用數(shù)學軟件Mathematica做微積分

1、用數(shù)學軟件Mathematica做微積分作者：徐小湛四川大學數(shù)學學院xuxzmail目 錄前言極限 函數(shù)極限 單側(cè)極限 單向極限 無窮大的極限 數(shù)列極限 遞歸定義的數(shù)列的極限導數(shù) 顯函數(shù)的導數(shù) 單側(cè)導數(shù) 高階導數(shù) 參數(shù)方程的導數(shù) 隱函數(shù)的導數(shù)導數(shù)的應用 微分中值定理 洛必達法則 切線和法線 求方程的根單調(diào)區(qū)間和極值 凹凸區(qū)間和拐點積分 不定積分 定積分 廣義積分 積分變限函數(shù)的導數(shù) 定積分的幾何應用 面積 旋轉(zhuǎn)體體積 弧長 旋轉(zhuǎn)曲面面積空間解析幾何 數(shù)量積 向量積 混合積 向量的模和單位化 兩點的距離 多元微分學 偏導數(shù) 高階偏導數(shù) 全微分 隱函數(shù)的偏導數(shù)多元微分學的應用 空間曲線的切線與法平

2、面 曲面的切平面與法線 梯度與方向?qū)?shù) 二元函數(shù)的極值重積分 二重積分 極坐標計算二重積分 三重積分 柱面坐標計算三重積分 球面坐標計算三重積分重積分的應用 曲面的面積 體積曲線積分 第一類曲線積分 第二類曲線積分曲面積分 第一類曲面積分 第二類曲面積分 高斯公式與散度 斯托克斯公式與旋度無窮級數(shù) 常數(shù)項級數(shù) 冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域 冪級數(shù)的和函數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 泰勒級數(shù) 傅里葉級數(shù)微分方程 一階微分方程 可分離變量方程 一階線性方程 高階微分方程高階線性微分方程 歐拉方程圖形 平面圖形 顯函數(shù)的圖形 二元方程的圖形 隱函數(shù)曲線 參數(shù)曲線 極坐標曲線 導數(shù)的圖形 積分變限函數(shù)的圖形 平面

3、區(qū)域的圖形空間圖形 顯函數(shù)曲面 參數(shù)曲面 三元方程的圖形 隱函數(shù)曲面 空間曲線 空間區(qū)域數(shù)學家 歐拉 牛頓 萊布尼茨 拉格朗日 阿貝爾 泰勒 麥克勞林 柯西 斯托克斯 高斯 傅里葉 笛卡兒 狄利克雷參考文獻前 言Mathematica是著名的數(shù)學軟件，具有強大的的數(shù)學運算能力和繪圖功能。本文檔用Mathematica來計算微積分中的各種習題,并繪制了很多圖形。 本文檔中所有的例子都是用Mathematica 7編程和計算的，有的命令在版本較低的Mathematica可能無法執(zhí)行。另外，有的運算結(jié)果拷貝到Word時，格式有些變化，但是在Mathematica中的輸出格式?jīng)]有問題。如有對本文檔中的

4、內(nèi)容任何問題，請發(fā)郵件到與作者討論。郵箱：xuxzmailxuxz2010-9-1返回目錄極限函數(shù)極限自變量趨于有限值的極限例 求極限解 輸入：fx_:=Sinx/x;Limitfx,x®0輸出：1例 求極限 （同濟6版，139頁）fx_:=(1+a/x)x;Limitfx,x®Infinity輸出：ã （錯誤答案，原因是沒有給a賦值）a:=afx_:=(1+a/x)x;Limitfx,x®Infinity輸出：ãa（對了?。﹩蝹?cè)極限例 求左極限解 輸入：fx_:=Exp1/x;Limitfx,x®0,Direction®1

5、輸出：0例 求右極限解 輸入：fx_:=ArcTan1/x;Limitfx,x®0,Direction®-1輸出：p/2返回目錄自變量趨于無窮大的極限例 求極限解 輸入：fx_:=x2Sin3/x2; Limitfx,x®Infinity輸出：3單向極限例 求極限解 輸入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,x®Infinity輸出：p/2例 求極限解 輸入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,x®-Infinity輸出：-(p/2)無窮大的極限例 求極限解 輸入：fx_:=Exp1/x;Limitfx,x®0,Direc

