同濟(jì)大學(xué)高數(shù)09-16B(下)期末考試題(共17頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 同濟(jì)大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空題()1. 曲面在點(diǎn)處的法線方程為.2. 函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為.3. 設(shè)為連續(xù)函數(shù), 則三次積分的柱面坐標(biāo)積分 形式為.4. 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)函數(shù),且,若曲線積分 在整個(gè)平面上與路徑無關(guān), 則.5. 曲面積分, 其中 6. 設(shè)函數(shù), 則.7. 若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂, 在點(diǎn)處發(fā)散, 則冪級(jí)數(shù)的收斂 區(qū)間為8. 設(shè)是以為周期的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為 則的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂到二. 解答題()9. ()證明函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù). 10. ()計(jì)算二重積分, 其中是由直線與所圍成的閉區(qū)域. 11

2、. ()計(jì)算三重積分, 其中是由平面與三坐標(biāo)平面 所圍成的閉區(qū)域. 12. ()計(jì)算曲線積分, 其中為橢圓(按順時(shí)針方向繞行). 13. ()計(jì)算曲面積分 , 其中 為曲面: , 取上側(cè). 14. ()將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù), 并指出展開式成立的范圍. 15. ()求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù), 并由此求級(jí)數(shù)的和. 同濟(jì)大學(xué)2010-2011學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空題()1. 直線與平面的夾角為.2. 向量函數(shù)在點(diǎn)處的散度為.3. 質(zhì)點(diǎn)在變力的作用下, 沿螺旋線, 從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn), 則變力所作的功為.4. 閉區(qū)域, 則積分.5. 若級(jí)數(shù)在點(diǎn)處條件收斂, 則該級(jí)數(shù)的收斂半徑.6.

3、函數(shù)的麥克勞林展開式為.7. 若是函數(shù)的正弦展開式, 則 8. 設(shè)是由與平面所圍的有界閉區(qū)域,是位于的部分, 則下列等式中正確的是 ; ; ; .二. 解答題()9. ()求曲線在點(diǎn)處的切線與法平面方程. 10. ()計(jì)算曲面積分, 其中是球面被曲面. 截下的較小部分的曲面. 11. ()將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并指出展開式成立的范圍. 12. ()計(jì)算曲面積分 , 其中為曲面 取前側(cè). 13. ()計(jì)算三重積分 , 其中 是由曲面與平面 所圍成的有限閉區(qū)域. 14. ()是周期為的偶函數(shù), 在上. 求該函數(shù)的傅里葉展 開式, 并由此求級(jí)數(shù)的和. 15. ()設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且,證明 同濟(jì)

4、大學(xué)2011-2012學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空選擇題()1. 極限 .2. 若函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且 , 則極限 .3. 由所確定的函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)4. 平面上曲線的方程為, 若將該曲線關(guān)于直線對(duì)稱得到曲線 , 則的方程為.5. 函數(shù)在某點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的什么條件? B 充分條件; 必要條件; 充分必要條件; 無關(guān)條件.6. 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則下列各項(xiàng)判斷中正確的判斷是: D 一定收斂; 一定收斂; 一定發(fā)散; 對(duì)于常數(shù), 如果收斂就可判斷收斂, 必有.7. 是球體, 是球體位于第一卦限內(nèi)的部分, 則積分等于 B ; ; ; .8.

5、是空間光滑的有向曲面片, 是與正向聯(lián)系的有向邊界曲線, 則由斯托克斯公式 等于 D ; ; ; .二. 解答題()1. 求曲線 在點(diǎn)的切線方程. 2. 計(jì)算, 其中是由與所圍成的有界閉區(qū)域. 三()求函數(shù)的極值, 并說明是極大還是極小值.四()已知是上的連續(xù)函數(shù), 若將分別展開成周期為的傅里葉余弦和 正弦級(jí)數(shù), 它們分別為余弦級(jí)數(shù); 正弦級(jí)數(shù). 試寫出系數(shù) 與的計(jì)算公式, 并求函數(shù)周期為的傅里葉級(jí)數(shù).略五()求曲面上的點(diǎn), 使得該點(diǎn)處的切平面與三 個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最大. 體積六()如果曲線積分與路徑無關(guān), 其中是可導(dǎo)函 數(shù), 并且滿足, 求函數(shù), 并計(jì)算積分, 其中是沿曲線從到的弧段

