全等三角形 經(jīng)典例題

1、數(shù)學(xué)期末考試范圍：數(shù)學(xué)期末考試范圍：七七下：下：第第3,4,5,63,4,5,6章章 （整式的乘除、因（整式的乘除、因式分解、分式、數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖表）式分解、分式、數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖表）八八上上：第第1 1章（三角形的初步知識）章（三角形的初步知識） 第第2 2章（章（2.12.32.12.3）（等腰三角）（等腰三角形的性質(zhì)為止）形的性質(zhì)為止）全等三角形全等三角形如如圖，圖，BE=CDBE=CD，1=21=2，則，則AB=ACAB=AC嗎？為什嗎？為什么？么？BD=CEBD=CE嗎嗎? ?6. 如圖，如圖，CDAB于于D，BEAC與與E，BE、CD交于交于O，且，且AO平分平分BAC，求證：，求證：O

2、B=OC圖中有幾對全等三角形圖中有幾對全等三角形?如圖，已知如圖，已知RtABC RtADE，ABCADE90，BC與與DE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)F，連接，連接CD，EB.21(1)圖中還有幾對圖中還有幾對全等三角形；全等三角形；(2)求證：求證：CFEF.ABCP條件：條件：AP平分平分BAC，PBAB，PCAC0112()34=90 () 結(jié)結(jié)論論 ：角角平平分分線線的的意意義義 ； 垂垂直直的的意意義義 ；2()()PBPC 結(jié)結(jié)論論 ：角角平平分分線線的的性性質(zhì)質(zhì)定定理理角角平平分分線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)到到角角兩兩邊邊的的距距離離相相等等3 () 5= 6()PABPACABAC結(jié)結(jié)論論 ：全全

3、等等三三角角形形的的對對應(yīng)應(yīng)邊邊相相等等全全等等三三角角形形的的對對應(yīng)應(yīng)角角相相等等123456ABDCPO條件：條件：CD是線段是線段AB的中垂線的中垂線1;()AOBO CDAB結(jié)結(jié)論論 ：中中垂垂線線的的意意義義 ；2()PAPB 結(jié)結(jié)論論 ：中中垂垂線線的的性性質(zhì)質(zhì)定定理理 ；312;34()PAOPBO 結(jié)結(jié)論論 ：；全全等等三三角角形形的的對對應(yīng)應(yīng)角角相相等等1234要修建一個超市要修建一個超市P，要滿足三個村莊，要滿足三個村莊A、B、C都到超市的距離相等都到超市的距離相等(村莊的位置形成一個三村莊的位置形成一個三角形角形)，請問如何確定這個超市的位置，說明，請問如何確定這個超市的

4、位置，說明理由？理由？ ABCPP如如圖圖：點(diǎn)點(diǎn) 為為所所求求位位置置3、有三條筆直的公路a,b,c，要修建一個水電站O，使點(diǎn)O到三條公路的距離相等.這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)有幾個？有幾個？各內(nèi)角與外角的角平分線各內(nèi)角與外角的角平分線 4個個6 6、作圖，你能否找出一個點(diǎn)，使作圖，你能否找出一個點(diǎn)，使它到線段它到線段ABAB兩端點(diǎn)的距離相等，并兩端點(diǎn)的距離相等，并且到且到CODCOD兩邊的距離也相等兩邊的距離也相等CDOAB試說明：試說明：三三角形角平分線的交點(diǎn)到三角形角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等角形三邊的距離相等若若三角形三條邊邊長分別為三角形三條邊邊長分別為a,b,ca,b,c，三條角平分

5、線的交點(diǎn)到三角形三條邊三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三條邊的距離為的距離為r r，則三角形的面，則三角形的面積積為為_rcba)(21 手拉手模型手拉手模型常見圖形常見圖形5(背靠背背靠背)例例3：把兩個含有把兩個含有45角的直角三角板如圖角的直角三角板如圖1放置，點(diǎn)放置，點(diǎn)D在在BC上，連結(jié)上，連結(jié)BE，AD，AD的延長線交的延長線交BE于點(diǎn)于點(diǎn)F求證求證：(1)BE=AD；(2) AFBEAFBCED變形_1: 以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作二個等腰直角等腰直角三角三角形形（ABC，ADE），如圖所示，連接BD，CE（1）求證：BD=CE（2）求BFC的度數(shù)如圖,已知中,BE,CF都是的高,P是BE上一點(diǎn)且B

