第1講學生1份一元二次方程專題能力培優(yōu)

1、第1講 一元二次方程知識要點：1.只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次），等號兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0），其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.3.使一元二次方程的兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.溫馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次項系數(shù)不為0的條件.2.一元二次方程的根是兩個而不再是一個.方法技巧：1.axk+bx+c=0是一元一次方程的情況有兩種，需要分類討論.2.利用一元二次方程的解求字母或者代數(shù)式的值時常常用到整體思

2、想，要認真領(lǐng)會.1 一元二次方程專題一 利用一元二次方程的定義確定字母的取值 1.已知是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）A.m3 B.m3 C.m-2 D. m-2且m32. 已知關(guān)于x的方程，問：（1）m取何值時，它是一元二次方程并寫出這個方程；（2）m取何值時，它是一元一次方程？專題二 利用一元二次方程的項的概念求字母的取值3.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常數(shù)項為0，求m的值4.若一元二次方程沒有一次項，則a的值為 .專題三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代數(shù)式5.已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個根是-a（a0），則a-b值為（）A.1

3、B.0 C.1 D.26.若一元二次方程ax2+bx+c=0中，ab+c=0，則此方程必有一個根為 .7.已知實數(shù)a是一元二次方程x22013x+1=0的解，求代數(shù)式的值.知識要點：1.解一元二次方程的基本思想降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判別式=b-4ac與一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的關(guān)系：當>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)解；當=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)解；<0時，一元二次方程沒有實數(shù)解.3.一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c之間存在著如下關(guān)

4、系：x1+x2=，x1x2=.溫馨提示：1.x2+6x+m2是一個完全平方式，易誤以為m=3.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根x1、x2有雙層含義：（1）ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0；（2）x1+x2=，x1x2=.方法技巧：1.求二次三項式ax2+bx+c極值的基本步驟：（1）將ax2+bx+c化為a（x+h）2+k；（2）當a>0，k>0時，a（x+h）2+kk；當a<0，k<0時，a（x+h）2+kk.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1x2，則ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）3.解絕對值方程的基本

5、思路是將絕對值符號去掉，所以要討論絕對值符號內(nèi)的式子與0的大小關(guān)系.4.解高次方程的基本思想是將高次方程將次轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個式子的一元二次方程求解.5.利用根與系數(shù)求解時，常常用到整體思想.2 一元二次方程的解法專題一 利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值1. 若方程25x2-（k-1）x+1=0的左邊可以寫成一個完全平方式；則k的值為（）A-9或11 B-7或8 C-8或9 C-8或92.如果代數(shù)式x2+6x+m2是一個完全平方式，則m= .3. 用配方法證明：無論x為何實數(shù)，代數(shù)式2x2+4x5的值恒小于零專題二 利用判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍4.已知a，b，c分別是

6、三角形的三邊，則方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況是（）A.沒有實數(shù)根 B.可能有且只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根5.關(guān)于x的方程kx2+3x+2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）6.定義：如果一元二次方程ax2bxc0（a0）滿足abc0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程已知ax2bxc0（a0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）AacBab CbcDabc專題三 解絕對值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，則x2+y2= .8. 閱讀題例，解答下題：例：解方程x2|x1|1=0.解：（1）當x10，

7、即x1時，x2（x1）1=0，x2x=0.解得：x1=0（不合題設(shè)，舍去），x2=1.（2）當x10，即x1時，x2+（x1）1=0，x2+x2=0.解得x1=1（不合題設(shè)，舍去），x2=2.綜上所述，原方程的解是x=1或x=2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|4=0專題四 一元二次方程、二次三項式因式分解、不等式組之間的微妙聯(lián)系9.探究下表中的奧秘，并完成填空：發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是： 10.請先閱讀例題的解答過程，然后再解答：代數(shù)第三冊在解方程3x（x+2）=5（x+2）時，先將方程變形為3x（x+2）-5（x+2）=0，這個方程左邊可以分解成兩個一次因式的積，所以方程變形為（x+2）（3x-