6、.七()是由曲面與所圍立體的邊界曲面, 它的法向 指向曲面的外側(cè), 計(jì)算曲面積分. 八()求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù). 九()判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性, 并對(duì)自己的判斷給出證明. 收斂 同濟(jì)大學(xué)2012-2013學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空選擇題()1. 經(jīng)過三點(diǎn)的平面方程為; 點(diǎn)到該平面的距離為.2. 平面上的直線繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面方程為; 在二次曲面中, 該曲面的類型是 圓錐面 .3. 是上半球體 , 是 的邊界曲面外側(cè), 是上半球面 的上側(cè), 則利用高斯公式計(jì)算可得 ; 積分 .4. 是空間兩點(diǎn), 是以為兩端點(diǎn)的直線段, 是以為起點(diǎn) 為終點(diǎn)的有向直線段, 則.5.

7、是由曲線與所圍的有界閉區(qū)域, 則積分等于 ; ; ; .6. 積分, , , , 則有 ; ; ; .7. 平面上密度為的薄片對(duì)軸上位于點(diǎn)單位質(zhì)點(diǎn)的引力為 , 是引力常數(shù), 則 ; ; ; .8. 是拋物面的上側(cè), 則由兩類曲面積分的聯(lián)系, 等于 ; ; ; .二. ()1. 試求曲線在參數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線與法平面方程. 2. 試求由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)的全微分. 3. 占有上半圓的薄片面密度為, 試計(jì)算該薄片的 質(zhì)量. 4. 將函數(shù)展開成形式的冪級(jí)數(shù). 5. 將函數(shù)展開成周期為的余弦級(jí)數(shù).三. ()求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù). 四. ()是由曲面以及所圍成的立體, 其體密度為. (1)計(jì)算關(guān)于

8、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; (2)試寫出關(guān)于平行于軸的直線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式(無需計(jì)算) 五. ()任意取定球面上一點(diǎn)并且任意給定一個(gè)方向, 都可以求出函數(shù) 在給定點(diǎn)沿給定方向的方向?qū)?shù), 試求出所有這些方向?qū)?shù)中的最大 與最小值. 六. ()已知是某個(gè)二元函數(shù)的全微分. (1)試求出常數(shù); (2)計(jì)算積分, 其中是逆時(shí)針方向的曲線. 七. ()是斐波那契數(shù)列: , 即, , 試分析級(jí)數(shù)的收斂性, 其中是實(shí)常數(shù). 時(shí),級(jí)數(shù)顯然發(fā)散; 時(shí),級(jí)數(shù)收斂 同濟(jì)大學(xué)2013-2014學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空選擇題()1. 以空間三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積.2. 兩平面與的夾角余弦.3. 曲面在的法

9、線方程為.4. 是以以及為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域, 則積分5. 函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 已知, 如果, ,四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是, 最小的數(shù)是, 則有 【】 ; ; ; .6. 將化成極坐標(biāo)的二次積分式時(shí), 下列正確的是 【】 ; ; .7. 是由圓錐面與半球面所圍的空間立體, 則將積分 化成柱面坐標(biāo)計(jì)算時(shí), 下面正確的三次積分式是 【】 ; ; ; .8. 已知, 則發(fā)散的充分必要條件是 【】 ; ; 是無界數(shù)列; .二. 計(jì)算下列各題()1. 在經(jīng)過點(diǎn)的平面與球面相交的所有圓弧中, 求出圓 弧長(zhǎng)度的最小值. 2. 求函數(shù)的全微分. 3. 計(jì)算, 其中是由確定的扇形區(qū)域. 4. 為平面內(nèi)光滑的簡(jiǎn)單閉

10、曲線, 并取正向, 求曲線積分 的最大值. 5. 判斷級(jí)數(shù)的收斂性, 并給出判斷理由. 發(fā)散三. ()求由方程所確定函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以及 二階偏導(dǎo). 四. ()是曲面與柱面的交線, 從軸正向看向軸的負(fù)向, 曲線 是順時(shí)針方向的, 計(jì)算曲線積分. 五. ()求冪級(jí)數(shù)的收斂域, 以及該冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù). 六. ()計(jì)算, 其中是曲面 位于的部分, 曲面法向與軸正向的夾角為鈍角. 七. (), 已知, 求常數(shù), 使得積分 取得最小值, 并說明在上的 函數(shù)表達(dá)式. 同濟(jì)大學(xué)2014-2015學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空選擇題()1. 已知三向量:共面, 則常數(shù).2. 設(shè), 則極限