6、P=AC,Q是CF延長線上一點(diǎn)且CQ=AB,連接AP,AQ,QP,求證:以點(diǎn)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)作二二個個等邊三角形等邊三角形（ABC，ADE），連接），連接CD，連接，連接BE.有有哪些結(jié)論？哪些結(jié)論？變形_2: ：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作二個等邊三角等邊三角形形（ABC，ADE），連接CD，連接BE.（1）求證：BD=CE（2）求BFC的度數(shù)已知如圖，已知如圖，ABC與與EDC都是等邊三角都是等邊三角形，且形，且ADE在同一條直線上，若在同一條直線上，若DBE86 則則ADB A EDC B例三：已知在已知在ABC中，中，AB=AC，在，在ADE中，中，AD=AE，且，且1=2，請問，請問BD=CE

7、嗎？嗎？21圖13如圖（如圖（1 1），等邊），等邊ABCABC 中，中，D D是是ABAB邊上的動點(diǎn)，邊上的動點(diǎn)，以以CDCD為一邊，向上作等邊為一邊，向上作等邊DECDEC ，連結(jié)，連結(jié)AEAE。1 1）試說明）試說明AEAEBCBC的理由的理由 3 3）如圖（）如圖（2 2），將（），將（1 1）中點(diǎn)）中點(diǎn)D D運(yùn)動到邊運(yùn)動到邊BABA的延長的延長線上，所作仍為等邊三角形。請問是否仍有線上，所作仍為等邊三角形。請問是否仍有AEAEBCBC？證明你的猜想。？證明你的猜想。 (1) E D C B A (2) E D C B A如圖如圖, ,已知在已知在ABC中中,ABAC,ABAC,BEB

8、E , ,CFCF 都都是是ABC高高, ,P P 是是BEBE 上上一點(diǎn)一點(diǎn)且且BPBP= =ACAC , ,Q Q是是CFCF 延長線上一點(diǎn)且延長線上一點(diǎn)且CQCQ= =ABAB , ,連接連接APAP , ,AQAQ , ,QPQP , ,求證求證: :（1）AP=AQ;（2）APAQ.如圖如圖1313，已知，已知BAC=BAC=DAEDAE，1=1=2 2，BD=CEBD=CE，請說明，請說明ABDABDACEACE嗎嗎？為什么？為什么？如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，直角，直角EPFEPF的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)P P是是BCBC中點(diǎn)，兩邊

9、中點(diǎn)，兩邊PEPE、PFPF分別交分別交ABAB、ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E E、F F，給出以下四個結(jié)論：，給出以下四個結(jié)論：(1)AE=CF(1)AE=CF；(2)(2)EPFEPF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3) (3) ；(4)(4)當(dāng)當(dāng)EPFEPF在在ABCABC內(nèi)繞頂點(diǎn)內(nèi)繞頂點(diǎn)P P旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)時(shí)EF=AP(EF=AP(點(diǎn)點(diǎn)E E不與不與A A、B B重合重合) )。上述結(jié)論中始終正確的有。上述結(jié)論中始終正確的有()()ABCAEPFS21S四邊形截長補(bǔ)短法作輔助線截長補(bǔ)短法作輔助線要證明兩條線段之和等于第三條線段，可要證明兩條線段之和等于第三條線段，可以采取以采取“截長補(bǔ)短截長補(bǔ)

10、短”法。法。 截長法截長法，即，即在較長線段上截取一段等在較長線段上截取一段等于兩較短線段中的一條，再證剩下的一段于兩較短線段中的一條，再證剩下的一段等于另一段較短線段。等于另一段較短線段。 補(bǔ)短補(bǔ)短法法，即把兩短線段補(bǔ)成一條，再即把兩短線段補(bǔ)成一條，再證它與長線段相等。證它與長線段相等。如如圖，在四邊形圖，在四邊形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分別平分分別平分ABC，BCD，且點(diǎn)，且點(diǎn)E在在AD上上.求證：求證：BC=AB+DC.常規(guī)結(jié)論有哪些：常規(guī)結(jié)論有哪些：如如圖，在四邊形圖，在四邊形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分別平分分別平分ABC，BCD，且點(diǎn)，且點(diǎn)E在在AD上上.

11、求證：求證：BC=AB+DC.如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC.在線段在線段BC取點(diǎn)取點(diǎn)F，使得，使得BF=BE，連結(jié)，連結(jié)OF。結(jié)論結(jié)論1：BOE BOF，需要證：需要證：CF=CD你能有哪些結(jié)論？你能有哪些結(jié)論？角平分線，構(gòu)箏形角平分線，構(gòu)箏形線段和差，截長補(bǔ)短線段和差，截長補(bǔ)短如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC.在線段在線段BA或延長線上取點(diǎn)或延長線上取點(diǎn)H，使得，使得BH=BC，連結(jié)連結(jié)OH。結(jié)論：結(jié)論：BOH BOC要證：要證：EH

