三角形及其性質(zhì)

1、 第十一講三角形及其性質(zhì)解讀考點知識點名師點晴三角形的重要線段中線、角平分線、高線理解三角形有關(guān)的中線、角平分線、高線，并會作三角形的中線、角平分線、高線三角形的中位線理解并掌握三角形的中位線的性質(zhì)三角形的三邊關(guān)系兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊理解三角形的三邊關(guān)系，并能確定三角形第三邊的取值范圍三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°掌握三角形的內(nèi)角和定理，并會證明三角形的內(nèi)角和定理三角形的外角三角形的外角的性質(zhì)能利用三角形的外角進(jìn)行角的有關(guān)計算與證明考點歸納歸納 1：三角形的有關(guān)線段基礎(chǔ)知識歸納：中線：連接一個頂點與它對邊中點的線段，三角形的三條中線的交點叫做三角形的重

2、心高線：從三角形一個頂點到它對邊所在直線的垂線段角平分線：一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，頂點與交點之間的線段中位線：連接三角形兩邊中點的線段 基本方法歸納：三角形的中位線平行線于第三邊，且等于第三邊的一半注意問題歸納：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分【例1】如圖，EF是ABC的中位線，BD平分ABC交EF于點D，若AB4，BC6，則DF_ 【答案】1考點：1三角形中位線定理；2等腰三角形的判定與性質(zhì)歸納 2：三角形的三邊關(guān)系基礎(chǔ)知識歸納：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊基本方法歸納：三角形的三邊關(guān)系是判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的依據(jù)，并且還可以利用三邊關(guān)系列出不等式求

3、某些量的取值范圍注意問題歸納：三角形的三邊關(guān)系是中考的熱點問題之一，是解決三角形的邊的有關(guān)問題的重要依據(jù)歸納 3：內(nèi)角和定理基礎(chǔ)知識歸納：三角形三個內(nèi)角的和等于180°基本方法歸納：在同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角注意問題歸納：三角形的內(nèi)角和定理是求三角形一個角的度數(shù)或證明角相等的重要工具歸納 4：三角形的外角基礎(chǔ)知識歸納：（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和（2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角基本方法歸納：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和注意問題歸納：三角形的外角是解決角的計算與角的大小比較的重要工具1年中考【2015年題組】1（2015宿遷

4、）若等腰三角形中有兩邊長分別為2和5，則這個三角形的周長為（）A9 B12 C 7或9 D9或12考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2三角形三邊關(guān)系；3分類討論2（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程的根，則該三角形的周長可以是（）A5 B7 C5或7 D10考點：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三邊關(guān)系；3等腰三角形的性質(zhì)；4分類討論3（2015綿陽）如圖，在ABC中，B、C的平分線BE，CD相交于點F，ABC=42°，A=60°，則BFC=（）A118° B119° C120° D121°考點：三角形內(nèi)角和定理

5、4（2015廣州）已知2是關(guān)于x的方程的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，則三角形ABC的周長為（）A10 B14 C10或14 D8或10考點：1解一元二次方程-因式分解法；2一元二次方程的解；3三角形三邊關(guān)系；4等腰三角形的性質(zhì)；5分類討論5（2015鄂爾多斯）如圖，AB是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上的兩個格點，在格點中任意放置點C，恰好能使ABC的面積為1的概率是（）A B C D考點：1概率公式；2三角形的面積6（2015淄博）如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為AB、AD的中點，則AEF與多邊形BCDFE的

6、面積之比為（）A B C D考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2三角形的面積；3三角形中位線定理；4綜合題7（2015佛山）各邊長度都是整數(shù)、最大邊長為8的三角形共有 個考點：三角形三邊關(guān)系8（2015長春）如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上若ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長為 考點：1正方形的性質(zhì)；2三角形的面積；3勾股定理9（2015昆明）如圖，ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則ABH與GEF重疊（陰影）部分的面積為 考點：1等邊三角形的判定與性質(zhì)；2三角形的重心；3三角形中位線定理；4綜合題；5壓軸題 等腰

7、三角形與直角三角形解讀考點知識點名師點晴等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)理解等腰三角形的性質(zhì)，并能解決等腰三角形的有關(guān)計算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，會證明一個三角形是等腰三角形等邊三角形等邊三角形的性質(zhì)理解等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定掌握等邊三角形的判定方法，會證明一個三角形是等邊三角形直角三角形直角三角形的性質(zhì)理解直角三角形的有關(guān)性質(zhì)直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，會證明一個三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理考點歸納歸納 1：等腰三角形基礎(chǔ)知識歸納：1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等

8、角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等?；痉椒w納：等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為A，底角為

9、B、C，則A=180°2B，B=C=注意問題歸納：等腰三角形的性質(zhì)與判定經(jīng)常用來計算三角形的角的有關(guān)問題，并證明角相等的問題。歸納 2：等邊三角形基礎(chǔ)知識歸納：1.定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形.2.性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°3.判定三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.基本方法歸納：線段垂直平分線上的一點到這條線段的兩端距離相等；到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.注意問題歸納：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形?！纠?