6、tion®-1輸出：¥返回目錄數(shù)列的極限數(shù)列極限 例 求極限 解 輸入：fn_:=(1+1/n)n;Limitfn,n®Infinity輸出：ã遞歸定義的數(shù)列的極限例 設 ，求解 輸入：f1=Sqrt2;fn_:=Sqrt2+fn-1;f10不成功！f1=NSqrt2,10;fn_:=NSqrt2+fn-1,10;f10結(jié)果：1.999997647作圖觀察數(shù)列的極限f1=Sqrt2;fn_:=Sqrt2+fn-1;xn=Tablefn,n,1,10;ListPlotxn,PlotStyle®Red,PointSizeLarge,Filling&

7、#174;Axis列表觀察數(shù)列的極限f1=NSqrt2,10;fn_:=NSqrt2+fn-1,10;DoPrintn," ",fn,n,10結(jié)果：1 1.4142135622 1.8477590653 1.9615705614 1.9903694535 1.9975909126 1.9993976377 1.9998494048 1.9999623519 1.99999058810 1.999997647返回目錄導數(shù)顯函數(shù)的導數(shù)求導函數(shù)例 設 ，求導數(shù)fx_:=Sin2x2+2;f'x 或 Dfx,x結(jié)果：4 x Cos2+2 x2求某一點的導數(shù)例 設 ，求導數(shù)f

8、x_:=(2x2+3)Sinx;f'3 或 Dfx,x/.x®3結(jié)果：21 Cos3+12 Sin321 Cos3+12 Sin3用定義求導數(shù)導數(shù)的定義： 或 例 設 ，求左導數(shù)fx_:=Whichx<0,x,x>=0,Sinx （定義分段函數(shù)）a=0;Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),x®a結(jié)果：1單側(cè)導數(shù)例 設 ，求左導數(shù)和右導數(shù)用定義求導fx_:=Whichx<0,x,x>=0,Sin2x （定義分段函數(shù)）a=0;Left_Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),x®a,D

9、irection®1Right_Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),x®a,Direction®-1結(jié)果：1（左導數(shù)）2（右導數(shù)）返回目錄高階導數(shù)例 設 ，求二階導數(shù)和三階導數(shù)二階導數(shù)fx_:=Sin2x2+3;f''x 或 Dfx,x,2結(jié)果：4 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x24 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x2三階導數(shù)fx_:=Sin2x2+3;f'''x Dfx,x,3結(jié)果：-64 x3 Cos3+2 x2-48 x Sin3+2 x2-64 x3 Co

10、s3+2 x2-48 x Sin3+2 x2例 設 ，求二階導數(shù)fx_:=ExpxCos2x2;f''1或 Dfx,x,2/.x®1結(jié)果：-15 ã Cos2-12 ã Sin2ã Cos2+ã (-16 Cos2-4 Sin2)-8 ã Sin2例 設 ，求010階導數(shù)fx_:=1/(x+1);DoPrintn," ",Dfx,x,n,n,0,10結(jié)果：0 1/(1+x)1 -(1/(1+x)2)2 2/(1+x)33 -(6/(1+x)4)4 24/(1+x)55 -(120/(1+x)6)6

11、720/(1+x)77 -(5040/(1+x)8)8 40320/(1+x)99 -(362880/(1+x)10)10 3628800/(1+x)11或fx_:=1/(x+1);TableDfx,x,n,n,0,10結(jié)果：1/(1+x),-(1/(1+x)2),2/(1+x)3,-(6/(1+x)4),24/(1+x)5,-(120/(1+x)6),720/(1+x)7,-(5040/(1+x)8),40320/(1+x)9,-(362880/(1+x)10),3628800/(1+x)11例 求函數(shù)在x=0處的010階導數(shù)fx_:=1/(x+1);DoPrintn," &quo

12、t;,Dfx,x,n/.x®0,n,0,10結(jié)果：0 11 -12 23 -64 245 -1206 7207 -50408 403209 -36288010 3628800或fx_:=1/(x+1);TableDfx,x,n/.x®0,n,0,10結(jié)果：1,-1,2,-6,24,-120,720,-5040,40320,-362880,3628800返回目錄參數(shù)方程的導數(shù)參數(shù)方程的導數(shù)：；二階導數(shù)：例 設 ，求導數(shù)xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx=x't Dy=y'tDyDx=y't/x't 結(jié)果：4 tCostCost

