北京師大附中下學期高二年級期末考試數(shù)學試卷理科

1、北京師大附中2019-2019學年下學期高二年級期末考試數(shù)學試卷（理科）2019.07說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題（每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1. 設(shè)復數(shù)z滿足，則（ ）A. B. C. D. 22. 已知某條曲線的參數(shù)方程為，則該曲線是（ ）A. 圓弧線段 B. 線段 C. 雙曲線的一支 D. 射線3. 如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為（ ）A. B. C. D. 4. 函數(shù)的定義域為R，導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)（ ）A. 無極大值點，有四個極小值點 B. 有三個極大

2、值點、兩個極小值點C. 有兩個極大值點、兩個極小值點 D. 有四個極大值點、無極小值點5. 一個盒子里有3個分別標有號碼為1,2,3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（ ）A. 12種 B. 15種 C. 17種 D. 19種6.已知隨機變量滿足，.若，則（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，7. 在下列命題中，從分別標有1,2，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是；的展開式中的常數(shù)項為2；設(shè)隨機變量，若，則.其中所有正確命題的序號是 （ ）A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)

3、，若成立，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共30分）9. 在極坐標系中，曲線和相交于點A,B，則線段AB的中點E到極點的距離是_.10. 用5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中兩個偶數(shù)數(shù)字之間恰有一個奇數(shù)數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)是_.（用數(shù)字作答）11. 若，則=_；_.（用數(shù)字作答）12. 甲、乙兩位同學進行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進行三次投籃.乙恰好比甲多投進2次的概率是_.13. 定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，如果函數(shù)，的“新駐點”分別為，那么，的大小關(guān)系是_.14. 函數(shù)圖象上不同兩點處的切線的

4、斜率分別是，規(guī)定（為A與B之間的距離）叫做曲線在點A與點B之間的“彎曲度”.若函數(shù)圖象上兩點A與B的橫坐標分別為0,1，則=_；設(shè)為曲線上兩點，且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_.三、解答題（共80分，請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.某單位共有員工45人，其中男員工27人，女員工18人.上級部門為了對該單位員工的工作業(yè)績進行評估，采用按性別分層抽樣的方法抽取5名員工進行考核.（I）求抽取的5人中男、女員工的人數(shù)分別是多少；（II）考核前，評估小組從抽取的5名員工中，隨機選出3人進行訪談.求選出的3人中有1位男員工的概率；（III）考核分筆試和答辯兩項.5名員工的筆試成績分別為

5、78，85,89，92,96；結(jié)合答辯情況，他們的考核成績分別為95,88,102,106,99.這5名員工筆試成績與考核成績的方差分別記為，試比較與的大小.（只需寫出結(jié)論）16. 長時間用手機上網(wǎng)嚴重影響著學生的健康，某校為了解A，B兩班學生手機上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機抽取6名同學進行調(diào)查，將他們平均每周手機上網(wǎng)時長作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.如果學生平均每周手機上網(wǎng)的時長大于21小時，則稱為“過度用網(wǎng)”.（I）請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計A，B兩班的學生平均每周上網(wǎng)時長的平均值；（II）從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個數(shù)據(jù)，求恰有1個數(shù)

6、據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率；（III）從A班、B班的樣本中各隨機抽取2名學生的數(shù)據(jù)，記“過度用網(wǎng)”的學生人數(shù)為，寫出的分布列和數(shù)學期望E.17. （13分）已知函數(shù).（I）若，求曲線在點處的切線方程；（II）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18. 已知函數(shù)，曲線在處的切線與x軸平行.（I）求實數(shù)a的值；（II）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.19. （14分）已知橢圓C：，F(xiàn)為右焦點，圓O：，P為橢圓C上一點，且P位于第一象限，過點P作PT與圓O相切于點T，使得點F，T在OP的兩側(cè).（I）求橢圓C的焦距及離心率.（II）求四邊形OFPT面積的最大值.20. 已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（I

7、）當時，設(shè)，（i）寫出方程的解（）；（ii）若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（II）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.參考答案一、選擇題（每小題5分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。）12345678ABBCDACD二、填空題（每小題5分，共30分）9. 2； 10. 36； 11. 1；2019;12. ； 13. ； 14. ；三、解答題（共80分，請寫在必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15. 解：（I）抽取的5人中男員工的人數(shù)為，女員工的人數(shù)為.（II）由（I）可知，抽取的5名員工中，有男員工3人，女員工2人.所

8、以，根據(jù)題意，,所以，選出的3人中有1為男員工的概率是.（III）16. 解：（I）A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計A班學生每周平均上網(wǎng)時間19小時；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計B班學生每周平均上網(wǎng)時間22小時.（II）因為從A班的6個樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取1個的數(shù)據(jù)，為“過度用網(wǎng)”的概率是，所以從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回的抽取2個的數(shù)據(jù)，恰有1個數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率為.（III）的可能取值為0,1,2,3,4.的分布列是：01234P17. 解：（I）若，導函數(shù)為.依題意，有，則切線方程為，即.（II），當時，由，得，則函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當時，由，得，再討論兩根的大小關(guān)系

9、；當時，由，得或者，則函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當時，則函數(shù)的增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當時，由，得或者，則函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是；綜上，當時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是； 當時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當時，函數(shù)增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是；18. 解：（I）的導函數(shù)為，所以.依題意，有，即，解得.（II）由（I）得.當時，所以，故單調(diào)遞增；當時，所以，故單調(diào)遞減.所以在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為，所以最大值為.設(shè)，其中.則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即，故最小值為.19. 解：（1）在橢圓C：中，所以，故橢圓C的焦距為，離心率.（2）設(shè)，則，故.所以，所以，又，故.因此S四邊形OFPT=SOFP+SOTP=由，得，即，所以S四邊形OFPT= ，當且僅當，即，時等號成立.20. 解：（I）（i）方程的解有：.（II）以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2，4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4，5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中