《函數(shù)的微分》ppt課件

1、函數(shù)的微分函數(shù)的微分 前面我們從變化率問(wèn)題引出了導(dǎo)數(shù)概念，它是前面我們從變化率問(wèn)題引出了導(dǎo)數(shù)概念，它是微分學(xué)的一個(gè)重要概念。在工程技術(shù)中，還會(huì)遇微分學(xué)的一個(gè)重要概念。在工程技術(shù)中，還會(huì)遇到與導(dǎo)數(shù)親密相關(guān)的另一類問(wèn)題，這就是當(dāng)自變到與導(dǎo)數(shù)親密相關(guān)的另一類問(wèn)題，這就是當(dāng)自變量有一個(gè)微小的增量時(shí)，要求計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的量有一個(gè)微小的增量時(shí)，要求計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的增量。普通來(lái)說(shuō)，計(jì)算函數(shù)增量的準(zhǔn)確值是比較增量。普通來(lái)說(shuō)，計(jì)算函數(shù)增量的準(zhǔn)確值是比較繁難的，所以需求思索用簡(jiǎn)便的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算繁難的，所以需求思索用簡(jiǎn)便的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算它的近似值。由此引出了微分學(xué)的另一個(gè)根本概它的近似值。由此引出了微分學(xué)的另一個(gè)

2、根本概念念微分。微分。一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改動(dòng)量正方形金屬薄片受熱后面積的改動(dòng)量. .,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由0 x0 xx x ,20 xA 正方形面積正方形面積20 xA 2020)(xxxA .)(220 xxx )1(xx 0 xx 0:)1(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax )2(2)( x :)2(.,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無(wú)無(wú)窮窮小小xx 再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)(

3、)(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x ),()2(xox 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小是是.320 xxy 既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題問(wèn)題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)( (改動(dòng)量的主要部分改動(dòng)量的主要部分) )能否能否一切函數(shù)的改動(dòng)量都有一切函數(shù)的改動(dòng)量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?二、微分的定義二、微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自

4、變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的的線線性性主主部部叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量微微分分ydy ( (微分的本質(zhì)微分的本質(zhì)) )由定義知由定義知: :;)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xdy ;)()2(高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA

5、 ).(,)5(線性主部線性主部很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx 三、可微的條件三、可微的條件定理定理).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)證證(1) 必要性必要性,)(0可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy即即),()(0 xxxfy 從從而而),0(0 x),()(0 xo

6、xxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)).(.0 xfA 可可微微可可導(dǎo)導(dǎo).)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記記作作微微分分稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的的的微微分分在在任任意意點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)由微分的定義及上述定理可知由微分的定義及上述定理可知處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在若若0)(xxfxxfdyxxf )()(00 處處可可微微，且且在在則則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf1)(limlim000 xxfydyyxx )0(xdyy )( yodyy yxxfyydyyxx )(limlim000 xyxfx )(1lim000 這闡明這闡明的的條條件件下下在在0)(0 xf

7、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 xdyy 不僅是比不僅是比x 高階的無(wú)窮小，而且也是比高階的無(wú)窮小，而且也是比y 高階的無(wú)窮小，因此高階的無(wú)窮小，因此的主要部分的主要部分是是 ydy .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)之之商商等等于于與與自自變變量量的的微微分分即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分dxdy四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義幾何意義幾何意義:(如圖如圖)xyo)(xfy 0 xMT xx 0 P Nx ydy)( xo .,對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量就是切線縱坐

8、標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .1.根本初等函數(shù)的微分公式根本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxd

9、dxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法那么函數(shù)和、差、積、商的微分法那么2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 例例1 1.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) 解解,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例2 2.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) 解解)(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexd

10、yxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分方式的不變性六、微分方式的不變性),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù);)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時(shí)時(shí)若若則則微微函函數(shù)數(shù)的的可可即即另另一一變變量量是是中中間間變變量量時(shí)時(shí)若若),(,)2(txtx ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論：結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無(wú)論無(wú)論)(,xfyx dxxfdy)( 微分方式的不變性微分方式的不變性例例3 3.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) 解解. 12,sin xuuyududyc

11、os )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例4 4.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) 解解)(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例5dxdydybaeyxxy,求求設(shè)設(shè) 解一解一 兩邊同時(shí)求微分得兩邊同時(shí)求微分得)()(yxxybaded )()()(yxxyxybdaadbxyde lnlnbdyadxbaydxxdyeyxxy bdyadxxdyydxlnln dxbxyady lnlnbxyadxdylnln 解二解二兩邊取對(duì)數(shù)得

12、兩邊取對(duì)數(shù)得byaxxylnln 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有byayxylnln bxyadxdylnln dxbxyady lnln由上面的例子還可以看出，求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法由上面的例子還可以看出，求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法在本質(zhì)上并沒(méi)有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為微分法在本質(zhì)上并沒(méi)有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為微分法七、微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用七、微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用1.計(jì)算函數(shù)的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x ;0)().2(附近的近似值附

13、近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求 xxf., 00 xxx 令令,)()()(000 xxfxfxxf .)0()0()(xffxf 2.常用近似公式常用近似公式)(很小時(shí)很小時(shí)x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為為弧弧度度為為弧弧度度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 八、小結(jié)八、小結(jié)微分學(xué)所要處理的兩類問(wèn)題微分學(xué)所要處理的兩類問(wèn)題:函數(shù)的變化率問(wèn)題函數(shù)的變化率問(wèn)題導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的增量問(wèn)題函數(shù)的增量問(wèn)題微分的概念微分的

14、概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法叫做微分法.研討微分法與導(dǎo)數(shù)實(shí)際及其運(yùn)用的科學(xué)研討微分法與導(dǎo)數(shù)實(shí)際及其運(yùn)用的科學(xué),叫做微分學(xué)叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)絡(luò)導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)絡(luò):.可可微微可可導(dǎo)導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無(wú)窮小它是無(wú)窮小實(shí)際上實(shí)際上定義域是定義域是它的它的的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量方方程程在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線在在點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線而而微微處處切切線線的的斜斜率率點(diǎn)點(diǎn)在在是是曲曲線線從從幾幾何何意意義義上上來(lái)來(lái)看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似計(jì)算的根本公式近似計(jì)算的根本公式,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.)0()0()(xffxf 思索題思索題 因因?yàn)闉橐灰辉瘮?shù)數(shù))(xfy 在在