13、/(4 t)或xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx=Dxt,tDy=Dyt,tDyDx=Dy/Dx4 tCostCost/(4 t)例 設 ， , 求 xt_:=Expt*Sint;yt_:=Expt*Cost;ft_:=y't/x't;fPi/3Simplify%(ãp/3/2-1/2 ãp/3)/(ãp/3/2+1/2 ãp/3)-2+例 設 ，求一階和二階導數(shù)xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx:=Dxt,tDy:=Dyt,tYijie=Dy/DxYt_:=Dy/DxErjie=DYt,t/Dxt,t;Simplify%

14、結(jié)果：Cost/(4 t) （一階導數(shù)）-(Cost+t Sint)/(16 t3) （二階導數(shù)）例 設 ，求一階、二階、三階導數(shù)xt_:=2t2;yt_:=Sint;Dx:=Dxt,tDy:=Dyt,tYijie=Dy/DxYt_:=Dy/DxErjie=DYt,t/Dxt,t;Simplify%Ert_:=DYt,t/Dxt,tSanjie=DErt,t/Dxt,t;Simplify%結(jié)果：Cost/(4 t) （一階導數(shù)）-(Cost+t Sint)/(16 t3) （二階導數(shù)）(-(-3+t2) Cost+3 t Sint)/(64 t5) （三階導數(shù)） 返回目錄隱函數(shù)的導數(shù)例 設 ，

15、求方法一 利用公式：（同濟6版下冊84頁）Fx_,y_:=1-x Expy-y;Fx=DFx,y,xFy=DFx,y,y-Fx/FySimplify%結(jié)果：-ãy-1-ãy xãy/(-1-ãy x)-(ãy/(1+ãy x)方法二 直接求導Dyx=1-x Expyx,x （方程兩邊對x求導）Solve%,y'x (解出導數(shù))結(jié)果：y¢x-ãyx-ãyx x y¢xy¢x®-(ãyx/(1+ãyx x)或Fx_,y_:=1-x Expy-yDFx,

16、yx0,xSolve%,y'x 結(jié)果：-ãyx-y¢x-ãyx x y¢x0y¢x®-(ãyx/(1+ãyx x)方法二 微分法Fx_,y_:=1-x Expy-yDtFx,y0,x （方程兩邊對x微分）Solve%,Dty,x （解出dy/dx）結(jié)果：-ãy-Dty,x-ãy x Dty,x0Dty,x®-(ãy/(1+ãy x)返回目錄導數(shù)的應用微分中值定理例 在區(qū)間上對函數(shù)驗證拉格朗日中值定理的正確性（同濟6版，134頁）解 即驗證存在，使得fx_:=

17、4x3-5x2+x-2;a=0;b=1;Solvef'x(fb-fa)/(b-a),x結(jié)果x®1/12 (5-),x®1/12 (5+) 得到兩個解判斷這兩個解是否在(0,1)內(nèi)：0<(5-Sqrt13)/12<10<(5+Sqrt13)/12<1結(jié)果：TrueTrue 這兩個解都在在(0,1)內(nèi) 例 在區(qū)間上對函數(shù)和驗證柯西中值定理的正確性（同濟6版，134頁）解 即驗證存在，使得fx_:=Sinx;Fx_:=x+Cosx;a=0;b=Pi/2;Solvef'x(Fb-Fa)=F'x(fb-fa),x結(jié)果Solve:ifun

18、: Inverse functions are being used by NoBreakSolveNoBreak, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. x®p/2,x®ArcCos(-8+4 p)/(8-4 p+p2)判斷第二個解是否在(0,Pi/2)內(nèi)：ArcCos(4Pi-8)/(8-4Pi+Pi2)/N0<ArcCos(4Pi-8)/(8-4Pi+Pi2)<Pi/20.533458True (第二個解在(0,Pi/2)內(nèi))返回目

19、錄洛必達法則由于Mathematica直接計算極限，因此洛必達法則已無必要。見函數(shù)極限部分。切線和法線1顯函數(shù)曲線的切線和法線曲線 y = f(x) 在點 P(x0, f(x0) )處的切線方程：曲線 y = f(x) 在點 P(x0, f(x0) )處的法線方程：（同濟6版，84頁）例 求在處的切線和法線方程fx_:=x2x0=1;y-fx0=f'x0 (x-x0) （切線）y-fx0-(1/f'x0) (x-x0) （法線）結(jié)果：-1+y2 (-1+x)-1+y(1-x)/2例 求在處的切線和法線方程，并作圖fx_:=Sinxx0=1;y=fx0+f'x0 (x-x

