為彈性波。 彈性力彈性力: :有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力; ;液體和氣體彈性介質(zhì)

19、中只有正彈性力而沒有切彈性力液體和氣體彈性介質(zhì)中只有正彈性力而沒有切彈性力。1、有作機(jī)械振動(dòng)的物體、有作機(jī)械振動(dòng)的物體, ,即即波源波源2、有連續(xù)的、有連續(xù)的介質(zhì)介質(zhì)二、機(jī)械波傳播過程的特征二、機(jī)械波傳播過程的特征橫波橫波 振動(dòng)方向與傳播方向垂直振動(dòng)方向與傳播方向垂直, ,如電磁波如電磁波縱波縱波振動(dòng)方向與傳播方向相同振動(dòng)方向與傳播方向相同, ,如聲波。如聲波。0 t4/Tt 2/Tt 橫波在介質(zhì)中傳播時(shí)橫波在介質(zhì)中傳播時(shí), ,介質(zhì)中產(chǎn)生介質(zhì)中產(chǎn)生切變切變, ,只能在只能在固固體體中傳播。中傳播。 縱波在介質(zhì)中傳播時(shí)縱波在介質(zhì)中傳播時(shí), ,介質(zhì)中產(chǎn)生介質(zhì)中產(chǎn)生容變?nèi)葑? ,能在能在固體固體、液

20、體液體、氣體氣體中傳播。中傳播。結(jié)論結(jié)論: :機(jī)械波向外傳播的是機(jī)械波向外傳播的是 波源（及各質(zhì)點(diǎn)）的振動(dòng)狀態(tài)和能量。波源（及各質(zhì)點(diǎn)）的振動(dòng)狀態(tài)和能量。三、機(jī)械波的幾何描述三、機(jī)械波的幾何描述波場波場 - - 波傳播到的空間。波傳播到的空間。波面波面 - - 波場中同一時(shí)刻振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的面。波場中同一時(shí)刻振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的面。波前（波陣面）波前（波陣面） - - 某時(shí)刻波源最初的振動(dòng)狀態(tài)某時(shí)刻波源最初的振動(dòng)狀態(tài) 傳到的波面。傳到的波面。波線（波射線）波線（波射線）- 代表波的傳播方向的射線。代表波的傳播方向的射線。各向同性均勻介質(zhì)中各向同性均勻介質(zhì)中, ,波線恒與波面垂直波線恒與波面垂直.

21、 .沿波線方向各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。沿波線方向各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。波線波線波面波面波面波面波線波線平面波平面波球面波球面波波面波面波線波線波線波線波波面面簡諧波簡諧波波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是諧振動(dòng)。波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的波都可以看成若干個(gè)簡諧波疊加而成。任何復(fù)雜的波都可以看成若干個(gè)簡諧波疊加而成。* *物體的彈性形變物體的彈性形變彈性形變彈性形變: :物體在一定限度的外力作用下形狀和體物體在一定限度的外力作用下形狀和體積發(fā)生改變積發(fā)生改變, ,當(dāng)外力撤去后當(dāng)外力撤去后, ,物體的形狀和體積能物體的形狀和體積能完全恢復(fù)原狀的形變。完全恢復(fù)原狀的形變。(1

22、)(1)長變長變FFSll FFSll ll稱稱為為正正應(yīng)應(yīng)變變FS稱稱為為正正應(yīng)應(yīng)力力在彈性限度范圍內(nèi)在彈性限度范圍內(nèi), ,應(yīng)力與應(yīng)變成正比應(yīng)力與應(yīng)變成正比llESF 稱稱為為楊楊氏氏彈彈性性模模量量E(2) 切變切變FFSbd S 相對面發(fā)生相對滑移相對面發(fā)生相對滑移arctandb 切切應(yīng)應(yīng)變變FS切切應(yīng)應(yīng)力力在彈性限度范圍內(nèi)在彈性限度范圍內(nèi), ,應(yīng)力與應(yīng)變成正比應(yīng)力與應(yīng)變成正比 GSF 稱稱為為切切變變彈彈性性模模量量G(3) 體變體變VV體體應(yīng)應(yīng)變變VVBp pp ppp ppp ppp p在彈性限度范圍內(nèi)在彈性限度范圍內(nèi), ,壓強(qiáng)的改變與體應(yīng)變的壓強(qiáng)的改變與體應(yīng)變的大小成正比大小成

