與圓有關(guān)的專題綜合講義八

1、與圓有關(guān)的專題綜合講義（八）例1 如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），P和Q的半徑分別為4和1P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動(dòng)，Q從OB的中點(diǎn)C開始在線段CO上以1單位/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)圓心移動(dòng)時(shí)，圓也跟著移動(dòng)設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）如圖2，當(dāng) 時(shí)，設(shè)四邊形APQB的面積為S（1）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖3，當(dāng)P和Q外切時(shí)，求s的值；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，P和Q內(nèi)切，若存在，直接寫出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由例2 已知正方形ABCD的邊長為4，O交正方形ABCD的對(duì)

2、角線AC所在直線于點(diǎn)T，連接TO交O于S（1）如圖1，當(dāng)O經(jīng)過A、D兩點(diǎn)且圓心O在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接DT、DS試判斷線段DT、DS的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； 求AS+AT的值；（2）如圖2，當(dāng)O經(jīng)過A、D兩點(diǎn)且圓心O在正方形ABCD外部時(shí)，連接DT、DS求ASAT的值；（3）如圖3，延長DA到點(diǎn)E，使AE=AD，當(dāng)O經(jīng)過A、E兩點(diǎn)時(shí)，連接ET、ES根據(jù)（1）、（2）計(jì)算，通過觀察、分析，對(duì)線段AS、AT的數(shù)量關(guān)系提出問題并解答 例3 如圖，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，P交x軸于B、C兩點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰RtACD，BD分別交y軸和P于E、F兩點(diǎn)，交連接AC、FC（1）求證：ACF=ADB；

3、（2）若點(diǎn)A到BD的距離為m，BF+CF=n，求線段CD的長；（3）當(dāng)P的大小發(fā)生變化而其他條件不變時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由例4 已知ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓O1，O2，P是AB的中點(diǎn)，（1）如圖1，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分別取點(diǎn)E、F，使AO1E=BO2F，則有結(jié)論： PO1EFO2P， 四邊形PO1CO2是菱形，請(qǐng)給出結(jié)論的證明；（2）如圖2，若（1）中ABC是任意三角形，其他條件不變，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；（3）如圖3，若PC是O1的切線，求證：AB2=BC2+3AC2 例5 如圖，

4、已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，O）、（0，2），P是AOB外接圓上的一點(diǎn)，且AOP=45°，（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）連BP、AP，在PB上任取一點(diǎn)E，連AE，將線段AE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AF，連BF，交AP于點(diǎn)G，當(dāng)E在線段BP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（不與B、P重合），求； 例6 如圖一，在ABC中，分別以AB，AC為直徑在ABC外作半圓O1和半圓O2，其中O1和O2分別為兩個(gè)半圓的圓心F是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)（1）連接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，證明：DO1FFO2E；（2）如圖二，過點(diǎn)A分別作半圓O1和半圓O2的切線，交BD的延

5、長線和CE的延長線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連接PQ，若ACB=90°，DB=5，CE=3，求線段PQ的長；（3）如圖三，過點(diǎn)A作半圓O2的切線，交CE的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點(diǎn)P，連接PA證明：PA是半圓O1的切線 例7 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m0），以點(diǎn)P為圓心，m為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方）點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)（如圖）（1）寫出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）連接DB、BE，設(shè)BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q異于點(diǎn)D）

6、，連接EQ、BQ，試問線段BQ與線段EQ的長是否相等？為什么？（3）連接BC，求DBCDBE的度數(shù)例8 已知O中，弦AB=AC，點(diǎn)P是BAC所對(duì)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PA、PC（1）如圖，把ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ，求證：點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上（2）如圖，若BAC=60°，試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系（3）若BAC=120°時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)?zhí)骄克鼈冇钟泻螖?shù)量關(guān)系 例9 已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D是直線y=x上一點(diǎn)，過O、D兩點(diǎn)的圓O1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B（1）當(dāng)A（12，0），B（0，5）時(shí)，求O1的坐標(biāo)；

