直線和平面的位置關(guān)系

1、直線和平面的位置關(guān)系一、選擇題(本題每小題5分,共60分1.當(dāng)太陽光線與水平面的傾斜角為60°時,要使一根長為2m 的細(xì)桿的影子最長,則細(xì)桿 與水平地面所成的角為 ( A .15°B .30°C .45°D .60°2.正方體ABCD -A 1B 1C 1D 1中,對角線AC 1與底面ABCD 所成的角的正切等于( A .1B .2C .22 D .33 3.長方體ABCD -A 1B 1C 1D 1中,對角線AC 1與面ABCD 、面BCC 1B 1所成的角分別 為、,面對角線BC 1與面ABCD 所成的角為,則有 ( A .sin =sin

2、 sin B .cos =sin cos C .cos =cos cos D .sin =cos sin 4.空間四邊形的與各頂點(diǎn)等距離的截面共有 ( A .7個 B .4個 C .3個 D .1個5.圖中給出的是長方體形木料想象沿圖中平面所示位置截長方體,若那么截面圖形是下面四個圖形中的 A B C D6.Rt ABC 的斜邊BC 在平面內(nèi),A ,設(shè)A 在上的射影為A ,則由A 'B ,A 'C ,BC 組成的圖形是( A .直角三角形B .銳角三角形C .線段或銳角三角形D .線段或鈍角三角形7.正方體最長的對角線所在的直線與正方體各條棱所成的角的弧度值的種數(shù)是 ( A .

3、1B .2C .3D .48.空間五個點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的連線都與其他三個點(diǎn)確定的平面垂直,則這五個點(diǎn)( A .存在,且其中任意四個點(diǎn)不共面. B .存在,其中可能有四個點(diǎn)共面.C .不存在,但在任意兩個點(diǎn)確定的10條直線中可以有8條分別與另外三個點(diǎn)確定的平面垂直.D .不存在,且在任意兩個點(diǎn)確定的10條直線中至少有7條分別與另外三個點(diǎn)確定的平面垂直.9.設(shè)P 是平面外一點(diǎn),且P 到平面內(nèi)的四邊形的四條邊的距離都相等,則四邊形是( A .梯形B .圓外切四邊形C .圓內(nèi)接四邊形D .任意四邊形 10.若a ,b 是異面直線,P 是a ,b 外的一點(diǎn),有以下四個命題:過P 點(diǎn)可作直線k 與a ,b

4、 都相交; 過P 點(diǎn)可作平面與a ,b 都平行; 過P 點(diǎn)可作直線與a ,b 都垂直;過P 點(diǎn)可作直線k 與a ,b 所成角都等于50.這四個命題中正確命題的序號是 ( A .、 B .、 C . D .、11.若一個長方體共點(diǎn)的三個表面的對角線長分別為a 、b 、c ,則長方體的對角線長是( A .222c b a +B .2222c b a + C .ca bc ab + D .2(3ca bc ab +12.已知四棱錐底面四邊形中順次三個內(nèi)角的大小之比為2:3:4,此棱錐的側(cè)棱與底面所成的角相等,則底面四邊形的最小角是 ( A .11180B .60C .13180D .無法確定的二、填

5、空題(本題每小題4分,共16分13.若兩直線a ,b 在平面上的射影a ',b '是平行的直線,則a ,b 的位置關(guān)系是 . 14.正方形ABCD 在平面的同側(cè),若A 、B 、C 三點(diǎn)到的距離分別為2,3,4,則BD所在直線與平面的位置關(guān)系是 . 15.設(shè)正方體1111D C B A ABCD -,恰好到其中5個面所在平面的距離都相等的點(diǎn)共有 個,平面M 與各條棱所成的角都等于,則=sin .16.在體對角線長為l 的長方體中,體對角線在相鄰三個面內(nèi)的射影長的和的最大值等于_ .三. 解答題(共74分17.(10分已知四邊形ABCD 中,ABC=BCD=CDA=DAB=90&#

6、186;,求證:四邊形是矩形.18.(12分如圖,P 是ABC 所在平面外一點(diǎn),M ,N 分別是PA 和A B 的中點(diǎn),試過點(diǎn)M ,N 做平行于AC 的平面,要求:(1畫出平面分別與平面ABC ,平面PBC ,平面PAC 的交線; (2試對你的畫法給出證明. 19.(12分有一條東西方向的河流,在岸邊設(shè)探照燈P ,PO 垂直于地面XOY ,燈光PA射向正東北方向,且與地面成60º角,求燈光PA 與河岸OX 所成角的余弦.C20.(10分直角三角形ABC中,A=90º,AB=2AC,Q為AB上一點(diǎn),QB=54AC,P為平面ABC外一點(diǎn),且PB=PC,求證:PQBC.21.(1

7、4分若直線L與平面內(nèi)三條兩兩相交的直線a,b,c所成的角相等.求證:L. 22.(16分正方形ABCD中,AB=2,E、F分別是邊AB及BC的中點(diǎn),將AED及DCF折起(如圖,使A、C點(diǎn)重合于A'點(diǎn).(證明A'DEF;(求三棱錐A'EFD的體積;(求A'D與平面DEF所成角的正切值. 參考答案 一、 選擇題（本題每小題 5 分，共 60 分） BCDA 3解 ADAA BDBB 取 AB=1，AD=2， AA1 = 1 ，驗(yàn)算即得僅 D 適合 3 ，因此所成角的弧度數(shù)只有 1 種 3 7解 由于所成角的余弦值都是 8解 取銳角ABC，設(shè)其垂心為 H，過 H 作直

