矩陣初等變換的一些典型應(yīng)用1

1、序號（學(xué)號）： 080740334 矩陣初等變換的應(yīng)用姓 名侯繼山學(xué) 院理學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級指導(dǎo)教師數(shù)學(xué)40334班祝英杰 2011 年 04 月 1 日目 錄摘要IIAbstractIII1 預(yù)備知識12 典型應(yīng)用12.1 行列式的計(jì)算12.2 求矩陣或向量組的秩32.3 求可逆矩陣的逆矩陣42.4 解矩陣方程62.5 判定向量組的線性相關(guān)性，確定極大無關(guān)組、向量的線性表示72.6 求任一向量在任一個基下的坐標(biāo)82.7 求子空間的和與交的維數(shù)92.8 判斷兩個向量組是否等價(jià)102.9 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系并求解非齊次線性方程組102.10 求過渡矩陣122.11 化二次型為

2、標(biāo)準(zhǔn)型132.12 其它一些應(yīng)用143 小結(jié)15參考文獻(xiàn)16致謝辭17摘要本文分三部分:預(yù)備知識,典型應(yīng)用,小結(jié).先是引述我們學(xué)過的矩陣的定義及本文要涉及的相關(guān)內(nèi)容,以便為下文提供依據(jù);接著綜合羅列了矩陣在行列式的計(jì)算,求矩陣或向量組的秩,求可逆矩陣的逆矩陣,解矩陣方程,判定向量組的線性相關(guān)性,求極大無關(guān)組,向量的線性表示等各方面的一些典型應(yīng)用.關(guān)鍵詞:矩陣,秩,逆矩陣,初等矩陣,初等變換,應(yīng)用AbstractThis article is divided into three-part:knowledge preparation,typical appli-cations,summarise

3、. First, we give the definition of the matrix and its involves the relevant content in order to provide the basis for the following; thenin-tegrated gives about matrix in determinant,the rank of matrix and vector,the inverse matrix of invertible matrix、solve matrix equation,determine the linear corr

4、elation of vector group,enormous linear independence group,vector of the linear representation and so on,which are some typical applications of elementary transformation of matrix.Keywords:Matrix,Rank,Inversematrix,Elementarymatrix,Elementarytransfor-mation,Applications1預(yù)備知識定義1 由個數(shù)排成的一個行列的表叫作一個行列(或)

5、矩陣.叫作這個矩陣的元素.定義2矩陣的行(列)初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換:1)交換矩陣的兩行(列);2)用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行(列),即用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行(列)的每一個元素;3)用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列）,即用某一數(shù)乘矩陣的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的對應(yīng)元素上.矩陣的行初等變換和列初等變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.定義3把以下三種方陣叫做初等矩陣:1)交換階單位矩陣的,兩行(列)得到的矩陣,記為;2)將階單位矩陣的第行(列)乘以非零常數(shù)所得到的矩陣,記為;3)將階單位矩陣的第行的倍加到第行(第列的倍加到第列)所得到的矩陣,記為

6、.初等矩陣與初等變換的關(guān)系:對于一個矩陣施行一個行(列)初等變換相當(dāng)于把這個矩陣左乘(右乘)以一個初等矩陣.定義4令是數(shù)域上一個上階方陣,使得,那么叫做一個可逆矩陣(或非奇異矩陣),而叫做的逆矩陣. 若矩陣可逆,那么的逆矩陣由唯一決定,用來表示.2 典型應(yīng)用行列式的計(jì)算引理1如果一個行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例,那么這個行列式等于零.引理2 任一行列式的值等于此上(下)三角形行列式的主對角線元素之積.一般通過矩陣的第三種初等變換的方法使所求行列式的某兩行(列)的對應(yīng)元素成比例或化為三角形(上三角形、下三角形),從而簡便計(jì)算.例1計(jì)算行列式: (1);(2)(階).解(1);(2) 求矩陣

7、或向量組的秩定理1初等變換不改變矩陣的秩. 定理2一個矩陣總可以通過初等變換化為以下形式：這里是階單位矩陣,表示的零矩陣,等于的秩.用矩陣行初等變換把矩陣化為階梯形矩陣,階梯形中非零行行數(shù)即為所求矩陣的秩.在此過程中也可用列初等變換或者兩種初等變換同時使用. 求向量組的秩只要把向量組寫成一個矩陣,該矩陣的秩就是向量組的秩.例2求矩陣的秩.解矩陣因?yàn)樾须A梯形矩陣有3個非零行,所以的秩為3.求可逆矩陣的逆矩陣定理3初等變換不改變矩陣的可逆性.定理4一個可逆矩陣可以通過行初等變換化為單位矩陣.證 設(shè)為階可逆矩陣,則可以寫成若干個初等矩陣的乘積.令,其中是初等矩陣.于是.又也是初等矩陣,所以左乘若干個

8、初等矩陣為單位矩陣.因而可以通過行初等變換化為單位矩陣.證畢.推論 一個可逆矩陣可以通過列初等變換化為單位矩陣.定理5在通過只用行初等變換(列初等變換)把可逆矩陣化為單位矩陣時,對單位矩陣施行同樣的初等變換,就得到的逆矩陣.由定理5可知,將階可逆矩陣的右邊加入一個單位矩陣,變成矩陣，只用行初等變換,使得中的位置化為單位矩陣,則的位置變成了的逆矩陣,即.還可以把置于的下方變成矩陣且此時只能使用列初等變換把的位置化為單位矩陣,則的位置變成了的逆矩陣.例3求的逆矩陣.解 構(gòu)造矩陣于是.解矩陣方程若矩陣方程的形式是(是可逆矩陣),可得.現(xiàn)構(gòu)造一個全矩陣,對它進(jìn)行矩陣的行初等變換,把矩陣的位置化為單位矩