23、正比B稱稱為為體體變變模模量量振動(dòng)狀態(tài)（即位相）在單位時(shí)間內(nèi)傳播振動(dòng)狀態(tài)（即位相）在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離稱為波速的距離稱為波速 , ,也稱之也稱之相速相速。1、波速、波速 u Gu 固體固體中中縱波縱波波速為波速為 Eu/ G、 E為介質(zhì)的切變彈性模量和楊氏彈性模量為介質(zhì)的切變彈性模量和楊氏彈性模量, , 為介質(zhì)的密度為介質(zhì)的密度固體固體中中橫波橫波波速為波速為在同一種固體介質(zhì)中在同一種固體介質(zhì)中, ,橫波橫波波速比波速比縱波縱波波速小些。波速小些。四、機(jī)械波的特征量四、機(jī)械波的特征量波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是諧振動(dòng)。波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的波都可以看成若干個(gè)簡諧波

24、疊加而成。任何復(fù)雜的波都可以看成若干個(gè)簡諧波疊加而成。 Tu T為弦中張力為弦中張力, , 為弦的線密度為弦的線密度在在弦中弦中傳播的傳播的橫波橫波波速為波速為: :在在液體液體和和氣體氣體只能傳播只能傳播縱波縱波, ,其波速為其波速為: : Bu/ B為介質(zhì)的體變模量為介質(zhì)的體變模量, , 為密度為密度理想氣體理想氣體縱波縱波聲速聲速: :molMRTpu 為氣體的摩爾熱容比為氣體的摩爾熱容比,Mmol為氣體的摩爾質(zhì)量為氣體的摩爾質(zhì)量, ,T為熱力學(xué)溫度為熱力學(xué)溫度, ,R為氣體的普適常數(shù)為氣體的普適常數(shù), , 為氣體的密度為氣體的密度3、波長、波長 2、波的周期、波的周期和頻率和頻率21T

25、 uT u 波的周期波的周期: :一個(gè)完整波形通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)一個(gè)完整波形通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)所需所需 的時(shí)間的時(shí)間, ,用用T 表示。表示。波的頻率波的頻率: :單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)完整波單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)完整波 的數(shù)目的數(shù)目, ,用用 表示。表示。同一波線上相鄰的位相差為同一波線上相鄰的位相差為2 的兩質(zhì)點(diǎn)的距離的兩質(zhì)點(diǎn)的距離。介質(zhì)決定介質(zhì)決定波源決定波源決定一、平面簡諧波的波動(dòng)方程一、平面簡諧波的波動(dòng)方程平面簡諧波平面簡諧波: :波面是平面。波面是平面。( (可當(dāng)作一維簡諧波研究）可當(dāng)作一維簡諧波研究） 一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿 x 軸正向傳

26、播軸正向傳播,x 軸即為某一波線軸即為某一波線設(shè)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式設(shè)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式: :0cosyAt xypuOxy 表示該處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的表示該處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移位移設(shè)設(shè) p 為為 x 軸上的任一軸上的任一點(diǎn)點(diǎn), ,其其坐標(biāo)為坐標(biāo)為 xp 點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程?p點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程: :cos()xyAtu t 時(shí)刻時(shí)刻 p 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)uxt 時(shí)刻時(shí)刻O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)xypuOxO點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到 p 點(diǎn)需時(shí)間點(diǎn)需時(shí)間 uxt 上式即上式即沿沿 x 軸正向軸正向傳播的平面簡諧波的傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程波動(dòng)方程u