11、.3. 已知可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 則函數(shù) 在點(diǎn)對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù).4. 已知連續(xù)函數(shù), 其中是上半圓周, 則.5. 設(shè)是由所確定的平面閉域, 是的正向邊界, 則積分 .6. 設(shè)是平面閉域: . 則將二重積分化為極坐 標(biāo)下的二次積分時(shí), 等于 【】 ; ; ; .7. 已知常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則下列收斂的級(jí)數(shù)是 【】 ; ; ; .8. 設(shè)的收斂半徑為, 則的收斂半徑為 【】 ; ; ; .二. 計(jì)算下列各題()1. 求曲面在點(diǎn)的切平面與法線方程. 2. , 當(dāng)充分小時(shí), 求的一階近似值 , 即是的高階無窮小. 3. 計(jì)算曲面位于部分的面積. 4. 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù), 記, , . 求出三角級(jí)數(shù)的和函數(shù)

12、 在上的表達(dá)式. 三. ()在平行六面體中, 已知 求(1)點(diǎn)的坐標(biāo); (2)該平行六面體的體積. 四. ()已知曲線積分在不包含軸負(fù)半軸的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān). (1)求常數(shù);(2)計(jì)算上述積分,其中是上半平面從到的光滑曲線段. 五. ()計(jì)算曲面積分, 其中有向曲面 的法向與軸的夾角是鈍角. 六. ()求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).七. ()(1)如果直線與直線的夾角為, 相距為. 判別直線繞直線 旋轉(zhuǎn)所得曲面的類型并給出判別的理由; (2)若直線的方程為:, 直線的方程為, 試求由直線繞直線旋轉(zhuǎn)所得曲面以及相距 為且垂直于直線的兩平面所圍立體體積的最小值. (1)單葉雙曲面; (2);取 同濟(jì)大

13、學(xué)2015-2016學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空題()1. 設(shè), 則.2. 設(shè)曲面在點(diǎn)處的法向量為, 其與軸正方向的夾角為 銳角, 則函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為.3. 交換二次積分的次序 .4. 設(shè)空間立體由平面以及曲面所圍成, 則三重積分 .5. 設(shè)曲線, 則曲線積分.6. 設(shè)在平面上, 曲線積分與路徑無關(guān), 則常數(shù) .7. 設(shè)無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 則的最大取值范圍是.8. 設(shè), 將展開為正弦級(jí)數(shù), 若該級(jí)數(shù)的和函 數(shù)為, 則.二.()設(shè)是方程確定的隱函數(shù), 且 , 求. 【】三.()在橢圓錐面與面所圍成的空間閉區(qū)域中放置一個(gè)長(zhǎng)方體, 它 的各個(gè)側(cè)面均平行于坐標(biāo)面, 求該長(zhǎng)

14、方體的最大體積. 【】四.()計(jì)算三重積分, 其中是由所圍成的閉區(qū)域. 【】五.()求曲線積分, 其中為從沿曲線 到的有向弧段. 【】六.()計(jì)算曲面積分, 其中為曲面 位于與之間的部分的下側(cè). 【】七.()求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù). 【】八.()設(shè)級(jí)數(shù)收斂, 求常數(shù). 【】 同濟(jì)大學(xué)2016-2017學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(下)期終試卷一. 填空選擇題()1. 已知直線過點(diǎn), 與軸相交, 且與直線垂直, 則直線的方程為.2. 函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為.3. 設(shè), 則.4. 設(shè)連續(xù), 化二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分: .5. 設(shè)空間立體由平面圍成, 則三重積分 .6. 無窮級(jí)數(shù).7. 設(shè)級(jí)數(shù)收斂, 則下列必收斂的級(jí)數(shù)是 ; ; ; .8. 若冪級(jí)數(shù)在處條件收斂, 則的收斂區(qū)間為 ; ; ;