7、（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)A作O1的切線與BD的延長線相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)I為ABO的內(nèi)心，IEAB于E，當(dāng)過O、D兩點(diǎn)的O1的大小發(fā)生變化時(shí)，其結(jié)論：AEBE的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)求出變化范圍 例10 幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB交l于點(diǎn)P，則PA+PB=AB的值最?。ú槐刈C明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)連接BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱連接ED交A

8、C于P，則PB+PE的最小值是_；（2）如圖2，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，AB、CD是半徑為5的O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，ABMN于點(diǎn)E，CDMN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，求PA+PC的最小值與圓有關(guān)的專題綜合講義（八）參考答案與試題解析1如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），P和Q的半徑分別為4和1P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動(dòng)，Q從OB的中點(diǎn)C開始在線段CO上以1單位/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，另一點(diǎn)也隨即

9、停止運(yùn)動(dòng)圓心移動(dòng)時(shí)，圓也跟著移動(dòng)設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)四邊形APQB的面積為s（1）求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖3，當(dāng)P和Q外切時(shí)，求s的值；（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，P和Q內(nèi)切，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；相切兩圓的性質(zhì)1125860分析：（1）由于S四邊形APQB=SOABSOPQ=OAOBOPOQ，故用含t的代數(shù)式分別表示OP、OQ而求解；（2）由勾股定理建立關(guān)于t的方程，求得t后，再求S；（3）構(gòu)造一個(gè)直角三角形，結(jié)合兩圓內(nèi)切的圓心距等于兩圓半徑之差和勾股定理，進(jìn)行計(jì)算解

10、答：解：（1）依題意，得AP=3t，CQ=t點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），OB的中點(diǎn)C，OP=OAAP=103t，OQ=OCCQ=OBCQ=×10t=5t，S四邊形APQB=SOABSOPQ=OAOBOPOQ=×10×10（103t）（5t），S四邊形APQB=（2）當(dāng)P和Q外切時(shí)，PQ=4+1=5在RtOPQ中，OP2+OQ2=PQ2，（103t）2+（5t）2=25，t=2或t=5（舍去），當(dāng)t=2時(shí)，s=44， 當(dāng)P和Q外切時(shí)，s=44（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，存在某一時(shí)刻，P和Q內(nèi)切當(dāng)P和Q內(nèi)切時(shí)，PQ=41=3在RtOPQ中，OP2+O

11、Q2=PQ2，（103t）2+（5t）2=9，解得t=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想、勾股定理、兩圓的位置關(guān)系、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)求解，對(duì)各知識(shí)點(diǎn)要靈活應(yīng)用2（2012邗江區(qū)一模）已知：正方形ABCD的邊長為4，O交正方形ABCD的對(duì)角線AC所在直線于點(diǎn)T，連接TO交O于點(diǎn)S（1）如圖1，當(dāng)O經(jīng)過A、D兩點(diǎn)且圓心O在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接DT、DS試判斷線段DT、DS的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； 求AS+AT的值；（2）如圖2，當(dāng)O經(jīng)過A、D兩點(diǎn)且圓心O在正方形ABCD外部時(shí)，連接DT、DS求ASAT的值；（3）如圖3，延長DA到點(diǎn)E，使AE=AD，當(dāng)

12、O經(jīng)過A、E兩點(diǎn)時(shí)，連接ET、ES根據(jù)（1）、（2）計(jì)算，通過觀察、分析，對(duì)線段AS、AT的數(shù)量關(guān)系提出問題并解答考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)1125860分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得TAD=45°，再根據(jù)圓周角定理和推論得SDT=90°，TSD=TAD，易得DST為等腰直角三角形，則DT=DS，DTDS；由SDT=ADC=90°得SDA=CDT，易證得DASDCT，得AS=TC，所以ASAT=TCAT=AC=；（2）同樣可證得DST為等腰直角三角形，得到DS=DT，而SAD=DCT=45°，ASD=DTC，則