27、x 沿著波傳播方向沿著波傳播方向, ,各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)依次落后于波源振動(dòng)各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)依次落后于波源振動(dòng)為為p點(diǎn)的振動(dòng)落后原點(diǎn)振動(dòng)的時(shí)間點(diǎn)的振動(dòng)落后原點(diǎn)振動(dòng)的時(shí)間沿沿x軸負(fù)向軸負(fù)向傳播的傳播的平面簡諧波的平面簡諧波的波動(dòng)方程波動(dòng)方程cos()xyAtu 00cos()yAt 若波源（原點(diǎn)）振動(dòng)初位相不為零若波源（原點(diǎn)）振動(dòng)初位相不為零0cos2 ()txyAT 02cos2xyAt 02cos()yAutx 0cos ()Ak utx 0cos ()xyAtu 或或2k 波矢波矢,表示在表示在2 長度內(nèi)所具有的完整波的數(shù)目長度內(nèi)所具有的完整波的數(shù)目二、波動(dòng)方程的物理意義二、波動(dòng)方程的物理意義0cos

28、()xyAtu 1、如果給定、如果給定 x,如如 x = x0 x0 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相為處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相為002x 02x 為為 x0 處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相 即即 x0 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程則則:y = y ( t )00( )cos(2)xy tAt 若若 x0 = 則則 x0 處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相為處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相為 2 是波在空間上的周期性的標(biāo)志是波在空間上的周期性的標(biāo)志2、如果給定、如果給定 t,如如 t = t0 ,則則:y = y ( x ) 221212xxx 00cos()xyAtu表示給定時(shí)刻波線上各質(zhì)點(diǎn)表示給定時(shí)刻波線上各質(zhì)點(diǎn)在同

29、一時(shí)刻的位移分布在同一時(shí)刻的位移分布,即即給定了給定了t0 時(shí)刻的波形時(shí)刻的波形同一波線上任意兩點(diǎn)的振動(dòng)位相差同一波線上任意兩點(diǎn)的振動(dòng)位相差xyOux1x2 2121()2tttT 同一質(zhì)點(diǎn)同一質(zhì)點(diǎn)在相鄰在相鄰兩時(shí)刻兩時(shí)刻的振動(dòng)位相差的振動(dòng)位相差T 是波在時(shí)間上的是波在時(shí)間上的周期性的標(biāo)志周期性的標(biāo)志3、如如 x, t 均變化均變化,y = y ( x,t )包含了不同時(shí)刻的波形包含了不同時(shí)刻的波形0( )cos()xy xAtu xyuOxtt tx 0(,)cos()xu ty xx ttAttu t 時(shí)刻的波形方程時(shí)刻的波形方程t + t 時(shí)刻的波形方程時(shí)刻的波形方程0( )cos()x

30、y xAttu t 時(shí)刻時(shí)刻,x 處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過 t ,傳播了傳播了 x 的距離的距離0cos()xAtu(,)( , )y xx tty x t 在時(shí)間在時(shí)間 t內(nèi)整個(gè)波形沿波的傳內(nèi)整個(gè)波形沿波的傳播方向平移了一段距離播方向平移了一段距離 x行波行波(,)( , )y xx tty x t xyuOxtt tx 2202cos()yxAtut 22022cos()yxAtuxu 222221yyxut *三、平面波的波動(dòng)微分方程三、平面波的波動(dòng)微分方程這個(gè)微分方程叫平面波（不限于平面簡諧波）波動(dòng)方程這個(gè)微分方程叫平面波（不限于平面簡諧波）波動(dòng)方程0cos()xyAt

31、u 求求 t 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)求求 x 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)它反映了一切平面波的共同特征它反映了一切平面波的共同特征一一、波的能量和能量密度、波的能量和能量密度 波不僅是振動(dòng)狀態(tài)的傳播波不僅是振動(dòng)狀態(tài)的傳播,而且也是伴隨著振動(dòng)能量而且也是伴隨著振動(dòng)能量的傳播。的傳播。有一平面簡諧波有一平面簡諧波0cos()xyAtu 質(zhì)量為質(zhì)量為在在 x 處取一體積元處取一體積元dVdVdm 該質(zhì)元的振動(dòng)速度該質(zhì)元的振動(dòng)速度 0sin()yxvAttu 該質(zhì)元的該質(zhì)元的動(dòng)能動(dòng)能為為212kdEv dm 22201sin()2xAtdVu 該質(zhì)元的該質(zhì)元的彈性彈性勢能勢能為為22201sin()2p

