數(shù)列與級(jí)數(shù)最終版

1、第3章 數(shù)列與級(jí)數(shù)這章的標(biāo)題說(shuō)明，這里要初步地討論復(fù)數(shù)的序列和級(jí)數(shù)然而關(guān)于收斂性的基本事實(shí)，即使在更一般的情況下闡述，也同樣地容易所以前三節(jié)就在歐幾里得空間，甚至在度量空間里講了收斂序列 3.1 定義 度量空間中的序列叫做收斂的，如果有一個(gè)有下述性質(zhì)的點(diǎn)：對(duì)于每個(gè)，有個(gè)正整數(shù)，使的時(shí)，（這里表示中的距離）這時(shí)候，我們也說(shuō)收斂于，或者說(shuō)是的極限參看定理32(b)，并且寫(xiě)作，或如果不收斂，便說(shuō)它發(fā)散這“收斂序列”的定義不僅依賴于，而且依賴于，指明這一點(diǎn)很有好處;例如，序列在里收斂（于0），而在一切正實(shí)數(shù)的集里（?。┎皇諗吭诳赡馨l(fā)生懷疑的時(shí)候，我們寧愿明確而詳細(xì)地說(shuō)“在X中收斂”而不說(shuō)“收斂”我們記

2、得，一切點(diǎn)的集是的值域，序列的值域可以是有限的，也可以是無(wú)限的如果它的值域是有界的，就說(shuō)序列是有界的作為例題，我們來(lái)審辨一下下邊的復(fù)數(shù)序列（即）(a)如果，那么;值域是無(wú)限的，但是序列是有界的(b)如果，那么序列無(wú)界，發(fā)散，而值域是無(wú)限的(c)如果，那么序列收斂于1，有界而且值域是無(wú)限的(d)如果，那么序列發(fā)散，有界，而值域是有限的(e)如果（n=1，2，3，）那么收斂于1，有界而且值域是有限的現(xiàn)在，把度量空間中收斂序列的一些重要性質(zhì)匯集起來(lái)3.2 定理 設(shè)是度量空間中的序列(a)收斂于，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的每個(gè)鄰域，能包含的，除有限項(xiàng)以外的一切項(xiàng)(b)如果，收斂于又收斂于，那么(c)如果收斂，必有界

3、(d)如果，而是的極限點(diǎn)，那么在中有一個(gè)序列，使得(a) 證 假定，并設(shè)是點(diǎn)的鄰域，對(duì)于某個(gè)，條件，意味著對(duì)應(yīng)于這個(gè)，存在著時(shí)有所以就得出 反過(guò)來(lái)，假定點(diǎn)的每個(gè)鄰域，除有限個(gè)點(diǎn)外，包含一切點(diǎn)固定，并設(shè)是滿足的的集根據(jù)假定，(對(duì)應(yīng)于這個(gè)鄰域)存在一個(gè)，使得時(shí)，所以時(shí)，;這就是說(shuō)(b) 設(shè)已給定，那么存在正整數(shù)，使當(dāng)有，有因此，如果，就有由于數(shù)是任意的，可以斷定(c)假定那么存在著正整數(shù)，使得當(dāng)有令，那么，當(dāng)時(shí)，(d)對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，有點(diǎn)，使給定了，選取，使得，就得因此證畢對(duì)于中的序列，我們可以研究收斂性與代數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系首先考慮復(fù)數(shù)序列3.3 定理 假定是復(fù)數(shù)序列，而且，那么(a) ;(b)對(duì)

4、于任何數(shù)，;(c) ;(d)只要且，就有證 (a)給定了0，存在著正整數(shù)使得時(shí)，時(shí)，如果，那么時(shí)，便有這就證明了(a)至于(b)的證明則很容易(c)我們用恒等式 (1)給定了，存在著正整數(shù)，使得時(shí)，時(shí)，如果取，那么時(shí)就有由此現(xiàn)把(a)和(b)用于恒等式(1)，就可以判定(d)選一個(gè)，使當(dāng)時(shí)，就知道給定了，就存在正整數(shù)，使得時(shí)因此，當(dāng)時(shí)，3.4 定理(a)假定而那么序列收斂于（，當(dāng)且僅當(dāng) (2)(b)假定，是中的序列，是實(shí)數(shù)序列，并且，那么，證(a)如果，那么，從中范數(shù)的定義馬上可以推得不等式，這說(shuō)明等式(2)成立反之，如果(2)成立，對(duì)應(yīng)于每個(gè)，有一個(gè)正整數(shù)，使得時(shí)，（）因此，時(shí)，所以這就證明

