《定積分應(yīng)用》ppt課件

1、第六章第六章 定積分運用定積分運用v定積分的元素法定積分的元素法v定積分在幾何學(xué)上的運用定積分在幾何學(xué)上的運用v定積分在物理學(xué)上的運用定積分在物理學(xué)上的運用定積分的幾何定積分的幾何運用運用平面圖形的面積體積平面曲線的弧長xy第三節(jié)第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的運用定積分在物理學(xué)上的運用定積分物理運用之一變力沿直線作功問題從物理學(xué)知道，假設(shè)物體在作直線運動過程F中受常力 作用從a移至b力的方向與物體運動方向一致，力對物體所作的功為問題的提出：問題的提出：ab)(abFWF假設(shè)假設(shè) 為變力，力為變力，力對物體所作的功對物體所作的功W=？F解解:在上述挪動過程中，電場例例1帶電量為帶電量為q0與與q1的

2、正電荷分別放在空間兩的正電荷分別放在空間兩點，求當點，求當q1沿沿a與與b連線從連線從a移到移到b時電場力所作的時電場力所作的功。功。 如圖建立坐標系： aborq0 q1對q1作用力是變化的。(i)取r為積分變量，那么,bar(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間r,r+dr 的功元素drrqqkdrFdW210(iii)所求功drrqqkWba210)11(10baqkqbarqkq)1(10解解:等溫條件下，壓強p與體積V的乘積為常數(shù)，即 pV=k 而 F=pS例例2在底面積為在底面積為S的圓柱描畫器中盛有一定量的氣體。在等的圓柱描畫器中盛有一定量的氣體。在等溫條件下，由于氣體膨脹，把容器中的

3、一個活塞面積為溫條件下，由于氣體膨脹，把容器中的一個活塞面積為S從點從點a推移至推移至b，計算在挪動過程中氣體壓力所作的功。，計算在挪動過程中氣體壓力所作的功。 如圖建立坐標系，活塞位置可用坐標x表示。 ab留意到氣體膨脹過程中留意到氣體膨脹過程中V=V(x)V=V(x)即即F=F(x),F=F(x),故采用元素法。故采用元素法。(i)取x為積分變量，那么,bax(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx 的功元素(iii)所求功dxxkWbaabklnbaxklnoxx x+dxpSdxSdxVkSdxxSkdxxkdxFdW解解:如圖選取x軸。 (i)取x為積分變量，那么5 , 0 x(

4、ii)相應(yīng)于0,5上任一小區(qū)間x,x+dx 的一薄層水的重力為 (iii)所求功dxxW502 .88)(3462 kJ50222 .88xxdx238 .9xdx2 .88xVdW例例3一圓柱形的儲水桶高一圓柱形的儲水桶高5米，底圓半徑米，底圓半徑3米，桶內(nèi)米，桶內(nèi)盛滿了水。問把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？盛滿了水。問把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？水的比重為水的比重為 3/8 . 9mkNdxV23這薄層水吸出桶外需作之功近似為x3m5moxx+dx解解:如圖建立坐標系。 (i)取x為積分變量，那么,rrx(iii)所求功dxxrxrWrr)(22434r(ii)相應(yīng)于小區(qū)間x,x+dx ，

5、對應(yīng)薄片由A升至B在水中行程為 r+x,在水上的行程為2r-(r+x)=r-x 。 )()(2dxxyxrdW思索練習(xí)半徑為思索練習(xí)半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水一樣。欲將球從水中取出，需作多切，球的比重與水一樣。欲將球從水中取出，需作多少功？水的比重為少功？水的比重為 由于球的比重與水一樣，薄片所受浮力與重力合力為零，不作功 ，由水面再上升到B時需作功，即功元素 yxorAB2rdxxrxr)(22定積分物理運用之二水 壓 力從物理學(xué)知道，在水深為h處的壓強為問題的提出：問題的提出：ApP假設(shè)平板鉛直放置假設(shè)平板鉛直放置在水中，平板一側(cè)在