8、線 k，使 k 與平面 ABC 垂直，設(shè) CP 是ABC 的一條高，在 l 上取一點(diǎn) D，使DPC 是銳角三角形，并作 CQ DP，CQ 與 l 交于 E，則 A、B、C、D、E 這五個點(diǎn) 10 解 當(dāng)直線 a 與 P 點(diǎn)確定的平面 與 b 平行時，過 P 點(diǎn)所作的與 a 相交的直線都在 內(nèi)，不可能與 b 相交，因此命題不正確；同樣，在這種情況下，過 P 點(diǎn)作與 b 平行的平面恰是 ， 通過 a 與 a 并不平行，因此命題也不正確 12解 因?yàn)槔忮F的各側(cè)棱與底面所成角相等，所以頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面四邊形的外接圓圓心，底 設(shè) B： 3： 由于 A+C=180 ， 因此 A=60 ， C=12

9、0 ， B=D=90 ， 面四邊形 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形。 A： C=2： 4， 最小角為 A=60 二、填空題（本題每小題 4 分，共 16 分） 13解 14解 平行或異面 BD/ ；由圖可知 B，D 兩點(diǎn)到平面 的距離都是 3，故 BD/ C D 中任意兩點(diǎn)的連線與其他三點(diǎn)確定的平面垂直 o o o o o B A 15解 6； 3 . 提示：正方體的中心 O 關(guān)于六個面的對稱點(diǎn)均合條件，故所求的點(diǎn)共有 6 個；平面 M 有 3 無數(shù)個，其中一個是平面 AB1C ，恒有 sin = 3 . 3 16解 6l . 2 設(shè)長方體中過同一個頂點(diǎn)的三條棱長分別是 x，y，z，則體對角線 l=

10、 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 + y2 + z 2 注意到由 a +b 2ab，b +c 2bc，c +a 2ca 可導(dǎo)出 2（a +b +c ） 2（ab+bc+ca） x 2 + y 2 = a, y 2 + z 2 = b, z 2 + x 2 = c 代入上式， 3 2+y2） 便得 （x ） 2， 2 3 a2+b2+c2） （a+b+c） 以 （ +（y2+z2）+（z2+x2） 即 6l2 （ （ x2 + y2 + y2 + z2 + z2 + x2 x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 ）2 ， x 2 + y 2 + y 2 + z

11、2 + z 2 + x 2 6l 6 不等式左端即體對角線在相鄰三個面上的射影的和 三、解答題（共 74 分） 17證明 若四點(diǎn) A，B，C，D 不在同一平面內(nèi)，設(shè) A 點(diǎn)在平面 BCD 內(nèi)的射影（垂足）為 O，則 AOBC， 又BCAB，BC面 AOB，BCOB； 同理 DCOD BD 但 OB 2 = BO 2 + DO 2 , BD 2 = AB 2 + AD 2 ; < AB, OD < AD, OB 2 + OD 2 < AB 2 + AD 2 , BD 2 BD 2 ，矛盾故四點(diǎn) A，B， C，D 在同一平面內(nèi)，即四邊形 ABCD 是矩形 18解 （1）過 N 點(diǎn)

12、作 NE/AC 交 BC 于 E，過 M 點(diǎn)作 MF/AC 交 PC 于 F，連結(jié) EF，則平面 MNEF 為平 行于 AC 的平面 ，NE，EF，MF 分別是平面 與平面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交線 （2）NE/AC，MF/AC，NE/MF. 直線 NE 與 MF 共面，NE，EF，MF 分別是平面 MNEF 與平 面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交線 NE/AC，NE 平面 MNEF，AC/平面 MNEF平面 MNEF 為所求的平面 解 PO平面 XOY，PAO 是燈光 PA 和地面所成的角，從而PAO=60º，AOX=45º。作 ABOY 于

13、 B，AB/OX，故PAB 是燈光與河岸所成的角設(shè) PA=a,則 OA=PAcos60º= 1 2 a,AB=OAsin45º= 2 4 a.在 RtPBA 中 cosPAB= AB 2 = 。 PA 4 5 5 3 ，AB=2AC=2，QA=2- = 。 4 4 4 20證明：取 BC 中點(diǎn) M，連接 PM，QM，令 AC=1，則 BQ= 2 設(shè)直線 a,b,c 都過 L 與平面 的交點(diǎn) O。在 a,b,c 上分別 A，B，C，使得 OA=OB=OC。在 L 上取一點(diǎn) P，則 5 3 QC= QA + AC = + 1 = 。QC=QB，QMBC。又PMBC，BC平面 P

14、MQ，BCPQ 4 4 2 1 證明 直線 L 與平面 內(nèi)的兩兩相交的直線 a,b,c 所成的角相等，L ，L 與 相交不妨 2 2 POA=POB=POC，POAPOBPOC，則 PA=PB=PC。取 AB，BC 的中點(diǎn)分別為 E，F(xiàn)，則 PEAB， PFBC，且 OEAB，OFBC，又PEOE=E，PFOF=F，AB平面 POE，BC平面 POF.則 LAB，LBC 而 ABBC=B，L 7 P O A E a B b F C c 22證明 A E， A D A F， A D平面 A EF， A DEF （） A D平面 A EF A D 的長為三棱錐 D A EF 的高. A E= A F=1，又 EF = 2 ， （） A D E A F=90°， （）取 EF 中點(diǎn) G，連 V A EFD = VD AEF