5、了(a)(a)可以由(a)和定理3.3推出來(lái)子序列3.5 定義 設(shè)有序列，取正整數(shù)序列，使，那么序列收斂，就把它的極限叫做的部分極限顯然，序列收斂于，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何子序列，收斂到中的某個(gè)點(diǎn)(b)中的每個(gè)有界序列含有收斂的子序列證(a)設(shè)是的值域如果有限，那么必有及序列（）使得：顯然，這樣得到的子序列收斂于如果是無(wú)限的，定理2.37說(shuō)明的極限點(diǎn)選取使得選定以后，據(jù)定理2.20知道一定有正整數(shù)，使得于是子序列收斂于(a)這由(a)即可得到因?yàn)槎ɡ?.41說(shuō)明的每個(gè)有界子集必含于的一個(gè)緊子集中3.7 定理 度量空間里的序列的部分極限組成X的閉子集證 設(shè)是的所有部分極限組成的集，是的極限點(diǎn)現(xiàn)在需要證

6、明q選，使（如果沒(méi)有這樣的，那么只有一個(gè)點(diǎn)，那就沒(méi)有什么要證的了）令假設(shè)已經(jīng)選好了，因?yàn)槭堑臉O限點(diǎn)，必有，使因，必有，使得于是對(duì)于這就是說(shuō)收斂于因此Cauchy序列3.8 定義 度量空間中的序列叫做cauchy序列，如果對(duì)于任何存在著正整數(shù)，只要和便有在Cauchy序列的討論中，以及在今后出現(xiàn)的其他情況下，下述幾何概念是有用的3.9 定義 設(shè)是度量空間的子集，又設(shè)是一切形式為的實(shí)數(shù)的集，這里，數(shù)叫做的直徑，記作如果是中的序列，而由點(diǎn)，組成那么，從上邊的兩個(gè)定義來(lái)看，顯然可以說(shuō)：是Cauchy序列，當(dāng)且僅當(dāng)3.10 定理(a)如果是度量空間中的集，是的閉包，那么(b)如果是中的緊集的序列，并且，

7、又若，那么由一個(gè)點(diǎn)組成證(a)因?yàn)椋@然固定了，再取，根據(jù)的定義，必然在E中有兩點(diǎn)，使得，因此 f可見(jiàn)，又因?yàn)槭侨我獾模?a)被證明了(b)令根據(jù)定理2.36，不空如果不只包含一個(gè)點(diǎn)，那就得然而對(duì)于每個(gè)，有，從而這與假設(shè)條件矛盾3.11 定理(a)在度量空間中，收斂序列Cauchy序列(b)如果是緊度量空間，并且如果是中的Cauchy序列，那么收斂于的某個(gè)點(diǎn)(c)在中，每個(gè)Cauchy序列收斂注：收斂的定義與Cauchy序列定義之間的差別是，前者明顯的含有極限，而后者不然于是定理3.11(b)可以使我們斷定已知序列是否收斂，而不需知道它要收斂的極限定理3.1中的第三條即是中的序列收斂，當(dāng)且

8、僅當(dāng)它是Cauchy序列;時(shí)常叫做判斷收斂的Cauchy準(zhǔn)則證(a)若且，便有正整數(shù)，保證只要，便有因此，只要而且于是是Cauchy序列(b)設(shè)是緊空間中的Cauchy序列，對(duì)于，令是由點(diǎn)，組成的集那么，按定義3.9及定理3.10(a)， (3)每個(gè)既是緊空間的閉子集，因而必是緊集（定理2.35）又因?yàn)椋愿鶕?jù)定理3.10(b)，在中有唯一的在每個(gè)中設(shè)給定了據(jù)(3)，有整數(shù)，凡當(dāng)?shù)臅r(shí)候，就有由于，所以對(duì)每個(gè)q，當(dāng)然對(duì)每個(gè)也有換句話說(shuō)，只要，就這正是說(shuō)(c)設(shè)是中的Cauchy序列像在(b)中那樣定義，但要把換成有某個(gè)，的值域是與有限集的并所以有界因的每個(gè)有界子集在中有緊閉包（定理2.41），