6、水中，平板一側(cè)所受的水壓力所受的水壓力P=？p=h為水的比重。xhA 因此，一面積為A的平板程度放置在水深為h處時，其一側(cè)所受的水壓力為定積分元素法問題的處理方法：問題的處理方法：dxxxfdP)(設(shè)平板鉛直位于液體中外形如圖。 間隔液面x、高為dx、寬為f(x) 的矩形平板所受壓力的近似值，即壓力元素為以液面為y軸，x軸鉛直向下。xyoaby=f(x)dxxxfPba)(所求壓力xx+dx為液體比重解解:依題意，如圖建立坐標系。那么端面周界方程為： (i)取x為積分變量，那么, 0Rx(iii)所求壓力dxxRxPR0222323R(ii)相應(yīng)于0,R上任一小區(qū)間x,x+dx 的窄條上各點壓

7、強 x dxxR222)0 (222RxRyxdxxRxdP222例例4一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水如圖如圖1。設(shè)桶的底半徑為。設(shè)桶的底半徑為R，水的比重為，水的比重為，計，計算桶的一個端面上所受的壓力。算桶的一個端面上所受的壓力。xx+dxxyoR，窄條面積近似于 ，即壓力元素為解解:如圖建立坐標系,那么腰OB的方程為： (i)取x為積分變量，那么6 , 0 x(iii)所求壓力dxxxP60) 3(34)(65. 1N(ii)相應(yīng)于0,6上任一小區(qū)間x,x+dx 的窄條上各點壓強 ) 3( xdxx)32(2 xy32dxxxdP)3(34例

8、例5一個底為一個底為8cm，高為，高為6cm的等腰三角形片，鉛直的等腰三角形片，鉛直地沉沒在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂?shù)爻翛]在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面離水面3cm，試求它每面所受的壓力水的比重為，試求它每面所受的壓力水的比重為。 窄條面積 壓力元素xyoAB(6,4)xx+dx解解:如圖建立坐標系。 (i)取x為積分變量，那么sin,bhhx(iii)所求壓力dxxPbhhasinsin)sin2(2bhah(ii)相應(yīng)于小區(qū)間x,x+dx ，對應(yīng)薄板的寬為 sindxsindxaxdP思索練習(xí)邊長為思索練習(xí)邊長為a和和b的矩形薄板，與液面成的矩形薄板，與液面成

9、角斜角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深沉于液體中，長邊平行于液面而位于深h處，設(shè)處，設(shè)ab，液體的比重為液體的比重為，試求薄板每面所受的壓力。，試求薄板每面所受的壓力。 ，窄條面積為 壓力元素xyosindxa ahsinbhdx定積分物理運用之三引 力 從物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為m1、m2，相距為r的兩質(zhì)點間的引力大小為問題的提出：問題的提出：221rmmGF 其中G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點的連線。oxrm1 m2 如何計算一根如何計算一根細棒對一個質(zhì)點的細棒對一個質(zhì)點的引力引力F=？解解:例例6設(shè)有一長度為設(shè)有一長度為l、線密度為、線密度為的均勻細棒，的均勻細棒，在其中垂線上距棒

10、在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點的質(zhì)點M。試計算該棒對質(zhì)點。試計算該棒對質(zhì)點M的引力。的引力。 如圖建立坐標系： (i)取y為積分變量，那么2,2lly(ii)相應(yīng)于sin,cos,22yadymGdFdFFdyx(iii)引力dyyaayamGFllx22222222412laalGmoxMy2l2l2,2ll上任一小區(qū)間y,y+dy 的引力元素的引力元素yy+dyradyyayyamGFlly2222220解解:練習(xí)設(shè)有一半徑為練習(xí)設(shè)有一半徑為R、中心角為、中心角為的圓弧形細棒，的圓弧形細棒，其線密度為常數(shù)其線密度為常數(shù)。在圓心處有一質(zhì)量為。在圓心處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)的