《二次根式》知識(shí)點(diǎn)總結(jié),題型分類,復(fù)習(xí)專用

1、二次根式題型分類知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】 二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數(shù)，只有當(dāng)是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義【典型例題】 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號）舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的個(gè)數(shù)有_個(gè)【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是 舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（ ） A、x>3 B、x3 C、 x>4 D 、x3且x42、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是 3、如果代數(shù)式有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象

2、限D(zhuǎn)、第四象限【例3】若y=+2009，則x+y= 舉一反三：1、若，則xy的值為（ ） A1 B1 C2 D32、若x、y都是實(shí)數(shù)，且y=，求xy的值3、當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。已知a是整數(shù)部分，b是 的小數(shù)部分，求的值。若7-的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則 。若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的值.知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】 1. 非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù) 注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到 2. 注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正數(shù)（2）能開得

3、盡方的因式移到根號外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替 （3）可移到根號內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號留在根號外 4. 公式與的區(qū)別與聯(lián)系 （1）表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù) （2）表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù) （3）和的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的【典型例題】 【例4】若則 舉一反三：1、若，則的值為 。2、已知為實(shí)數(shù)，且，則的值為（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形兩邊x、y的長滿足x240，則第三邊長為.4、若與互為相反數(shù)，則。 （公式的運(yùn)用）【例5】 化簡：的結(jié)果為（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4舉一反三：1、 在實(shí)數(shù)范圍

4、內(nèi)分解因式: = ；= （公式的應(yīng)用）【例6】已知,則化簡的結(jié)果是A、 B、C、D、 舉一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a<0，那么2a可化簡為（ ） Aa Ba C3a D3a3、若，則等于（ ）A. B. C. D. 4、若a30，則化簡的結(jié)果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a5、化簡得（ ）（A）2（B）（C）2（D）6、當(dāng)al且a0時(shí)，化簡 7、已知，化簡求值：【例7】如果表示a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡ab+ 的結(jié)果等于（ ）0 A2b B2b C2a D2a舉一反三：實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示

5、：化簡：【例8】化簡的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實(shí)數(shù) （B）x4 （C） x1 （D）x1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范圍是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 舉一反三：1、如果成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）2、若，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【例10】化簡二次根式的結(jié)果是（ ）（A） (B) (C) (D)1、把二次根式化簡，正確的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 2、把根號外的因式移到根號內(nèi)：當(dāng)0時(shí)， ； 。知識(shí)點(diǎn)三：最簡二次根式和同類二次根式【知識(shí)要

6、點(diǎn)】1、最簡二次根式：（1）最簡二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號2、同類二次根式（可合并根式）： 幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式?！镜湫屠}】 【例11】在根式1) ，最簡二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件。舉一反三：1、中的最簡二次根式是 。2、下列根式中，不是最簡二次根式的是（ ）A B C D3、下列根式不是最簡二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是

7、？為什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)5、把下列各式化為最簡二次根式： (1) (2) (3)【例12】下列根式中能與是合并的是( )A. B. C.2 D. 舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、在二次根式：； ； ；中，能與合并的二次根式是 。3、如果最簡二次根式與能夠合并為一個(gè)二次根式, 則a=_.知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算分母有理化【知識(shí)要點(diǎn)】 1分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：

8、單項(xiàng)二次根式：利用來確定，如：，與等分別互為有理化因式。兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來確定。如與，分別互為有理化因式。3分母有理化的方法與步驟： 先將分子、分母化成最簡二次根式； 將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式?！镜湫屠}】 【例13】 把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例14】把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例15】把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）舉一反三：1、已知，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）小結(jié)：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：

9、 與；              與；與；       與知識(shí)點(diǎn)五：二次根式計(jì)算二次根式的乘除【知識(shí)要點(diǎn)】 1積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。 =·（a0，b0）2二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。 ·（a0，b0） 3商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根=（a0，b

10、>0）4二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。=（a0，b>0）注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡二次根式【典型例題】 【例16】化簡(1) (2) (3) (4)() (5) ×【例17】計(jì)算（1）   （2）       （3）   （4） （5）       （6）&

11、#160;   （7）          （8）【例18】化簡： (1) (2) (3) (4) 【例19】計(jì)算：(1) (2) (3) （4）【例20】能使等式成立的的x的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、無解知識(shí)點(diǎn)六：二次根式計(jì)算二次根式的加減【知識(shí)要點(diǎn)】 需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并但在化簡二次根式時(shí)，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不

12、含分母，不含能開得盡的因數(shù)【典型例題】 【例20】計(jì)算（1）； （2）；（3）； （4）【例21】 （1） （2）（3） （4）（5） （6）知識(shí)點(diǎn)七：二次根式計(jì)算二次根式的混合計(jì)算與求值【知識(shí)要點(diǎn)】 1、確定運(yùn)算順序；2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律； 3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；5、在有些簡便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化；【典型習(xí)題】 1、 2、 (2+43)3、 ·（-4）÷ 4、知識(shí)點(diǎn)八：根式比較大小【知識(shí)要點(diǎn)】 1、根式變形法 當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。2、平方法 當(dāng)時(shí)，如果，則；如果，則。3、分母有理化法 通過分母有理化，利用分子的大小來比較。4、分子有理化法 通過分子有理化