9、由(b)即得(c)3.12 定義 如果度量空間X中的每個(gè)Cauchy序列在X中收斂，就說(shuō)它是完備的因此，定理3.11是說(shuō)，所有緊度量空間及所有歐式空間是完備的定理311還說(shuō)明，完備度量空間的閉子集是完備的（中每個(gè)Cauchy序列是中的Cauchy序列，因此它收斂于某，但因是閉集，所以實(shí)際）以為距離，一切有理數(shù)組成的空間是不完備度量空間的一個(gè)例子定理3.2(c)及定義3.1的例(d)說(shuō)明，收斂序列是有界的但中的有界序列不一定收斂然而，還有收斂性就等價(jià)于有界性這樣一種重要情況;對(duì)于中的單調(diào)序列就是這樣3.13 定義 實(shí)數(shù)序列叫做（a） 單調(diào)遞增的，如果;（b） 單調(diào)遞減的，如果單調(diào)遞增和單調(diào)遞減序

10、列，組成單調(diào)序列類(lèi)3.14 定理 單調(diào)序列收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它是有界的證 假定（另一種情形的證明和這類(lèi)似）設(shè)是的值域，如果有界，設(shè)是的最小上界，那么 對(duì)于每個(gè)，一定有一個(gè)正整數(shù)N，使，如果不然的話，將要是的上界了因?yàn)檫f增，所以時(shí)有這說(shuō)明收斂（于）逆命題可以從定理3.2(c)推出來(lái)上極限和下極限3.15 定義 設(shè)是有下列性質(zhì)的實(shí)數(shù)序列：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有一個(gè)正整數(shù)，而時(shí)有，我們便把這寫(xiě)作類(lèi)似地，如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有一個(gè)正整數(shù)N，而時(shí)有，我們便把這寫(xiě)作應(yīng)當(dāng)注意，我們現(xiàn)在對(duì)某些類(lèi)型的發(fā)散序列也像對(duì)收斂序列一樣地使用了在定義3.1中引進(jìn)的符號(hào)，但是，在定義3.1中講的收斂和極限的定義毫不改變3.16 定

11、義 設(shè)是實(shí)數(shù)序列E是所有可能的子序列的極限（在擴(kuò)大了的實(shí)數(shù)系里，）組成的集E含有定義3.5所規(guī)定的部分極限，可能還有，兩數(shù)回想一下定義1.8和1.23，令，和兩數(shù)叫做序列的上極限和下極限采用的記號(hào)是，3.17 定理 設(shè)是實(shí)數(shù)序列，設(shè)和的意義和定義316中說(shuō)的一樣，那么有以下兩種性質(zhì)：(a)(b)如果，那么就有正整數(shù)，能使時(shí)有此外，是唯一具有性質(zhì)(a)和(b)的數(shù)當(dāng)然，對(duì)于 ，與此類(lèi)似的結(jié)論也正確證(a)如果，那么不是有上界;因此不是有上界，因而有子序列合于如果是實(shí)數(shù)，那么上有界，從而至少有一個(gè)部分極限因此，(a)可以從定理3.7和2.28推出來(lái)如果，那么只包含一個(gè)元素，就是，從而沒(méi)有部分極限就