32、xdEAtdVu 該質(zhì)元的該質(zhì)元的總能量總能量為為: :kpdEdEdE2220sin()xAtdVu1）在波動(dòng)的傳播過程中在波動(dòng)的傳播過程中, ,任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小 相等而且相位相同相等而且相位相同, ,同時(shí)達(dá)到最大同時(shí)達(dá)到最大, ,同時(shí)等于零同時(shí)等于零說明說明: :2）在波傳動(dòng)過程中在波傳動(dòng)過程中, ,任意體積元的能量不守恒。任意體積元的能量不守恒。能量密度能量密度 單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。2220sin()dExwAtdVu 平均能量密度平均能量密度 一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值。一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值。22

33、12wA 22200011sin()TTxwwdtAtdtTTu 2220sin()xdEAtdVu能流能流: :單位時(shí)間內(nèi)通過單位時(shí)間內(nèi)通過 介質(zhì)中某一截面的能量。介質(zhì)中某一截面的能量。二、二、波的波的能流和能流密度能流和能流密度Swup 平均能流平均能流:在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值。在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值。SuwSwup 能流密度（波強(qiáng)）能流密度（波強(qiáng)）:通過垂直于波動(dòng)傳播方向的通過垂直于波動(dòng)傳播方向的 單位面積的平均能流單位面積的平均能流。uwSpI uAI2221 2 單單位位：瓦瓦 米米u(yù)uS 三、三、波的吸收波的吸收 波在實(shí)際介質(zhì)中波在實(shí)際介質(zhì)中,由于波動(dòng)能量總有一部分會(huì)被介質(zhì)由于

34、波動(dòng)能量總有一部分會(huì)被介質(zhì)吸收吸收,波的機(jī)械能不斷減少波的機(jī)械能不斷減少,波強(qiáng)亦逐漸減弱。波強(qiáng)亦逐漸減弱。波通過厚度為波通過厚度為dx 的介質(zhì)的介質(zhì),其振幅衰減量為其振幅衰減量為 - - dAAdxdA xeAA 0處處的的波波振振幅幅和和分分別別是是、xxxAA 00是是介介質(zhì)質(zhì)的的吸吸收收系系數(shù)數(shù) 波強(qiáng)的衰減規(guī)律波強(qiáng)的衰減規(guī)律:xeII 20 處處波波的的強(qiáng)強(qiáng)度度和和分分別別是是、xxxII 00實(shí)驗(yàn)給出實(shí)驗(yàn)給出:一一、惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理: : 介質(zhì)中波陣面（波前）介質(zhì)中波陣面（波前）上的各點(diǎn)上的各點(diǎn), ,都可以看作為都可以看作為發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源, ,其后

35、一其后一時(shí)刻這些子波的包跡便時(shí)刻這些子波的包跡便是新的波陣面。是新的波陣面。平面波平面波t+ t時(shí)刻波面時(shí)刻波面u t波傳播方向波傳播方向t時(shí)刻波面時(shí)刻波面球面波球面波 tt + tt時(shí)刻波面時(shí)刻波面 t+ t時(shí)刻波面時(shí)刻波面波的傳播方向波的傳播方向如你家在大山后如你家在大山后, ,聽廣播和看電聽廣播和看電視哪個(gè)更容易視哪個(gè)更容易? (? (若廣播臺(tái)、電若廣播臺(tái)、電視臺(tái)都在山前側(cè)視臺(tái)都在山前側(cè)) )二、用惠更斯原理推導(dǎo)折射定律和反射定律二、用惠更斯原理推導(dǎo)折射定律和反射定律 波的折射和折射定律波的折射和折射定律 用作圖法求出折射波的傳播方向用作圖法求出折射波的傳播方向122121sinsinn