20、0)y=-fx0-(1/f'x0) (x-x0)Plotfx,fx0+f'x0 (x-x0),fx0+-(1/f'x0) (x-x0),x,-3,3,AspectRatio®Automatic,PlotRange®-2,3結(jié)果：y(-1+x) Cos1+Sin1y-(-1+x) Sec1-Sin12. 參數(shù)曲線的切線和法線參數(shù)曲線在點P(x(t0), y( t0) 處的切線方程： 法線方程： 例 求在處的切線和法線方程公式：切線：法線xt_:=t2yt_:=Sintt0=1;yyt0+(y't0/x't0) (x-xt0)yyt0-(

21、x't0/y't0) (x-xt0)quxian=ParametricPlotxt,yt,t,-3,3;qiexian=ParametricPlotxt0+x't0t,yt0+y't0 t,t,-3,3;faxian=ParametricPlotxt0+y't0t,yt0-x't0 t,t,-3,3;Showquxian,qiexian,faxian,AspectRatio®Automatic,PlotRange®-5,6,All結(jié)果：y1/2 (-1+x) Cos1+Sin1y-2 (-1+x) Sec1+Sin1或用公式：

22、切線： 法線xt_:=t2yt_:=Sintt0=1;(x-xt0)/x't0 =(y-yt0)/y't0x't0(x-xt0)+y't0(y-yt0)=0結(jié)果：1/2 (-1+x)Sec1 (y-Sin1)2 (-1+x)+Cos1 (y-Sin1)03一般方程 (隱函數(shù)) 曲線的切線和法線例 求曲線在處的切線和法線方程，并作圖Fx_,y_:=3-2x2-y2;x0=1;y0=1;m=-DFx,y,x/DFx,y,y/.x®x0,y®y0;yy0+m (x-x0)yy0-(1/m) (x-x0)quxian=ContourPlotFx,y=

23、0,x,-2,2,y,-2,2;qiexian=Ploty0+m (x-x0),x,-2,2;faxian=Ploty0-(1/m) (x-x0),x,-2,2;Showquxian,qiexian,faxian,Axes->True,Frame->False,Ticks->Range-2,2,1,Range-2,2,1結(jié)果：y1-2 (-1+x)y1+1/2 (-1+x)或利用公式：曲線在點P(x0, f(x0) ) 處的切線方程： 法線方程： Fx_,y_:=3-2x2-y2;x0=1;y0=1;Fx=DFx,y,x/.x®x0,y®y0Fy=DFx,

24、y,y/.x®x0,y®y0Fx (x-x0)+Fy (y-y0)0 Fy (x-x0)- Fx (y-y0)0 quxian=ContourPlotFx,y0,x,-2,2,y,-2,2;qiexian=ContourPlotFx (x-x0)+Fy (y-y0)0 ,x,-2,2,y,-2,2;faxian=ContourPlotFx (y-y0)- Fy (x-x0)0 ,x,-2,2,y,-2,2;Showquxian,qiexian,faxian,Axes®True,Frame®False,Ticks®Range-2,2,1,Rang

25、e-2,2,1結(jié)果：-4-2-4 (-1+x)-2 (-1+y)0-2 (-1+x)+4 (-1+y)0返回目錄求方程的根例 求方程的實根（同濟6版，179頁），并作圖fx_:=x3+1.1x2+0.9x-1.4;Solvefx=0,xPlotfx,x,-2,2結(jié)果：x®-0.885329-1.1418 ä,x®-0.885329+1.1418 ä,x®0.670657（最后一個為實根）以下方式求 1 附近的實根：fx_:=x3+1.1x2+0.9x-1.4;FindRootfx=0,x,1結(jié)果：x®0.670657返回目錄單調(diào)區(qū)間和

26、極值例 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并作圖fx_:=x3-2x+3;Plotfx,x,-2,3 （作圖）Solvef'x0,x （求駐點）結(jié)果：x®-,x®例 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，并作圖fx_:=x/(x2+2);Plotfx,x,-5,5Solvef'x0,x結(jié)果：x®-,x®f''-Sqrt2f''Sqrt2f-Sqrt2fSqrt21/(4 ) -(1/(4 )-(1/(2 ) （極小值）1/(2 ) （極大值）例 求函數(shù)在內(nèi)的極值，并作圖fx_:=2Sin2x2-(5/2)Cosx/22;Plotfx,x