12、是說(shuō)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，只有有限個(gè)的值，使得于是這就在所有情形下證明了(a)(b)假定有一個(gè)數(shù)，而且有無(wú)限多個(gè)的值使得那時(shí)，則有一個(gè)數(shù)，使這與的定義矛盾所以滿足條件(a)和(b)為了證明惟一性，我們假定有兩個(gè)數(shù)和都滿足條件(a)和(b)，并且假定取要它適合因?yàn)闈M足(b)，那么當(dāng)時(shí)有但是，如果真這樣的話，就不能滿足(a)了3.18 例(a)設(shè)是包含一切有理數(shù)的序列那么，每個(gè)實(shí)數(shù)是部分極限，而且，(b)設(shè)，則 (c)對(duì)于實(shí)數(shù)序列，當(dāng)且僅當(dāng)我們用一個(gè)有用的定理來(lái)結(jié)束這一節(jié)，它的證明十分容易3.19 定理 如果是固定的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，那么，一些特殊序列現(xiàn)在，我們來(lái)計(jì)算一些常見(jiàn)序列的極限各個(gè)證明都是根據(jù)下述事

13、實(shí)：如果N是某個(gè)固定的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，而且，那么3.20 定理(a)時(shí) (b)時(shí) (c)(d)，而是實(shí)數(shù)時(shí)(e)時(shí) 證(a)?。ㄗ⒁猓@里用到實(shí)數(shù)的阿基米德性）(b)如果，令，那么，再根據(jù)二項(xiàng)式定理，于是所以如果，(b)是顯然的;如果，取倒數(shù)就可以得到結(jié)論(c)令那么，再根據(jù)二項(xiàng)式定理，從而(d)設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，從而因?yàn)椋?a)知道(e)在(d)中取級(jí)數(shù)在這章的后部，如果沒(méi)有相反的說(shuō)明，所考慮的一切序列和級(jí)數(shù)都是復(fù)數(shù)值的下面有幾條定理可以推廣到以里的元素為項(xiàng)的級(jí)數(shù)習(xí)題15提到了它們3.21 定義 設(shè)有序列，我們用表示和聯(lián)系著，作成序列，其中我們也用作為的符號(hào)表達(dá)式，或者簡(jiǎn)單地記作 (4)

14、記號(hào)(4)叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)，或只說(shuō)級(jí)數(shù)，叫做這級(jí)數(shù)的部分和如果收斂于，我們就說(shuō)級(jí)數(shù)收斂，并且記作叫做這級(jí)數(shù)的和;但是必須清楚地理解，是（部分）和的序列的極限，而不是單用加法得到的如果發(fā)散，就說(shuō)級(jí)數(shù)發(fā)散有時(shí)為了符號(hào)上的方便，我們也考慮形式像 (5)的級(jí)數(shù)如果不致于引起誤解，或者(4)與(5)的區(qū)別無(wú)關(guān)緊要時(shí)，也常常只寫(xiě)來(lái)代替它們顯然，關(guān)于序列的沒(méi)一個(gè)定定理都能按級(jí)數(shù)的語(yǔ)言來(lái)敘述（令，當(dāng)時(shí)，令）反過(guò)來(lái)也是如此雖然如此，一并考慮這兩個(gè)概念還是有益處的Cauchy準(zhǔn)則（定理3.11）可以按以下形式重新敘述：3.22 定理 收斂，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意的，存在著整數(shù)，使得時(shí) (6)特別地，當(dāng)時(shí)，(6)變作換句話

15、說(shuō)：3.23 定理 如果收斂，那么但是條件不能保證收斂例如，級(jí)數(shù)發(fā)散;至于證明，見(jiàn)定理3.28對(duì)于單調(diào)序列的定理3.14，在級(jí)數(shù)方面也有相應(yīng)的定理3.24 定理 各項(xiàng)不是負(fù)數(shù)的級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它的部分和構(gòu)成有界數(shù)列現(xiàn)在來(lái)講另一種性質(zhì)的收斂檢驗(yàn)法，即是所謂“比較驗(yàn)斂法”3.25 定理 (a)如果是某個(gè)固定的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)而且收斂，那么級(jí)數(shù)也收斂(b)如果當(dāng)時(shí)而且發(fā)散，那么也發(fā)散注意，檢驗(yàn)法(b)只能用于各項(xiàng)都不是負(fù)數(shù)的級(jí)數(shù)證 根據(jù)Cauchy準(zhǔn)則，給定了，存在著，能使時(shí)成立所以隨之也就得到(a)其次，(b)可以由(a)推出來(lái)，因?yàn)?，如果收斂，那么也?yīng)當(dāng)收斂（注意，(b)也可以由定理3.24推出來(lái)