36、nuuii i1-入射角入射角, i2-折射角折射角CAi1i2n1t1t2BEn2 需要注意的是需要注意的是,波在被反射或折射后波在被反射或折射后,由于波的傳播方向由于波的傳播方向發(fā)生了改變發(fā)生了改變,波的傳播方向與振動(dòng)方向的夾角會(huì)隨之改變波的傳播方向與振動(dòng)方向的夾角會(huì)隨之改變,于于是縱波可能變成橫波或部分縱波部分橫波。反之亦然。是縱波可能變成橫波或部分縱波部分橫波。反之亦然。一一、波的疊加波的疊加 各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性（頻率、波長、振動(dòng)方向、傳播方向等）不便（頻率、波長、振動(dòng)方向、傳播方向等）不便,與與各波單獨(dú)傳播時(shí)一樣各波單獨(dú)傳播時(shí)

37、一樣,而在相遇處各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)則而在相遇處各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)則是各列波在該處激起的振動(dòng)的合成。是各列波在該處激起的振動(dòng)的合成。波傳播的波傳播的獨(dú)立性原理獨(dú)立性原理或波的或波的疊加原理疊加原理:說明說明: 振動(dòng)的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點(diǎn)上振動(dòng)的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點(diǎn)上 波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點(diǎn)上波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點(diǎn)上能分辨不同的聲音正是這個(gè)原因能分辨不同的聲音正是這個(gè)原因 兩列波若兩列波若頻率相同頻率相同、振動(dòng)方向相同振動(dòng)方向相同、在相遇點(diǎn)的、在相遇點(diǎn)的位相相同或位相差恒定位相相同或位相差恒定, ,則合成波場中會(huì)出現(xiàn)某些點(diǎn)的則合成波場中會(huì)出現(xiàn)某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)振動(dòng)始終加強(qiáng),

38、,另一點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱（或完全抵消）另一點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱（或完全抵消）, ,這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為波的干涉。波的干涉。相干條件相干條件1r2r1S2Sp具有恒定的相位差具有恒定的相位差振動(dòng)方向相同振動(dòng)方向相同兩波源具有相同的頻率兩波源具有相同的頻率滿足相干條件的波源稱為相干波源。滿足相干條件的波源稱為相干波源。二二、波的干涉、波的干涉?zhèn)鞑サ絺鞑サ絧點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為: : )tcos(Ay101010 )tcos(Ay202020 在在p點(diǎn)的振動(dòng)為同點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)方向同頻率振動(dòng)的合成。的合成。設(shè)有兩個(gè)相干波源設(shè)有兩個(gè)相干波源S1和和S2發(fā)出的簡諧波在空間發(fā)出的簡

39、諧波在空間p點(diǎn)相遇。點(diǎn)相遇。 合成振動(dòng)為合成振動(dòng)為: :120cos()yyyAt 1r2r1S2Sp111012cos()yAtr 222022cos()yAtr cos22122212AAAAA其中其中: :)rr()(1210202 由于波的強(qiáng)度正比于振幅由于波的強(qiáng)度正比于振幅, ,所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為: : cos22121IIIII )tcos(Ay0 對空間不同的位置對空間不同的位置, ,都有恒定的都有恒定的, ,因而合強(qiáng)度因而合強(qiáng)度在空間形成穩(wěn)定的分布在空間形成穩(wěn)定的分布, ,即有即有干涉現(xiàn)象。干涉現(xiàn)象。 )rsin(A)rcos(A)rsin(A)rsin(At

40、an 220211012202110102222 其中其中: :,.,kkrr3210 22121020 ）（21maxAAAA 2121max2IIIIII ,.,k)k()rr()(3210122121020 |21minAAAA 2121min2IIIIII 相長干涉的條件相長干涉的條件:相消干涉的條件相消干涉的條件: cos22122212AAAAA cos22121IIIII 當(dāng)當(dāng)兩相干波源為同相波源兩相干波源為同相波源時(shí)時(shí),相干條件寫為相干條件寫為,.3 , 2 , 1 , 0,12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12 kkrr 相長干涉相長干涉相消干涉相消干涉 稱為波程差稱為波程差波的非相干疊加波的非相干疊加21III 1、駐波方程、駐波方程12cos()xyAt 22co