27、,0,Pi,Ticks®Range0,Pi,Pi/4求三個駐點d1=FindRootf'x=0,x,Pi/4d2=FindRootf'x=0,x,Pi/2d3=FindRootf'x=0,x,3Pi/4結(jié)果：x®0.844344x®1.4916x®2.40884求極值：fx/.d1fx/.d2fx/.d3結(jié)果：-0.107946-1.299131.65708返回目錄凹凸區(qū)間和拐點例 求函數(shù)的凹凸區(qū)間，并作圖fx_:=x3-2x+3;Plotfx,x,-3,3 Solvef''x0,x 求二階導數(shù)的零點結(jié)果：x

28、74;0 例 求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點，并作圖fx_:=x/(x2+2);Plotfx,x,-6,6Solvef''x=0,x求二階導數(shù)的零點結(jié)果：x®0,x®-,x® （二階導數(shù)的零點）0,f00,f-Sqrt60,fSqrt60,0 （拐點）0,-(/4) （拐點）0,/4 （拐點）返回目錄積分不定積分求不定積分（原函數(shù)）例 求函數(shù)的原函數(shù)fx_:=x2+Sinx+1;Integratefx,x結(jié)果：x+x3/3-Cosx例 求不定積分： fx_:=x ArcTanx;Integratefx,x結(jié)果：-(x/2)+ArcTanx/2+1/2 x2

29、 ArcTanx返回目錄定積分牛頓-萊布尼茨公式： 例 求函數(shù)的定積分：fx_:=x2+Sinx+1;Integratefx,x,0,1結(jié)果：7/3-Cos1例 求定積分：fx_:=1/Sqrt1-x2;Integratefx,x,0,1/2結(jié)果：p/6返回目錄廣義積分例 求廣義積分：fx_:=x Exp-2x;Integratefx,x,0,Infinity結(jié)果：1/4例 求廣義積分：fx_:=1/(x2+1);Integratefx,x,-Infinity,2結(jié)果：p/2+ArcTan2例 求廣義積分：fx_:=1/(x2+3);Integratefx,x,-Infinity,Infini

30、ty結(jié)果：p/返回目錄積分變限函數(shù)的導數(shù)例 求導數(shù)：fx_:=x Exp-xFx_:=Integrateft,t,0,x;DFx,xDFx,x/Simplify結(jié)果：-ã-x+ã-x (1+x)ã-x x例 求導數(shù)：fx_:=x Exp-xFx_:=Integrateft,t,Logx,x2;DFx,xDFx,x/Simplify結(jié)果：1/x2-2 x+2 x (1+x2)-(1+Logx)/x22 x3-Logx/x2返回目錄定積分的幾何應用面積曲線和軸之間的曲邊梯形的面積為：例 求曲線與x所圍成的圖形的面積，并作圖fx_:=x3-2xPlotfx,x,-2,2

31、,PlotStyle®Red,Filling®AxisSolvefx0,x交點坐標：x®0,x®-,x®x®0,x®-,x®A=IntegrateAbsfx,x,-Sqrt2,Sqrt2面積：2設，則曲線和之間的圖形的面積為：例 求兩曲線所圍成的圖形的面積，并作圖fx_:=x2gx_:=x3Plotfx,gx,x,-1,1.2,PlotStyle®Red,Blue,Filling->1Solvefxgx,x交點坐標：x®0,x®0,x®1A=Integratefx-gx

32、,x,0,1面積：1/12曲線和之間的圖形的面積為：例 求兩曲線（）所圍成的圖形的面積，并作圖fx_:=Sinxgx_:=Cos2xPlotfx,gx,x,0,Pi,PlotStyle®Red,Blue,Filling®1A=IntegrateAbsfx-gx,x,0,1NA面積：1/2 (-2+3 -2 Cos1-Sin2)0.603125返回目錄旋轉(zhuǎn)體體積曲線和軸之間的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：（圓片法）例 （圓片法）求曲線（）與x所圍成的圖形繞x軸的旋轉(zhuǎn)體體積，并作圖fx_:=SinxPlotfx,x,0,2,PlotStyle®Red,Thickn