16、）比較驗(yàn)斂法師非常有用的一個(gè)方法;為了有效地應(yīng)用它，我們必需熟悉許多已知其收斂或發(fā)散的非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一切級(jí)數(shù)之中，最簡(jiǎn)單的大約是幾何級(jí)數(shù)了3.26 定理 如果，那么如果，這級(jí)數(shù)就發(fā)散證 如果，令，就得出定理的結(jié)論當(dāng)時(shí)，得到，它顯然是發(fā)散的應(yīng)用中出現(xiàn)的許多情況是，級(jí)數(shù)的各項(xiàng)單調(diào)遞減于此，下邊的Cauchy定理特別有價(jià)值定理的明顯的特點(diǎn)是由的一個(gè)相當(dāng)“稀”的子序列，可以判斷的收斂或發(fā)散3.27 定理 假定，那么，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù) (7)收斂證 根據(jù)定理3.24，現(xiàn)在只考慮兩者的部分和是否有界就行了設(shè)，當(dāng)時(shí)， ，因此， (8)另一方面，當(dāng)時(shí)， ，因此， (9)由(8)和(9)來(lái)看，序列

17、和，或者同時(shí)有界，或者同時(shí)無(wú)界證畢3.28 定理 如果，就收斂，如果，它就發(fā)散證 如果，發(fā)散性可由定理3.23得出如果，用定理3.27，這就要看級(jí)數(shù)然而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才能夠，再與幾何級(jí)數(shù)比較一下，（在定理3.26中?。┚桶讯ɡ硗瞥鰜?lái)了我們進(jìn)一步用定理3.27來(lái)證明：3.29 定理 如果 (10)就收斂;如果，這級(jí)數(shù)就發(fā)散評(píng)注 “”表示數(shù)以為底的對(duì)數(shù)（參看第1章習(xí)題9）;這個(gè)數(shù)馬上就要定義（參看定義3.30）讓級(jí)數(shù)從開(kāi)始，是因?yàn)樽C 對(duì)數(shù)函數(shù)（第8章將要詳細(xì)的討論它）的單調(diào)性說(shuō)明是遞增的，所以是遞減的從而可以把定理3.27用于(10);這就要看， (11)于是，定理3.29就從定理3.28推出來(lái)了這

18、種（構(gòu)造級(jí)數(shù)的）方法，顯然可以繼續(xù)進(jìn)行例如 (12)發(fā)散，然而級(jí)數(shù) (13)收斂級(jí)數(shù)(12)的各項(xiàng)與(13)的各項(xiàng)差得很少但是一個(gè)發(fā)散而另一個(gè)卻收斂從定理3.28到定理3.29，然后到(12)和(13)這樣的過(guò)程，如果繼續(xù)下去，我們將得到一對(duì)一的收斂和發(fā)散的級(jí)數(shù)，它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差比(12)和(13)的更要小可能有人因此猜想，應(yīng)該有一種終極的境界，搞到一個(gè)“界限”，它把一切收斂級(jí)數(shù)和一切發(fā)散級(jí)數(shù)分在兩旁-最低限度哪怕是只考慮單調(diào)系數(shù)的級(jí)數(shù)也好“界限”這個(gè)觀念十分模糊我們所希望做出的論點(diǎn)是：不論把觀念搞得怎樣確切，這猜想還是不正確的習(xí)題11(b)和12(b)可以作為例證在收斂理論的這一方面，我們不想在深入下去于此指給讀者去看著的“Theory and Application of Infinite Series”第章，尤其是41數(shù)3.30 定義 這里時(shí)，;而因 ，所以級(jí)數(shù)收斂，而定義有意義實(shí)際上，這級(jí)數(shù)收斂的很快，從而使我們能夠把e計(jì)算的十分精密e還可以按另一極限過(guò)程來(lái)定義，它的證明對(duì)于極限的運(yùn)算提供了一個(gè)很好的說(shuō)明注意到這一點(diǎn)是有益的3.31 定理 證 設(shè)，根據(jù)二項(xiàng)式定理 因此