10、】如圖，直線ab，ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC（如圖）；繼續(xù)以上的平移得到圖，再繼續(xù)以上的平移得到圖，；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是 考點：1等邊三角形的判定與性質(zhì)；2平移的性質(zhì)歸納 3：直角三角形基礎(chǔ)知識歸納：有一個角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余.（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.基本方法歸納：（1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一邊上的中線等于這條

11、邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.注意問題歸納：注意區(qū)分直角三角形的性質(zhì)與直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，它的逆命題不能直接使用。【例2】如圖，在RtABC中，ACB=90°，點D是AB的中點，且CD=，如果RtABC的面積為1，則它的周長為（）A B C D考點：1勾股定理；2直角三角形斜邊上的中線歸納 4：勾股定理基礎(chǔ)知識歸納：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2;基本方法歸納：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.注意問題歸

12、納：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一種常用的方法，通常與直角三角形的性質(zhì)結(jié)合起來考查。1年中考【2015年題組】1（2015內(nèi)江）如圖，在ABC中， AB=AC，BD平分ABC交AC于點D，AEBD交CB的延長線于點E若E=35°，則BAC的度數(shù)為（）A40° B45° C60° D70°考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2平行線的性質(zhì)2（2015荊門）已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為（）A8或10 B8 C10 D6或12【答案】C考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2三角形三邊關(guān)系；3分類討論3（2015丹東）如圖，在ABC

13、中，AB=AC，A=30°，E為BC延長線上一點，ABC與ACE的平分線相交于點D，則D的度數(shù)為（）A15° B17.5° C20° D22.5°考點：等腰三角形的性質(zhì)4（2015樂山）如圖，已知ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（）A B C D考點：1銳角三角函數(shù)的定義；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4網(wǎng)格型5（2015資陽）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路

14、徑是（）A13cmBcmCcmDcm考點：1平面展開-最短路徑問題；2最值問題6（2015德陽）如圖，在RtABC中，ACB=90°，CD為AB邊上的高，若點A關(guān)于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點，則B的度數(shù)是（） A60° B45° C30° D75°考點：1直角三角形斜邊上的中線；2軸對稱的性質(zhì)7（2015眉山）如圖，在RtABC中，B=900，A=300，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD若BD=l，則AC的長是（ ）A B2 C D4考點：1含30度角的直角三角形；2線段垂直平分線的性質(zhì)；3勾股定理8（2015荊

15、門）如圖，在ABC中，BAC=Rt，AB=AC，點D為邊AC的中點，DEBC于點E，連接BD，則tanDBC的值為（）A B C D考點：1解直角三角形；2等腰直角三角形9（2015天水）如圖，在四邊形ABCD中，BAD=ADC=90°，AB=AD=，CD=，點P在四邊形ABCD的邊上若點P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（）A2 B3 C4 D5 考點：1等腰直角三角形；2點到直線的距離10（2015龍東）ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P是BC邊上的動點，過點P作PDAB于點D，PEAC于點E，則PD+PE的長是（）A4.8 B4.8或3.8 C3.8 D5考點：1勾股定理；

16、2等腰三角形的性質(zhì)；3動點型11（2015安順）如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若BC=3，則折痕CE的長為（）A B C D6考點：1翻折變換（折疊問題）；2勾股定理12（2015濱州）如圖，在直角O的內(nèi)部有一滑動桿AB，當(dāng)端點A沿直線AO向下滑動時，端點B會隨之自動地沿直線OB向左滑動，如果滑動桿從圖中AB處滑動到AB處，那么滑動桿的中點C所經(jīng)過的路徑是（）A直線的一部分 B圓的一部分 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分考點：1軌跡；2直角三角形斜邊上的中線13（2015煙臺）如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作

17、等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為（）A B C D考點：1等腰直角三角形；2正方形的性質(zhì)；3規(guī)律型；4綜合題14（2015煙臺）等腰三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或10考點：1根的判別式；2一元二次方程的解；3等腰直角三角形；4分類討論15（2015崇左）下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第4個圖形中所有正三角形的個數(shù)有（ ）A160 B161 C162 D163考點：1規(guī)律型；2綜合題16（2015南通）如圖，ABC中，D

18、是BC上一點，AC=AD=DB，BAC=102°，則ADC= 度考點：等腰三角形的性質(zhì)17（2015蘇州）如圖，在ABC中，CD是高，CE是中線，CE=CB，點A、D關(guān)于點F對稱，過點F作FGCD，交AC邊于點G，連接GE若AC=18，BC=12，則CEG的周長為 考點：1三角形中位線定理；2等腰三角形的性質(zhì)；3軸對稱的性質(zhì)18（2015西寧）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是 考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2分類討論19（2015南寧）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊ADE，則BED的度數(shù)是 考點：1正方形的性質(zhì)；2等邊三角形的性質(zhì)20（2015攀枝花）如圖，在邊長為2的等邊ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為 考點：1軸對稱-最短路線問題；2等邊三角形的性質(zhì)；3最值問題；4綜合題21（2015淄博）如圖，等腰直角三角形BDC的頂點D在等邊三角形ABC的內(nèi)部，BDC=90°，連接AD，過點D作一條直線將ABD分割成兩個等腰三角形，則分割出的這兩個等腰三角形