13、DASDCT，AS=TC，得ASAT=TCAT=AC=4；（3）提出的問題是：求 ATAS 的值在TA上截取TF=AS，連接EF，易證得EST為等腰直角三角形，得到SE=TE，易證EASEFT，得到SEA=TEF，AE=EF，得到AEF為等腰直角三角形，則AF=AE，而AE=AD=4，于是有ATAS=ATTF=AF=解答：解：（1）線段DT、DS的數(shù)量和位置關(guān)系分別是：DT=DS，DTDS理由如下：AC為正方形ABCD的對(duì)角線，TAD=45°，TS為直徑，SDT=90°，又TSD=TAD，TSD=45°，DST為等腰直角三角形，DT=DS，DTDS；SDT=ADC

14、=90°，SDA=CDT，又TS為直徑，SAT=90°，SAD=45°，SAD=DCT，而DA=DC，DASDCT，AS=TC，AS+AT=AC，而正方形ABCD的邊長為4，AC=4，AS+AT=；（2）TS為直徑，SAT=90°，SDT=90°，SAC=90°，而CAD=45°，SAD=45°，STD=45°，DST為等腰直角三角形，DS=DT，又SAD=DCT=45°，ASD=DTC，DASDCT，AS=TC，ASAT=TCAT=AC=；（3）提出的問題是：求 ATAS 的值解答如下：在TA

15、上截取TF=AS，連接EF，如圖，TAE=BAC=45°，EST為等腰直角三角形，SE=TE，又ASE=ETF，EASEFT，SEA=TEF，AE=EF，而TES=90°，AEF=90°，AEF為等腰直角三角形，AF=AE，AE=AD=4，ATAS=ATTF=AF=點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理以及推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角為直角也考查了正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)3如圖，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，P交x軸于B、C兩點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰RtACD，BD分別交y軸和P于E、F兩點(diǎn)，交連接AC、FC（1）求證：ACF=AD

16、B；（2）若點(diǎn)A到BD的距離為m，BF+CF=n，求線段CD的長；（3）當(dāng)P的大小發(fā)生變化而其他條件不變時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形1125860分析：（1）連接AB，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=AD，推出ADB=ABD，根據(jù)ABD=ACM求出即可；（2）過點(diǎn)A作AMCF交CF的延長線于M，過點(diǎn)A作ANBF于N，連接AF，根據(jù)AAS證RtABNRtACM，推出BN=CM，AN=AM，證RtAFNRtAFM（HL），推出NF=MF，求出BN

17、長，根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形性質(zhì)求出CD的平方，即可求出答案；（3）過點(diǎn)D作DHAO于N，過點(diǎn)D作DQBC于Q，根據(jù)AAS證RtDHARtAOC，推出DH=AO，AH=OC，推出DQ=BQ，得出DBQ=45°，推出HDE=45°，得出等腰直角三角形DHE即可解答：（1）證明：連接AB，OPBC，BO=CO，AB=AC，又AC=AD，AB=AD，ABD=ADB，又ABD=ACF，ACF=ADB （2）解：過點(diǎn)A作AMCF交CF的延長線于M，過點(diǎn)A作ANBF于N，連接AF，則AN=m，ANB=AMC=90°，在ABN和ACM中，RtABNRtACM（AAS）BN=

18、CM，AN=AM，又ANF=AMF=90°，在RtAFN和RtAFM中，RtAFNRtAFM（HL），NF=MF，BF+CF=BN+NF+CMMF，=BN+CM=2BN=n，BN=，在RtABN中，AB2=BN2+AN2=m2+=m2+，在RtACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，CD= （3）解：的值不發(fā)生變化，過點(diǎn)D作DHAO于N，過點(diǎn)D作DQBC于Q， DAH+OAC=90°，DAH+ADH=90°，OAC=ADH，在DHA和AOC中，RtDHARtAOC（AAS），DH=AO，AH=OC，又BO=OC，HO=AH+AO=OB+DH，而DH=

