八年級數(shù)學(xué)同步培優(yōu)競賽詳附答案多邊形的邊角與對角線

1、名師第十四講 多邊形的邊角與對角線 邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù)、內(nèi)外角度數(shù)、對角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識 多邊形的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個常數(shù)，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動是解多邊形有關(guān)問題的常用技巧 將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補形、對內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸邊形的一個頂點引出的對角線把凸邊形分成個多角形，凸n邊形一共

2、可引出對角線 例題求解 【例1】在一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為2002°，則這個多邊形的邊數(shù)是 (江蘇省競賽題) 思路點撥 設(shè)除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù)為，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0°<x<180°，0°<y<180°，又可得到關(guān)于的不等式故有兩種解題途徑，注意為自然數(shù)的隱含條件鏈接 世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程，點是幾何學(xué)最原始的概念，點生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)

3、，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他一些幾何圖形【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個數(shù)最多是( ) A0 B1 C3 D5 (全國初中數(shù)學(xué)競賽題) 思路點撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為外角為鈍角的個數(shù)的探討【例3】 如圖，已知在ABC中，ABAC，ADBC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標(biāo)出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長(烏魯木齊市中考題)思路點撥 把動手操作與合情想

4、象相結(jié)合，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形注 教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個話題，簡單地說，“數(shù)學(xué)建?！本褪峭ㄟ^數(shù)學(xué)化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數(shù)學(xué)問題，再運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識方法(模型)解決問題本例通過設(shè)元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過不定方程求解 【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一

5、個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形(1)請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格： (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形? (3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形?說明你的理由(陜西省中考題)思路點撥 本例主要研究兩個問題：如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點接合的地方，n個內(nèi)角的和為360°，這樣，將問題的討論轉(zhuǎn)

6、化為求不定方程的正整數(shù)解 【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E' （1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個五邊形嗎?說明理由 (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位(江蘇省競賽題)思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'；

7、C'ND'；D'LE'；E'IA'三點分別共線；1+2+3+4+5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算學(xué)力訓(xùn)練 1如圖，用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個三角形，用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ，周長最小的是 cm (選6莢國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn))2如圖，1+2+3+4+5+6= 3如圖，ABCD是凸四

8、邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 4用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案： (1)第4個圖案中有白色地面磚 塊； (2)第n個圖案中有白色地面磚 塊 (江西省中考題)5凸n邊形中有且僅有兩個內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( )A4 B5 C 6 D7 ( “希望杯”邀請賽試題)6一個凸多邊形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是( )A9條 B8條 C7條 D 6條7有一個邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( ) A216塊 B288塊 C384塊 D512塊

9、 ( “希望杯”邀請賽試題)8已知ABC是邊長為2的等邊三角形，ACD是一個含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將ABC和ACD拼成一個凸四邊形ABCD（1）)畫出四邊形ABCD；(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長 (上海市閔行區(qū)中考題) 9如圖，四邊形ABCD中，ABBCCD，ABC=90°，BCD150°，求BAD的度數(shù) (北京市競賽題)10如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點，連結(jié)A1B1，我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行(

10、安徽省中考題) 11如圖，凸四邊形有 個；A+B+C+D+E+F+G= (重慶市競賽題)12如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角，B1，B2，B3，B4，B5，它們的和等于 ；若延長凸n邊形(n5)的各邊相交，則得到的n個角的和等于 ( “希望杯”邀請賽試題)13設(shè)有一個邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是 ；A4這個多邊形的面積是原三角形面

11、積的 倍(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)14如圖，六邊形ABCDEF中，A=B=C=D=E=F，且AB+BC=11，F(xiàn)ACD=3，則BC+DC= (北京市競賽題)15在一個n邊形中，除了一個內(nèi)角外，其余(n一1)個內(nèi)角的和為2750°，則這個內(nèi)角的度數(shù)為( ) A130° D140° C 105° D120°16如圖，四邊形ABCD中，BAD=90°，AB=BC=2，AC=6，AD=3，則CD的長為( )A4 B4 C3 D 3 (江蘇省競賽題) 注 按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個美麗的名稱雪花曲線或

12、科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支17如圖，設(shè)CGE=，則A+B+C+D+C+F=( )A360°一 B270°一C180°+ D2(山東省競賽題)18平面上有A、B，C、D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在ABC、ABD、ACD、BDC中至少有一個三角形的內(nèi)角不超過45°19一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數(shù)，求n (上海市競賽題)20如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8個內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長21如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部