八年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)北師大版

1、數(shù)學(xué)（八年級上冊）知識點總結(jié)（北師大版）第一章 勾股定理1、勾股定理-已知直角三角形，得邊的關(guān)系直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即2、勾股定理的逆定理-由邊的關(guān)系，判斷直角三角形如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）規(guī)律：（1）、短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且ab時，如果，那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如：（3,4,5

2、）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶數(shù)，2n(n1)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分別是： 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常見題型應(yīng)用：（1）已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上的高線/周長/面積（2）已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長之間的關(guān)系，求各邊的長度/斜邊上的高線/周長/面積（3）判定三角形形狀： 銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形 判定直角三角形a.找最長邊；b.比較長邊的平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；c.確定形狀第二章 實數(shù)1. 無理數(shù)的引入。無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)。 一、實數(shù)的概念及分類 1、實數(shù)

3、的分類 2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如等根號a（a為非完全平方數(shù)或非立方數(shù)）。（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率（=3.14159265)，或化簡后含有的數(shù)，如+8等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001；0.585885888588885(相鄰兩個5之間8的個數(shù)逐次加1等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等； 二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值 1、相反數(shù)實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果

4、a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、絕對值在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（|a|0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。5、估算. 注意：（1）近似計算時，中間過程要多保留一位；（2）要求記憶： .三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

5、1平方根和算術(shù)平方根：（1）概念：如果，那么是的平方根，記作：；讀作“正、負根號”，其中叫做的算術(shù)平方根，讀作根號。（2）性質(zhì)：當(dāng)0時，0； 當(dāng)時，無意義； ； 。（區(qū)分、）性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。（3）開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。注意 ：的雙重非負性：2立方根：（1）概念：若，那么是的立方根（或三次方根），記作：； （2）性質(zhì)：； ； 性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：， 這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。區(qū)分：平

6、方根、立方根的性質(zhì)根源：開平方是平方的逆運算；開立方是立方的逆運算。正數(shù)和負數(shù)的平方后為正，所以，只有非負數(shù)才可以開平方，因此一個非0正數(shù)開平方后有2個；而任何數(shù)的立方后的符號與原數(shù)的符號一致，所以，任何數(shù)都可以開立方，一個數(shù)開立方后只有1個，符號與原數(shù)的符號也一致。四、實數(shù)大小的比較 1、實數(shù)比較大?。赫龜?shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大。2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)， （3

7、）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則。（5）平方法： 設(shè) ，則 設(shè) ，則 。 同號的有理數(shù)與無理數(shù)、同號的無理數(shù)與無理數(shù)大小比較時常用平方法。如：比較 與；與（6）倒數(shù)法：設(shè) ，則；設(shè) ，則 規(guī)律：同號取倒（數(shù)）反向五、算術(shù)平方根有關(guān)計算（二次根式）1、含有二次根號“”； 被開方數(shù)必須是非負數(shù)，即：。2、性質(zhì)：（1）非負性（2） （中前提，被開方數(shù)）（3）（中隱含被開方數(shù)）（4）；（）（前提根號要有意義）（5） ；（）（前提式子和根號要有意義，）拓展：三個重要非負數(shù)： .注意：非負數(shù)之和為0 它們都是0.3、運算結(jié)果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方

8、數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式六、實數(shù)的運算 （1）六種運算：加、減、乘、除、乘方 、開方（2）實數(shù)的運算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法交換律 加法結(jié)合律 乘法交換律 乘法結(jié)合律 乘法對加法的分配律 （4）與實數(shù)有關(guān)的概念： 在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義與有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全一致；在實數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)的運算法則和運算律同樣成立。每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，即實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。因此，數(shù)軸正好可以被實數(shù)填滿。第三章 位置的確

9、定一、 在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個數(shù)據(jù)。二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念 1、平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的公共原點O稱為直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點（坐標(biāo)軸上的點），不屬于任何一個象限。3、點的坐標(biāo)的概念對于平面內(nèi)任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂

10、線，垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對（a，b）叫做點P的坐標(biāo)。點的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo)。平面內(nèi)點的與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的。4、不同位置的點的坐標(biāo)的特征 （1）、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征（結(jié)合圖形，過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)在坐標(biāo)軸的正向為正，負向為負） 點在第一象限點在第二象限 點在第三象限點在第四象限（2）、坐標(biāo)軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)點P(x,y)

11、在y軸上，y為任意實數(shù)點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標(biāo)為（0，0）即原點（3）、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)（4）、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。（5）、關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的特征 點P與點關(guān)于x軸對稱（上下）橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為（x，-y） 點P與點關(guān)于y軸對稱（左右）縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相