19、OQ，HO=DQ，DQ=OB+OQ=BQ，DBQ=45°，又DHBC，HDE=45°，DHE為等腰直角三角形，=，=點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解（1）小題關(guān)鍵是求出ABD=ADB，解（2）小題的關(guān)鍵是求出BN的長，解（3）小題的關(guān)鍵是證出等腰直角三角形DEH，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，但題型較好4（2011常德）已知ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓O1，O2，P是AB的中點(diǎn)，（1）如圖1，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分別取點(diǎn)E、F，使AO1E=

20、BO2F，則有結(jié)論P(yáng)O1EFO2P，四邊形PO1CO2是菱形，請(qǐng)給出結(jié)論的證明；（2）如圖2，若（1）中ABC是任意三角形，其他條件不變，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；（3）如圖3，若PC是O1的切線，求證：AB2=BC2+3AC2考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定；勾股定理；三角形中位線定理1125860專題：壓軸題分析：（1）可證明APO1與BPO2全等，則AO1P=BO2P，再根據(jù)已知可得出EO1=FO2，PO1=PO2，則PO1EFO2P，可先證明四邊形PO1CO2是平行四邊形，再證明CO1=CO2，即可得出四邊形PO1CO2是菱形；（2）由已知得出成立，而只是平行

21、四邊形；（3）直角三角形APC中，設(shè)AP=c，AC=a，PC=b，則c2=a2+b2；AB2=4c2=4（a2+b2），過點(diǎn)B作AC的垂線，交AC的延長線于D點(diǎn)則CD=a，BD=2bBC2=a2+4b2，由此得證解答：解：（1）P、O1、O2分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，AP=BP，AO1=BO2，PO1BC，PO2AC，四邊形PO1CO2是平行四邊形，AC=BC，PO1=PO2，四邊形PO1CO2是菱形；（2）P為AB中點(diǎn)，AP=BP，又O1為AC中點(diǎn)，O1P為ABC的中位線，O1P=O2B=BC，同理可得O2P=AO1=AC，AO1PBO2P（SSS），AO1P=BO2P，又AO1E=BO

22、2F，AO1P+AO1E=BO2P+BO2F，即PO1E=FO2P，又O1A=O1E=O2P，且PO1=BO2=FO2，PO1EFO2P；但四邊形PO1CO2不是菱形；（3）RtAPC中，設(shè)AP=c，AC=a，PC=b，c2=a2+b2；AB2=4c2=4（a2+b2），過點(diǎn)B作AC的垂線，交AC的延長線于D點(diǎn)CD=a，BD=2b，BC2=a2+4b2，BC2+3AC2=a2+4b2+3a2=4（a2+b2），AB2=BC2+3AC2點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓與全等的有關(guān)知識(shí)；利用中位線定理及構(gòu)造三角形全等，利用全等的性質(zhì)解決相關(guān)問題是解決本題的關(guān)鍵5（2012南開區(qū)一模）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐

23、標(biāo)分別為（2，O）、（0，2），P是AOB外接圓上的一點(diǎn)，且AOP=45°，（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）連BP、AP，在PB上任取一點(diǎn)E，連AE，將線段AE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AF，連BF，交AP于點(diǎn)G，當(dāng)E在線段BP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（不與B、P重合），求；考點(diǎn)：解直角三角形；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理1125860專題：計(jì)算題；綜合題分析：（1）連接BP、AP，過P作x軸的垂線，設(shè)垂足為Q；由圓周角定理知AB是O的直徑，而AOP=45°，得出OP平分AOB，則弧BP=弧AP，由此可證得ABP是等腰Rt；易求得直徑AB的長，即可求出AP的值；在