12、=CD即即證：證：EOH DOC如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC.在線段在線段BA或延長線上取點(diǎn)或延長線上取點(diǎn)H，使得，使得CD=EH，連結(jié)連結(jié)OH。要證要證BOH BOC，已已有條件有條件BO=BO，HBO=CBO.原因：沒有用到角平分線模型原因：沒有用到角平分線模型如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分線BD，CE交交于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC.方法總結(jié)：方法總結(jié)：BE=BFBH=BC統(tǒng)一模型：角平分線統(tǒng)一模型：角平分線軸軸對稱模型對稱模型如如圖，圖，ABC的兩條角平分線的兩條角平分

13、線BD，CE交交于點(diǎn)于點(diǎn)O，A=60.求證：求證：CD+BE=BC.想一想，你還有什么方法？想一想，你還有什么方法？提示：利用角平分線性質(zhì)定理提示：利用角平分線性質(zhì)定理.例例7、已知：如圖所示，、已知：如圖所示，ABCD，PB和和PC分別分別平分平分ABC和和DCB，AD過點(diǎn)過點(diǎn)P，且與，且與AB垂垂直直求證：求證：PA=PDE在在ABC中，中，C=90，AD平分平分BAC，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，且上，且CF=EB ，求證：，求證： （1）BD=DF （2）AB+AF=2AE0ADBACDEABEDFA20ABD.CFBECFDAF如如圖圖：是是的的平平分分線線，于于 ，于于 ，且且已

14、已知知，求求的的度度數(shù)數(shù)ADBCFE變：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于點(diǎn)E，ADC與ABC互補(bǔ). 求證：2AE=AD+AB如如圖，在圖，在四邊形四邊形ABCD中，中，AC平分平分BAD，CEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，2AE=AD+AB.求求ADC+ABC的度數(shù)的度數(shù).如圖如圖,在四邊形在四邊形ABCD中中,AC平分平分BAD,CEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E,且且B+D=180.求證：求證：AE=AD+BE.F如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD的延長線上一點(diǎn)，且DF=BE.(1)求證：CE=CF;(2)若點(diǎn)G在AD上，且GCE=45，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？(變式)如圖

15、，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，且EF=BE+FD.求證：FC平分EFD.在在ABC中，中，AD平分平分BAC,AB+BD=AC,求求B: C已知：如圖，在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任一點(diǎn) 求證：AB-ACPB-PC。 倍長中線倍長中線1 1. .在在ABCABC中中, ,AB=8,AC=6,AB=8,AC=6,則則BCBC上的中線上的中線ADAD的的取值范圍取值范圍. .A AB BC CDE1.有兩邊和第三邊上中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等。.1.已知：如圖，在和中，和是和上的中線，且求證：ABCA B CABA BACA CADA DBCB CADA DAB

16、CA B C 2.已知：如圖AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD的中線.求證：B=CAE 變式：如圖，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：(1)AD平分BAE.(2)AB=2AE3.如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC，E是CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，BEAE.求證：AB=BC+AD.4.已知：如圖，AD為ABC的中線，ADB，ADC的平分線分別交AB于E、交AC于F求證：BE+CFEF5.如圖，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，AEBD交BD的延長線于點(diǎn)E.求證：BD=2AE.F (1)如圖如圖1：在四邊形：在四邊形ABCD中，中，AB

17、=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是分別是BC，CD上的點(diǎn)且上的點(diǎn)且EAF=60探究圖中線段探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系(2)如圖如圖2，若在四邊形，若在四邊形ABCD中，中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是分別是BC，CD上上的點(diǎn)，且的點(diǎn)，且EAF= BAD，上述結(jié)論是否，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；仍然成立，并說明理由；三垂直三垂直P31 EX17P31 EX17（1）如圖甲所示，在）如圖甲所示，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，直線直線m經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A，BD直線直線m，垂足為垂足為D， CE直線直線m，垂垂足為足為E.證明：

18、證明：DE=BD+CE.(2)如圖乙所示，將第（如圖乙所示，將第（1）題中的條件改為）題中的條件改為在在ABC中，中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直三點(diǎn)都在直線線m上，并且有上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中其中為任意銳角為任意銳角.請問結(jié)論請問結(jié)論DE=BD+CE是否是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由說明理由.P31 EX16P31 EX16如圖，過正方形如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B作直線作直線L，過過A，C，D作作L的垂線垂足分別為點(diǎn)的垂線垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G若若AE=2，CF=6，則，則CF+AE+DG的值為的值為 P30 EX12P30 EX12如圖，如圖，在在ABC中，中，C=90，P、E分分別是邊別是邊AB、BC上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，D為為ABC外一外一點(diǎn)點(diǎn)，