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1、平面向量第一節(jié) 平面向量的概念、線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示一、向量的概念1.向量:既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.2.幾何表示: 向量可以用有向線段表示.長度:向量的大小,也就是向量的長度(或稱模,記做.向量也可用字母(印刷用黑體,手寫用)或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)表示.例如,.零向量:長度為0的向量.記做.單位向量: 長度為1的向量.平行向量: 方向相同或相反的向量.記作.規(guī)定: 零向量與任一向量平行.3.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 記做.注意: 向量相等與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).共線向量:任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平
2、行向量也叫共線向量.二、平面向量的線性運(yùn)算(向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算1.向量加法的三角形法則已知非零向量、,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,則向量叫做 和的和,記做,即求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法. 這種方法稱為向量加法的三角形法則.2.向量加法的平行四邊形法則以同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的對角線是與的和,即.此法叫做向量加法的平行四邊形法則.規(guī)定:對零向量與任一向量,3.小結(jié)論對任意向量、,有;當(dāng)、同向時(shí),;當(dāng)、反向是,(或)4.向量加法交換律:;向量加法結(jié)合律:5.與長度相等,方向相反的向量叫做的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.6.向量減法的
3、幾何意義:可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.7.向量的數(shù)乘:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作,它的長度與方向規(guī)定如下:(1 ; (2 當(dāng)時(shí),的方向與的方向相同;當(dāng)時(shí),的方向與的方向相同.8.數(shù)乘的運(yùn)算律:(1 ; (2 ; (3 .9.向量共線充要條件:向量與共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理 如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)、,使得把不共線的向量、叫做這一平面內(nèi)所有向量的基底.2.向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量,作,則 叫做向量與的夾角. 如果與
4、的夾角是,稱與垂直,記作.當(dāng)時(shí),同向;當(dāng)時(shí),反向.3.正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.4.向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.對于平面內(nèi)的一個(gè)向量,由平面基本定理可知,有且只有一對實(shí)數(shù)、,使得這樣,平面內(nèi)的任一向量都可以由、唯一確定,我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo),記作.其中,分別叫做在軸上,在軸上的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對唯一表示.5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1 若,則;(2 若,則;(3 若,,則.6.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè),則向量共線的充要條件為.7.設(shè),.(1 若是的中點(diǎn),則;(2 若,則.前三部分總結(jié)1.向量相等(長度和方向.2.加法的三角形法則(首尾相連、四邊形法則(起點(diǎn)相同及其幾何意義.
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