24、RtAPQ中，易知PQ=OQ，可用OQ表示出BQ，由勾股定理即可求得OQ、PQ的長，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)（2）先過F作FKAP，再證明AFKEAP和GFKCBP，最后解出結(jié)果即可解答：解：（1）連接AP、BP，過P作PQx軸于Q；AOB=90°，AB是O的直徑，則APB=90°；RtAOB中，OB=2，OA=2，由勾股定理，得AB=4；AOP=45°，OP平分AOB，弧BP=弧AP；則ABP是等腰Rt，AP=2；RtPOQ中，POQ=45°，則PQ=OQ；設(shè)PQ=OQ=x，則AQ=2x；RtAPQ中，由勾股定理得：AP2=AQ2+PQ2，即（2x）2+x2

25、=8，解得x=+1，x=1（舍去），POA=45°，PQO=90°，PQ=OQ=x=+1；即P點(diǎn)坐標(biāo)為（+l，+1）；（2）過F作FKAP，則AFKEAP，AK=PE，F(xiàn)K=AP=BP，APAK=BPPE，PK=BE，在GFK和GBP中，GFKGBP，PG=GK，PG=PK=BE，=2；點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力；能夠構(gòu)建出與已知和所求相關(guān)的直角三角形是解答此題的關(guān)鍵6如圖一，在ABC中，分別以AB，AC為直徑在ABC外作半圓O1和半圓O2，其中O1和O2分別為兩個(gè)半圓的圓心F是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)

26、半圓圓弧的中點(diǎn)（1）連接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，證明：DO1FFO2E；（2）如圖二，過點(diǎn)A分別作半圓O1和半圓O2的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連接PQ，若ACB=90°，DB=5，CE=3，求線段PQ的長；（3）如圖三，過點(diǎn)A作半圓O2的切線，交CE的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點(diǎn)P，連接PA證明：PA是半圓O1的切線考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理1125860專題：綜合題分析：（1）利用中位線定理可得BO1F=CO2F，進(jìn)而可得DO1F=FO2E，易得O1F=AO2=O2E，O2F=AO

27、1=O1D，可得：DO1FFO2E；（2）易得ACE和ACQ，ABD，APD均為等腰直角三角形，那么可得AB，AC的長，利用勾股定理可得BC的長，利用頂點(diǎn)A及AB邊構(gòu)造和PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的長即為PQ的長；（3）需證6+8=90°，那么證明5+7=90°即可；利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)可得DBRDAM，進(jìn)而可得5=9，即可求證解答：（1）證明：如圖一，O1，O2，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)，O1FAC且O1F=AO2，O2FAB且O2F=AO1，BO1F=BAC，CO2F=BAC，BO1F=CO2F點(diǎn)D和點(diǎn)E分別為兩個(gè)半圓圓弧的中點(diǎn)，O1F=AO2

28、=O2E，O2F=AO1=O1D，BO1D=90°，CO2E=90°，BO1D=CO2EDO1F=FO2EDO1FFO2E；（2）解：如圖二，延長CA至G，使AG=AQ，連接BG、AE點(diǎn)E是半圓O2圓弧的中點(diǎn)，AE=CE=3AC為直徑AEC=90°，ACE=EAC=45°，AC=，AQ是半圓O2的切線，CAAQ，CAQ=90°，ACE=AQE=45°，GAQ=90°，AQ=AC=AG=，同理：BAP=90°，AB=AP=，CG=，GAB=QAP，AQPAGBPQ=BG，ACB=90°，BC=，BG=，PQ

29、=；（3）如圖三，設(shè)直線FA與PQ的垂足為M，過C作CSMF于S，過B作BRMF于R，連接DR、AD、DMF是BC邊的中點(diǎn)，SABF=SACFBR=CS，由（2）已證CAQ=90°，AC=AQ，2+3=90°FMPQ，2+1=90°，1=3，同理：2=4，AMQCSA，AM=CS，AM=BR，同（2）可證AD=BD，ADB=ADP=90°，ADB=ARB=90°，ADP=AMP=90°A、D、B、R四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點(diǎn)在以AP為直徑的圓上，且DBR+DAR=180°，5=8，6=7，DAM+DAR=1

