曲線和方程練習(xí)題

1、曲線和方程練習(xí)題一、選擇題1、（2014·安徽高考文科·3）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）A. B. C. D. 【解題提示】 將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式即可得出?！窘馕觥窟xA。，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1.2. (2014·新課標(biāo)全國卷高考文科數(shù)學(xué)·T10) (2014·新課標(biāo)全國卷高考文科數(shù)學(xué)·T10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),則 =()A. B.6C.12D. 【解題提示】畫出圖形,利用拋物線的定義求解.【解析】選C.設(shè)AF=2m,BF=2n,F.則由拋物線的定義和直角三角形

2、知識可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.AB=AF+BF=2m+2n=12.故選C.3. (2014·新課標(biāo)全國卷高考理科數(shù)學(xué)·T10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAB的面積為()A. B. C. D. 【解題提示】將三角形OAB的面積通過焦點(diǎn)“一分為二”,設(shè)出AF,BF,利用拋物線的定義求得面積.【解析】選D.設(shè)點(diǎn)A,B分別在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,則由拋物線的定義和直角三角形知識可得,2m=2·

3、+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.所以SOAB=·(m+n)=.故選D.4. （2014·四川高考理科·10）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ）A. 2 B.3 C. D.【解題提示】 設(shè)AB方程：聯(lián)立結(jié)合求出m求的最小值【解析】選B. 可設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn)，又，則直線AB與軸的交點(diǎn)，由，所以，又，因為點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，所以，故，于是=，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，所以與面積之和的最小值是.5. （2014·四川高考文科&

4、#183;10）與（2014·四川高考理科·10）相同已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ）A. 2 B.3 C. D.【解題提示】 設(shè)AB方程：聯(lián)立結(jié)合求出m求的最小值【解析】選B.可設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn)，又，則直線AB與軸的交點(diǎn)，由，所以，又，因為點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，所以，故，于是=，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，所以與面積之和的最小值是.6. （2014·遼寧高考理科·10）已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)的直線與在第一象限相切于點(diǎn),記的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為【解題提示】由拋物線

5、的定義知的值，也就確定了拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的斜率公式求出直線的斜率【解析】選.根據(jù)已知條件得，所以從而拋物線方程為，其焦點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)，由題意，在第一象限內(nèi)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為，而切線的斜率也可以為又因為切點(diǎn)在曲線上，所以由上述條件解得即從而直線的斜率為二、填空題1. （2014·湖南高考理科·15）如圖，正方形的邊長分別為，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過 【解題提示】有正方形的邊長給出點(diǎn)C,F的坐標(biāo)帶入拋物線方程求解。【解析】由題可得，則。答案: 3. 2. （2014·上海高考理科·4）【解題提示】

6、先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p的值，即得拋物線的準(zhǔn)線方程.【解析】根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)F(2，0)得p=4,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2.答案：x=-2.3. （2014·山東高考文科·15）已知雙曲線的焦距為，右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為.【解題指南】本題考查了雙曲線知識，利用雙曲線與拋物線的交點(diǎn)為突破口求出a,b之間的關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【解析】 由題意知， 拋物線準(zhǔn)線與雙曲線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為， 即代入雙曲線方程為，得，漸近線方程為，.答案： 4.(2014·陜西高考文科·

7、;T11)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為.【解題指南】根據(jù)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-p2可以得到所求準(zhǔn)線方程.【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1.答案:x=-1三、解答題1.（2014·福建高考文科·21）21（本小題滿分12分）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.（1） 求曲線的方程；（2） 曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.【解題指南】（1）由題意曲線符合拋物線的定義，直接寫出曲線

8、方程（2）利用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示直線的方程，求出點(diǎn)A，點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓C的圓心和半徑，表示出AB的長，經(jīng)過計算為定值【解析】.方法一（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線的距離相等，所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動時，線段AB的長度不變，證明如下：由（1）知拋物線的方程為，設(shè)，則，由，得切線的斜率，所以切線的方程為，即.由，得.由，得.又，所以圓心，半徑，.所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動時，線段AB的長度不變.方法二：（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則，依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以，所以，化簡得，曲線的方程為.（2）同方法一.PBAM

9、Fyx02. （2014·浙江高考文科·22）已知的三個頂點(diǎn)在拋物線C：上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，；（1）若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求面積的最大值.【解題提示】（1）根據(jù)拋物線的定義，利用條件|PF|=3，求建立方程關(guān)系即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，利用直線和拋物線聯(lián)立結(jié)合弦長公式公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出三角形面積的最值【解析】（1）由題意知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的定義可知，解得，所以，即或由，得或。（2）設(shè)直線AB的方程為，由得， 于是即AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，2k2+m）由，得解得，由，得，由0，k

10、0得，又因為，點(diǎn)F到直線AB的距離，所以，設(shè)，則令=0，解得，于是f（m）在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，f（m）取得最大值，此時，ABP面積的最大值為3.(2014·陜西高考理科·T20)(本小題滿分13分)如圖,曲線C由上半橢圓C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0,y0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y0)連接而成,C1,C2的公共點(diǎn)為A,B,其中C1的離心率為32.(1)求a,b的值.(2)過點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于P,Q(均異于點(diǎn)A,B),若APAQ,求直線l的方程.【解題指南】(1)在C1,C2的方程中,令y=0可

11、得b值,再利用橢圓中a,b,c的關(guān)系及離心率求得a值.(2)利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系分別用直線l與C1,C2的方程聯(lián)立,求得點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),結(jié)合條件APAQ,求直線l的方程.【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左右頂點(diǎn).設(shè)C1的半焦距為c,由ca=32及a2-c2=b2=1得a=2.所以a=2,b=1.(2)由(1)知,上半橢圓C1的方程為y24+x2=1(y0).易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp),因為直線l過點(diǎn)B,所以x=1是方程(*)的一個根,由求根公式,得xp=k2-4k2+4,從而yp=-8kk2+4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為k2-4k2+4,-8kk2+4.同理,由