8、5）=0我們知道，如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反過來，如果兩個因式有一個等于0，它們的積等于0因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相當于解方程x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解為x1=-2，x2= 根據(jù)上面解一元二次方程的過程，王力推測：ab0，則有 或者請判斷王力的推測是否正確？若正確，請你求出不等式 的解集，如果不正確，請說明理由專題五 利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的取值范圍及求代數(shù)式的值11. 設(shè)x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的兩個根，2x1（x22+5x23）+a=2，則a=12.（2012·懷化）已知x1、x2是一元二次方程的

9、兩個實數(shù)根， 是否存在實數(shù)a，使x1x1x2=4x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由； 求使（x11）（x21）為負整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值13.(1)我們學習了：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2,x1+x2=, x1·x2=.根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以求出已知方程關(guān)于x1、x2的代數(shù)式的值例如：已知x1、x2為方程x2-2x-1=0的兩根，則：（1）x1+x2=_，x1·x2=_，那么x12+x22=( x1+x2)2-2 x1·x2=_ _請你完成以上的填空（2）閱讀材料：已知，且求的值解：由可知.又且，即是方程的兩根=1（

10、3）根據(jù)閱讀材料所提供的的方法及（1）的方法完成下題的解答已知，且求的值知識要點：列方程解決實際問題的常見類型：面積問題，增長率問題、經(jīng)濟問題、疾病傳播問題、生活中的其他問題.溫馨提示：1.若設(shè)每次的平均增長(或降低)率為x，增長(或降低)前的數(shù)量為a，則第一次增長(或降低)后的數(shù)量為a(1±x)，第二次增長(或降低)后的數(shù)量為a(1±x)22.面積(體積)問題屬于幾何圖形的應用題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合、平移成規(guī)則圖形，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積(體積)公式列出一元二次方程3.列方程解決實際問題時，方程的解必須使實際問題有意義，因此要注意檢驗結(jié)

11、果的合理性.方法技巧：1. 變化率問題中常用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是終止量，n是變出次數(shù)，x是變化率.變化率問題用直接開平方法求解簡單.2.解決面積問題常常用到平移的方法，利用平移前后圖形面積不變建立等量關(guān)系.3 一元二次方程的應用專題一、利用一元二次方程解決面積問題1.在高度為2.8m的一面墻上，準備開鑿一個矩形窗戶現(xiàn)用9.5m長的鋁合金條制成如圖所示的窗框問：窗戶的寬和高各是多少時，其透光面積為3m2（鋁合金條的寬度忽略不計）2.如圖：要設(shè)計一幅寬20cm，長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案

12、面積的三分之一，應如何設(shè)計每個彩條的寬度？3. 數(shù)學的學習貴在舉一反三，觸類旁通.仔細觀察圖形，認真思考，解決下面的問題：（1）在長為m，寬為m的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路（如圖（1），則余下草坪的面積可表示為 ；（2）現(xiàn)為了增加美感，設(shè)計師把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖（2），則此時余下草坪的面積為 ；（3）聰明的魯魯結(jié)合上面的問題編寫了一道應用題，你能解決嗎？相信自己哦?。ㄈ鐖D（3），在長為50m，寬為30m的一塊草坪上修了一條寬為xm的筆直小路和一條長恒為xm的彎曲小路（如圖3），此時余下草坪的面積為1421求小路的寬x.專題二、利用一元二次方程解決變化率問題4.據(jù)報道

13、，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增長率（取 1.41）5.某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？6.某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準備以每平方米7000元的價格出售，由于國家出臺了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價后，決定以每平方米5670元的

14、價格銷售（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開放商建議：先公布下調(diào)5%，再下調(diào)15%，這樣更有吸引力請問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？專題三、利用一元二次方程解決市場經(jīng)濟問題7.（2012·濟寧）一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價為120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元該校最終向園林公司支付樹苗款8800元請問該校共購買了多少棵樹苗？8.（2012·南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的售價與銷售量有如下關(guān)系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元,每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部；月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.(1)若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為 萬元.(2)如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）專題四、利用一元二次方程解決生活中的其他問題9. (1)經(jīng)過凸邊形(3)其中一個頂點的對角線有 條.(2)一