33、ess0.005,Filling->AxisV = Pi Integratefx2, x, 0, 2 體積 體積：p (1-Sin4/4)fx_:=Sinxr1=Plotfx,x,0,2,PlotStyle®Red,Filling®Axis;r2=Plot-fx,x,0,2,PlotStyle®Red,Filling®Axis;r3=ParametricPlot2+0.1Cost,Sin2Sint,t,0,2Pi,PlotStyle®Red;Showr1,r2,r3,PlotRange®All,AspectRatio®

34、1（下左圖） fx_:=Sinx;quxian=ParametricPlot3D0,y,fy,y,0,2,PlotStyle®Red,Thickness0.01;quxian1=ParametricPlot3D0,y,fy,y,0,3,PlotStyle®Thickness0.003;xu_,t_:=fu Cost;zu_,t_:=fuSint;yu_,t_:=u;Qumian1=ParametricPlot3Dxu,t,yu,t,zu,t,u,0,2,t,0,2 Pi;xu_,t_:=gu Cost;zu_,t_:=guSint;yu_,t_:=u;Qumian2=Par

35、ametricPlot3Du Cost,2,u Sint,u,0,Sin2,t,0,2 Pi,Mesh®0,PlotStyle®LightBlue;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-1,3,PlotStyle®AbsoluteThickness2;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.3,2.5,PlotStyle®AbsoluteThickness2;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-1,1,PlotStyle®AbsoluteThickness3;XYZ=ShowZ,Y;ShowQ

36、umian1,Qumian2,quxian,quxian1,XYZ,PlotRange®-1,1,-0.3,2.5,-1,1,Boxed®False,Axes®False,ViewPoint®1,2,2（上右圖）設，則曲線和之間的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為： (墊圈法)例 （墊圈法）求兩曲線所圍成的圖形繞x軸的旋轉(zhuǎn)體體積，并作圖fx_:=x2gx_:=x3Plotfx,gx,x,-1,1.2,PlotStyle®Red,Blue,Filling->1Solvefxgx,x曲線交點：x®0,x®0,x®1

37、V=Pi Integratefx2-gx2,x,0,1 （體積）體積： (2 p)/35fx_:=x2gx_:=x3r1=Plotfx,gx,x,0,1,PlotStyle®Red,Blue,Filling®1;r2=Plot-fx,-gx,x,0,1,PlotStyle®Red,Blue,Filling®1;r3=ParametricPlot1+0.05Cost,Sint,t,0,2Pi,PlotStyle®Red;Showr1,r2,r3,PlotRange®All,AspectRatio®1(下左圖) fx_:=x2g

38、x_:=x3Plotfx,gx,x,0,1,PlotStyle®Red,Blue,Filling®1xu_,t_:=fu Cost;zu_,t_:=fuSint;yu_,t_:=u;Qumian1=ParametricPlot3Dxu,t,yu,t,zu,t,u,0,1,t,0,2 Pi;xu_,t_:=gu Cost;zu_,t_:=guSint;yu_,t_:=u;Qumian2=ParametricPlot3Dxu,t,yu,t,zu,t,u,0,1,t,0,2 Pi;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-1,1,PlotStyle®Abso

39、luteThickness2;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.3,1,PlotStyle®AbsoluteThickness2;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-1,1,PlotStyle®AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian1,Qumian2,XYZ,PlotRange®-1,1,-.1,1,-1,1,Boxed®False,Axes®False,ViewPoint®6,1,1（上右圖）例 （墊圈法）（圓環(huán)體體積）求圓盤 繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)

40、體體積，并作圖fx_:=3+Sqrt1-x2gx_:=3-Sqrt1-x2Plotfx,gx,x,-1,1,PlotStyle®Red,Blue,Filling®1,AxesOrigin®0,0,AspectRatio®AutomaticV=Pi Integratefx2-gx2,x,-1,1體積：6 p2rt_:=Cost,3+Sint,0;xuanzhuans_:=1,0,0,0,Coss,-Sins,0,Sins,Cossquxian=ParametricPlot3Drt,t,0,2Pi,PlotStyle->Red,Thickness0.0

41、1qumian=ParametricPlot3Dxuanzhuans.rt,t,0,2Pi,s,0,2Pi,Mesh->10,0;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-3,3,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4.5,4.5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y;Showquxian,qumian,XYZ,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->2,2,-5,PlotRange->