9、陣時,矩陣的位置即變?yōu)?例4設(shè),求使得.解 由,知可逆.于是則.判定向量組的線性相關(guān)性，確定極大無關(guān)組、向量的線性表示當(dāng)向量組的秩小于向量的個數(shù)時,向量組線性相關(guān);當(dāng)秩等于向量的個數(shù)時,向量組線性無關(guān).因此可以通過求向量組的秩判定向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān),同時確定極大無關(guān)組.以向量組與向量為列構(gòu)成矩陣,然后對只施行行初等變換,化為行最簡形矩陣,即行最簡形矩陣.看的最后一列能否由前面各列表示.若能,則由線性表示的系數(shù)跟的最后一列由它前列線性表示的系數(shù)一樣.例5 判定向量組,的線性相關(guān)性,并求出一個極大無關(guān)組,把不屬于極大無關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示.解 以向量組為列構(gòu)造矩陣知的秩為2,

10、故向量組線性相關(guān),而極大無關(guān)組含22個非零行的非零首元在1,2列,故用線性表示,把再變成行最簡形矩陣.把上面行最簡形矩陣記作.由于方程與同解,因此向量與,.因此有,.2.6 求任一向量在任一個基下的坐標(biāo)在維向量空間中,以任一基的與任一向量為列構(gòu)成矩陣,然后對只施行行初等變換,化為行最簡形矩陣,即,其中是階單位矩陣,則在基下的坐標(biāo)為.例6求向量在基下的坐標(biāo),其中,.解以為列構(gòu)成矩陣.所以,向量在基下的坐標(biāo)為.2.7 求子空間的和與交的維數(shù)在中設(shè),欲計(jì)算與以所有向量為列構(gòu)造矩陣,利用行初等變換求中列向量組的極大無關(guān)組,從而得到的一個基,基中向量個數(shù)即為即可得的維數(shù).例 求子空間與的交的基與維數(shù),其

11、中.解 以為列構(gòu)造矩陣由可得是的一個基,是的一個基.于是,.又,知是的一個基,則.因此.2.8 判斷兩個向量組是否等價(jià)判斷向量組與是否等價(jià),以為列先構(gòu)造矩陣.對,作行初等變換化為階梯形矩陣,分別得到向量組、和矩陣的秩.若秩()=秩(),則向量組可由向量組線性表示;同樣若秩()=秩(),向量組可由向量組線性表示.因此當(dāng)秩()=秩()=秩()時,向量組與向量組等價(jià).求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系并求解非齊次線性方程組求線性方程組的解可以采用對增廣矩陣作行初等變換的方法,把矩陣化為階梯形矩陣,由與的秩是否相等來判斷它是否有解以及有解時是有唯一解還是無窮多解.在此過程中只能對增廣矩陣作行初等變換,不可作列

12、初等變換.從而求方程組的基礎(chǔ)解系和通解.例7求解齊次線性方程組解方程組的系數(shù)矩陣所以與原方程組同解的方程組為其中為自由未知量.依次令和代入方程組得基礎(chǔ)解系,. 于是原方程組的全部解為(為任意常數(shù)).例8求解非齊次線性方程組解 方程組的增廣矩陣與原方程組同解的方程組為其中為自由未知量.取得一特解:.取代入得對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:.于是原非齊次線性方程組的解為(為任意實(shí)數(shù)).2.10求過渡矩陣已知維向量空間的兩組基分別為,.以和為列構(gòu)成矩陣,對只施行行初等變換,使它變?yōu)槿缦滦螤?上式中的位置即為從基到基的過渡矩陣.例9 設(shè),與，是3維向量空間到基的過渡矩陣.解 以,為列構(gòu)成矩陣,對只施行行

13、初等變換,使它化為如下形狀:所以從基到基的過渡矩陣為:.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型用初等變換法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,是對矩陣施行列初等變換的同時對的位置施行相應(yīng)的行初等變換,把的位置化為對角陣時,的位置就化為所要求的非奇異變換矩陣.例10用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型.解 二次型的矩陣為.構(gòu)造矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型為,變換矩陣為. 其它一些應(yīng)用定理6一個階矩陣總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個對角矩陣,并且.定理7行初等變換不改變?nèi)我坏牧邢蛄康木€性關(guān)系.即:假設(shè)對施行行初等變換得到,且的列向量分別為和,則：(1)任意數(shù),當(dāng)且僅當(dāng);(2)線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān).證(1)由行初等變換的定義知道方程組與方程組同解.

14、因此,若,則有.其中.反之亦成立.(2)由(1)的證明和向量線性相關(guān)的定義即可得:線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān).證畢.推論 列初等變換不改變?nèi)我坏男邢蛄康木€性關(guān)系.3 小結(jié)矩陣是線性代數(shù)的重要研究對象,矩陣初等變換是線性代數(shù)中一種重要的計(jì)算工具.本文系統(tǒng)地歸納了矩陣一系列的典型應(yīng)用,列舉了利用矩陣初等變換可以求行列式的值,求矩陣或向量組的秩,求可逆矩陣的逆等計(jì)算實(shí)例,方便我們遇到各種情形時的求解.參考文獻(xiàn)1張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2005.2歐啟通.矩陣初等變換的應(yīng)用J.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào),2007,1(3)26-30.3謝芳.矩陣初等變換的若干應(yīng)用J.昭通師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004,26(2)51-55.4譚軍.矩陣初等變換的一些性質(zhì)及應(yīng)用J.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào),2002,20(4)71-73.致謝辭本文是在祝英杰老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的.他嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神,精益求精的