12、反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為（-x，y） 點P與點關(guān)于原點對稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于原點的對稱點為（-x，-y）規(guī)律：關(guān)于誰對稱誰不變，另一個變相反；關(guān)于原點對稱，兩個分別變相反。(6)、點到坐標(biāo)軸及原點的距離（結(jié)合圖形理解）點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于（由勾股定理可得）三、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律：坐標(biāo)（ x ， y ）的變化 圖形的變化 x × a或 y × a 被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的 a倍 x × a

13、， y × a 放大（縮?。樵瓉淼?a倍 x ×（ -1）或 y ×（ -1） 關(guān)于 y 軸或 x 軸對稱 x ×（ -1）， y ×（ -1） 關(guān)于原點成中心對稱 或 ，其中沿 x 軸（）左（+）右或 y 軸（+）上（）下平移 a個單位 ， ，其中沿 x 軸（）左（+）右平移 a個單位，再沿 y 軸（+）上（）下平移 a個單第四章 一次函數(shù)一、函數(shù)：一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應(yīng)地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自

14、變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（偶次根式）（被開方數(shù)為非負數(shù)）、實際意義幾方面考慮。三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）關(guān)系式（解析）法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（3）圖象法用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點（3）連線：按照自變量由小到大的順

15、序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。五、正比例函數(shù)和一次函數(shù) 1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，若兩個變量x，y間的關(guān)系可以表示成（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b=0時（即）（k為常數(shù)，k0），稱y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像: 所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：、一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。、由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)的圖象也稱為直線。、由于兩點確定一條直線，因此在畫一次函數(shù)的圖象時，只要描出：與軸的交點

16、（令，求出），與軸的交點（令，求出），即（ 兩點即可，畫正比例函數(shù)的圖象時，只要描出點（0，0），（1，）即可。、的正負決定直線的傾斜方向，的大小決定直線的傾斜程度，即越大，直線與軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），越小，直線與軸的相交的銳角度數(shù)越?。ㄖ本€緩）。、的正負決定直線與軸交點的位置。當(dāng)時，直線與軸的交于正半軸上。當(dāng)時，直線與軸交于負半軸上。當(dāng)時，直線經(jīng)過原點，是正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 當(dāng)0時，隨的增大而增大，圖象從左到右呈上升趨勢；當(dāng)0時，隨的增大而減小，圖象從左到右呈下降趨勢。函 數(shù)圖 象性 質(zhì)一次函數(shù)（1）當(dāng)時，隨的增大而增大，

17、圖象必經(jīng)過一三象限。時，過一二三象限時，只過一三象限時，過一三四象限時（2）當(dāng)時，隨的增大而減小，圖象必過二四象限。時，過一二四象限時，只過二四象限時，過二三四象限正比例函數(shù)圖象過原點當(dāng)時，隨的增大而增大，圖象必過一三象限當(dāng)時，隨的增大而減小，圖象必過二四象限。5、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。（1）、確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的條件由于正比例函數(shù)中只有一個待定系數(shù)，故只需一個條件（如一對的值或一個點）就可求得的值。由于一次函

18、數(shù)中有兩個待定系數(shù)，需要兩個獨立的條件確定兩個關(guān)于 的方程，求得的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對的值。（2）待定系數(shù)法先設(shè)式子中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而求出式子的方法叫做待定系數(shù)法。（3）用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的一般步驟 設(shè)函數(shù)表達式為。 將已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，解方程（方程組）。 求出的值，得函數(shù)表達式。6、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系： 任何一個一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，k0）的形式 而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，k0）當(dāng)函數(shù)值時，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同 結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx

19、+b=0（k、b為常數(shù)，k0）的形式所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值時，求相應(yīng)的自變量的值從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)值7、一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點求法：與軸的交點：令，求出，得；與軸的交點：令，求出，得 第五章 二元一次方程組1、二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。3、二元一次方程組含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。4二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個

20、二元一次方程組的解。5、二元一次方程組的解法（1）代入（消元）法 （2）加減（消元）法（無論是代入消元法還是加減消元法，其目的都是將“二元一次方程”變?yōu)椤耙辉淮畏匠獭?，所謂之“消元”）6、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系：（1）一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：每個二元一次方程都可以看成一次函數(shù)，直線y=kx+b上任意一點的坐標(biāo)都是它所對應(yīng)的二元一次方程的解（2）一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：求二元一次方程組的解，可看成求兩個一次函數(shù)圖象的交點。二元一次方程組 的解可看作兩個一次函數(shù) 和 的圖象的交點。反之，可以通過求二元一次方程組的解，求出兩個一次函數(shù)圖象的交點當(dāng)函數(shù)圖象有交點時，說明相應(yīng)的二元一次方程組有解；當(dāng)函數(shù)圖象