42、All(上右圖)例（墊圈法） （圓環(huán)體體積）求圓盤 繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積fx_:=b+Sqrta2-x2gx_:=b-Sqrta2-x2V=Pi Integratefx2-gx2,x,-a,a體積：2 a b p2曲線和軸之間的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：（柱殼法）例 （柱殼法）求曲線（）與x所圍成的圖形繞y軸的旋轉(zhuǎn)體體積，并作圖fx_:=SinxPlotfx,x,0,2,PlotStyle®Red,Thickness0.005,Filling®AxisV=2Pi Integratex fx,x,0,2 體積V=N2Pi Integratex fx,x,0,2 體積

43、：2p (-2 Cos2+Sin2) 或 10.9427fx_:=SinxA=Plotfx,x,0,2,PlotStyle®Red,Thickness0.005,Filling®Axis;B=Plot-fx,x,-2,0,PlotStyle®Red,Thickness0.005,Filling®Axis;Y1=ParametricPlot2Cost,0.1Sint,t,0,2Pi;Y2=ParametricPlot2Cost,Sin2+0.1Sint,t,0,2Pi;Y3=ParametricPlot1.6Cost,1+0.1Sint,t,0,2Pi;S

44、howA,B,Y1,Y2,Y3,PlotRange->All,AspectRatio®Automatic rt_:=t,0,Sint;quxian=ParametricPlot3Drt,t,0,2,PlotStyle->Red,Thickness0.01;quxian1=ParametricPlot3Drt,t,0,3,PlotStyle->Thickness0.003;xuanzuanu_:=Cosu,-Sinu,0,Sinu,Cosu,0,0,0,1;Qumian1=ParametricPlot3Dxuanzuanu.rt,t,0,2,u,0,2 Pi,Mesh

45、®5,0;xu_,t_:=gu Cost;zu_,t_:=guSint;yu_,t_:=u;Qumian2=ParametricPlot3D2 Cost,2 Sint,z,z,0,Sin2,t,0,2 Pi,Mesh->0,PlotStyle->LightBlue;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-3,3,PlotStyle->AbsoluteThickness2;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.3,2.5,PlotStyle->AbsoluteThickness2;Z=ParametricPlot3D0,0,z,

46、z,-1,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowZ,X;ShowQumian1,Qumian2,quxian,quxian1,XYZ,PlotRange->-3,3,-2,2,0,1.5,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->1,-2,2返回目錄弧長曲線（）的弧長為： （同濟6版，282頁）例 曲線的弧長，并作圖fx_:=x2A=Plotfx,x,-1,3;B=Plotfx,x,1,2,PlotStyle®Red,Thickness0.01;ShowA,Bs=IntegrateS

47、qrt1+f'x2,x,1,2 解析解s=NIntegrateSqrt1+f'x2,x,1,2 數(shù)值解結(jié)果：1/4 (-2 +4 -ArcSinh2+ArcSinh4) 解析解3.16784 數(shù)值解曲線（）的弧長為： （同濟6版，283頁）例 求曲線 （）的弧長，并作圖xt_:=Sint3;yt_:=t;A=ParametricPlotxt,yt,t,-1.5,1.5;B=ParametricPlotxt,yt,t,-1,1,PlotStyle®Red,Thickness0.01;ShowA,Bs=IntegrateSqrtx't2+y't2,t,0,

48、1 解析解s=NIntegrateSqrtx't2+y't2,t,0,1 數(shù)值解結(jié)果： 解析解1.40626 數(shù)值解返回目錄旋轉(zhuǎn)曲面面積曲線（）繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：例 曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積，并作圖fx_:=x2A=Plotfx,x,-1,2.5;B=Plotfx,x,1,2,PlotStyle->Red,Thickness0.01;ShowA,B,AspectRatio®Automatics=2Pi IntegratefxSqrt1+f'x2,x,1,2 解析解s=N2Pi IntegratefxSqrt1+f'x2,x,1,2 數(shù)值解結(jié)果：1/32p (-18 +132 +ArcSinh2-ArcSinh4) 解析解49.4162 數(shù)值解曲線（）繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：例 曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積，并作圖fx_:=x2A=Plotfx,x,-1,2.5;B=Plotfx,x,1,2,Plot