30、80°，DBR=DAMDBRDAM，5=9，RDM=90°，5+7=90°，6+8=90°，PAB=90°，PAAB，又AB是半圓O1直徑，PA是半圓O1的切線點(diǎn)評(píng)：綜合考查了圓與全等的有關(guān)知識(shí)；利用中位線定理及構(gòu)造三角形全等，利用全等的性質(zhì)解決相關(guān)問題是解決本題的關(guān)鍵7（2012常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m0），以點(diǎn)P為圓心，m為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方）點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)（如圖）（1）寫出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)（用含

31、m的代數(shù)式表示）；（2）連接DB、BE，設(shè)BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q異于點(diǎn)D），連接EQ、BQ，試問線段BQ與線段EQ的長是否相等？為什么？（3）連接BC，求DBCDBE的度數(shù)考點(diǎn)：圓的綜合題1125860分析：（1）如圖所示，過點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M，構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理與勾股定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；同理可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DRPE于點(diǎn)R，則EDR為等腰直角三角形，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）如圖所示，首先推出BDE為直角三角形，由圓周角定理可知，BE為BDE外接圓的直徑，因此BQE=90°；然后證明RtEQKRtQBO，通過計(jì)算線段之間的比例關(guān)系，可以得到這兩個(gè)三角形

32、全等，所以BQ=EQ；（3）如圖所示，本問要點(diǎn)是證明RtBDERtBOC，得到OBC=DBE，進(jìn)而計(jì)算可得DBCDBE=45°解答：解：（1）如圖，連接PB，過點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M由題意可知，OM=PM=m，PB=m在RtPBM中，由勾股定理得：BM=2m，OB=OM+BM=m+2m=3m， B（3m，0）；連接PD，過點(diǎn)P作PNy軸于點(diǎn)N，同理可求得DN=2m，OD=3m過點(diǎn)D作DRPE于點(diǎn)R，平行四邊形DOPE，ODE+DOP=180°；由題意可知，DOP=45°，ODE=135°，EDR=45°，即EDR為等腰直角三角形，ER=DR=OM

33、=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，E（m，4m）（2）相等理由如下：依題意畫出圖形，如圖所示由（1）知，ODE=BDO+BDE=135°，又OB=OD=3m，即OBD為等腰直角三角形，BDO=45°，BDE=90°，即BDE為直角三角形由圓周角定理可知，BE為BDE外接圓的直徑，BQE=90°過點(diǎn)E作EKy軸于點(diǎn)K，則有EK=m，OK=4mBQE=90°，EQK+BQO=90°，又BQO+QBO=90°，EQK=QBORtEQKRtQBO，即，解得OQ=m或OQ=3m，點(diǎn)Q與點(diǎn)D不重合，OQ=m，OQ=EK

34、，即相似比為1，此時(shí)兩個(gè)三角形全等，BQ=EQ（3）如圖所示，連接BC由（1）可知，如圖，CD=2DN=4m，OC=CDOD=m由（2）可知，BDE為直角三角形，EDK與BDO均為等腰直角三角形，DE=EK=m，BD=OB=3m在RtBDE與RtBOC中，OC=m，OB=3m，DE=m，BD=3m，RtBDERtBOC，OBC=DBE，DBCDBE=（OBD+OBC）DBE=OBD=45°點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平面幾何圖形的若干重要性質(zhì)，包括圓的垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形、平行四邊形等，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度另外需要注意解題方法多樣，例如

35、：第（1）問中求點(diǎn)E坐標(biāo)也可采用代數(shù)方法解決，點(diǎn)E是直線DE（y=x+3m）與直線PE（x=m）的交點(diǎn)；第（3）問中也可以由三角函數(shù)tanOBC=tanDBE直接得到OBC=DBE8已知O中，弦AB=AC，點(diǎn)P是BAC所對(duì)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PA、PC（1）如圖，把ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ACQ，求證：點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上（2）如圖，若BAC=60°，試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系（3）若BAC=120°時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)?zhí)骄克鼈冇钟泻螖?shù)量關(guān)系考點(diǎn)：圓的綜合題1125860分析：（1）如圖，連接PC根據(jù)“內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性

36、質(zhì)”證得ACP+ACQ=180°，即點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)共線；（2）如圖，通過作輔助線BC、PE、CE（連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE）構(gòu)建等邊PCE和全等三角形BECAPC；然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和線段間的和差關(guān)系可以求得PA=PB+PC；（3）如圖，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點(diǎn)A作AGPC于點(diǎn)G利用全等三角形ABPAQP（SAS）的對(duì)應(yīng)邊相等推知AB=AQ，PB=PG，將PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到APC中來求即可解答：（1）證明：如圖，連接PCACQ是由ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，ABP=ACQ由圖知，點(diǎn)A、B、P、C四點(diǎn)共圓，ACP+AB

37、P=180°（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），ACP+ACQ=180°（等量代換），點(diǎn)P在線段QC的延長線上，即點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上；（2）解：PA=PB+PC理由如下：如圖，連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE弦AB=弦AC，BAC=60°，ABC是等邊三角形（有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形）A、B、P、C四點(diǎn)共圓，BAC+BPC=180°（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），BPC+EPC=180°，BAC=CPE=60°，PE=PC，PCE是等邊三角形，CE=PC，E=ECP=EPC=60°；又B

38、CE=60°+BCP，ACP=60°+BCP，BCE=ACP（等量代換）在BEC和APC中，BECAPC（SAS），BE=PA，PA=BE=PB+PC；（3）若BAC=120°時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立PA=PB+PC理由如下：如圖，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點(diǎn)A作AGPC于點(diǎn)GBAC=120°，BAC+BPC=180°，BPC=60°弦AB=弦AC，APB=APQ=30°在ABP和AQP中，ABPAQP（SAS），AB=AQ，PB=PQ（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），AQ=AC（等量代換）在等腰AQC中，QG=CG在

39、RtAPG中，APG=30°，則AP=2AG，PG=AGPB+PC=PGQG+PG+CG=PGQG+PG+QG=2PG=2AG，PA=2AG，即PA=PB+PC點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：注意圓心角、弧、弦間的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用9已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D是直線y=x上一點(diǎn)，過O、D兩點(diǎn)的圓O1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B（1）當(dāng)A（12，0），B（0，5）時(shí)，求O1的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)A作O1的切線與BD的延長線相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)I為ABO的內(nèi)心，IEAB于E，當(dāng)過O、D兩點(diǎn)的O1的大

40、小發(fā)生變化時(shí)，其結(jié)論：AEBE的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)求出變化范圍 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定；勾股定理；垂徑定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心1125860分析：（1）連接AB，過點(diǎn)O1作O1HOA于點(diǎn)H，由AOB=90°，可知：AB過圓心O1，已知點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，O1A=O1B，則O1H=OB，OH=OA，從而可將點(diǎn)O1的坐標(biāo)求出；（2）證ACHBAO，得CH=OA，OH=AOOB，從而可將點(diǎn)C的坐標(biāo)求出；（3）作輔助線，作DNX軸于N，DMY軸于M，可知：四邊形DMON為正方形，通過證明ADNBDM，得AN=BM，故AEBEAGBF=（OAOG）（OBOF）=OAOB=（AN+OG）（ANMO）=OG+OM=7為定值解答：解：（1）連接AB，過點(diǎn)O1作O1KOA于點(diǎn)K，AOB=90°，AB經(jīng)過圓心O1，A（12，0），B（0，5），O1KO1A，O1A=O1B，O1K=O1B=2.5，O1K=O1A=×12=6，O1（6，2.5）；（2）過點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)H，連接A