微分幾何第三版梅向明黃敬之編課后題答案1

1、 §4.直紋面和可展曲面 1. 證明曲面=是可展曲面.證法一： 已知曲面方程可改寫為=+v，令=，=，則=+ v，且0，這是直紋面的方程 ，它滿足=0 ,所以所給曲面為可展曲面。證法二：證明曲面的高斯曲率為零。（略）2。證明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。證法一： 曲面的方程可改寫為 =+ u，其中=cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v，=-sinv, cosv,1 ，易見0，所以曲面為直紋面，又因為=0，所以所給曲面為可展曲面。證法二：證明曲面的高斯曲率為零。（略）3證明正螺面=vcosu,vsinu,au+b

2、(a0)不是可展曲面。證法一：原曲面的方程可改寫為 =+ v，其中=0,0,au+b,=cosu,sinu,0.易見0, 所以曲面為直紋面, 又因為=a0.故正螺面不是可展曲面。證法二：證明曲面的高斯曲率為零。（略）4證明撓曲線的主法線曲面與副法線曲面不是可展曲面。證 撓曲線（C）:的主法線曲面為 ,因為=，故不是可展曲面。撓曲線（C）:的副法線曲面為 ，因為，故不是可展曲面。5。求平面族：xcos+ysin-zsin-1=0 的包絡(luò)。解 ，即 ，將此兩式平方后相加得 。這就是所求的包絡(luò)面。6求平面族的包絡(luò)。解 從中消去參數(shù)a，則得所求的包絡(luò)面為。7證明柱面、錐面、任意曲線的切線曲面是可展曲面

3、。證 柱面的方程可寫為 =+ v，（0 為常向量）因為=。故是可展曲面。錐面的方程可寫為 =+ v（為常向量），因為=0，故是可展曲面。曲線（C）:的切線曲面為 。因為=，故是可展曲面。8證明的曲面是柱面。證法： 因為，所以，又因為，因此為固定向量。從而積分得 。故曲面是柱面。 §5 曲面的基本定理1平面上取極坐標系時，第一基本形式為，試計算第二類克氏符號。解 因為，所以，。2證明高斯曲率。證 因為，而，所以，從而，故。3證明平均曲率。證 因為=-=，所以。5對于中的空間曲面來說，其中K是曲面的高斯曲率。證 因為所以，又或j=k),從而上式兩邊分別與相乘并關(guān)于m從1到2求和，則得=,

4、而故得。 注 在解題過程中省略了求和號。6證明以下公式： ； ； ；對于曲面上的等溫坐標網(wǎng)有，求證； 對于曲面上的半測地坐標網(wǎng)有，求證 。證 高斯公式的兩邊分別與相乘并關(guān)于m從1到2求和,再注意到及的定義，可得,今取i=1,j=1,k=2,l=2, 則有=故 。 因為，所以，又因為，所以=- 而 =，即 于是將，代入可得：。 因此命題得證。 因為，所以，又因為，所以 而 即 于是將，代入并整理得： 因為E=G=,F=0,所以因此命題得證。 因為E=1， F=0, G=G（u，v），所以因此命題得證。7如果曲面的第一基本形式為，計算克氏符號。解 因為 ，所以， 。 8求證第一基本形式為的曲面有常

5、高斯曲率 。 證 因為 ，所以=-=4c故所給曲面有常高斯曲率 。9求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0為第一、 第二類基本量的曲面。解 由已知條件和的定義易知=0，所以所求曲面的基本方程是 ，從第一式和第四式可得，所以，再由第二式得，因此是常向量，于是從第三式得為常向量），從而所求的方程為，而， 所以，因此又，所以再注意到，于是可以分別作為x,y,z軸上的單位向量，故所求曲面可表示為， 因此所求曲面是半徑為1的圓柱面。10證明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.證 若存在曲面滿足題設(shè)條件，則所給E,F,G,L,M,N 必須滿足在正交坐標網(wǎng)下的GCM公式

6、，但，所以不滿足高斯公式，故不存在滿足題設(shè)條件的曲面。§6 曲面上的測底線 1求正交網(wǎng)的坐標曲線的測地曲率。解 因為坐標網(wǎng)是正交的，所以F=0，故，而對u-曲線來說，=0，故，對v-曲線來說，= ，所以。2證明球面=acosucosv,acosusinv,asinu上曲線的測地曲率 其中表示曲線與經(jīng)線的交角。證 易求出E=, F=0,G=,因此=，而，故 。3求位于半徑為R的球面上半徑為a的圓的測地曲率.解法一：因為，而，所以。解法二：半徑為的圓的曲率為 ，圓上每一點處的法曲率，由知， ，所以 。解法三：任何球面上的圓都可以通過建立適當?shù)那y坐標網(wǎng)使其成為緯圓，過不妨求半徑為的緯圓的

7、測地曲率。由1題知所求即為v-線的測地曲率：=因為所考慮緯圓的半徑為 ，所以所以 。4求位于正螺面=ucosv,usin,av上的圓柱螺線（=常數(shù)）的測地曲率。解 易計算出E=1，F(xiàn)=0，G=，而（C）是一條v-曲線：u=,于是由，可知（C）的測地曲率為。5設(shè)曲面(S)上曲率線(C)，(C)上的點不是拋物點。證明(C)在點P的測地曲率的絕對值等于在(S)的球面映射下(C)的象在對應(yīng)點的測地曲率與(C)在點P的法曲率之積的絕對值。分析 本題是一個綜合應(yīng)用題，可利用球面像和測地曲率及曲率線等概念，羅德里格定理，默尼埃定理證之。證 設(shè)所給曲面(S)上曲率線(C)的方程為=，它的球面像的方程為，注意到

8、曲率線的定義及羅德里格定理，則有，其中是的弧長，即，所以 ，又因為(C)的點都不是(S)拋物點，即K0,所以，（為(S)的球面像（）的單位法向量），從而有測地曲率的定義可得，即 ，即 。6若曲面(S)上曲線(C):u = u(t),v = v(t),t為曲線(C)上的任意參數(shù)，試導(dǎo)出測地曲率的計算公式。解 由于 ，而 ，所以，所以， 又， = ， 從而，由此得到：。 7求證旋轉(zhuǎn)曲面的子午線是測地線，而平行圓僅當子午線的切線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是測地線 。 證 設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面為(S)，則易計算出E= ,于是子午線（t曲線）的測地曲率為，故子午線是測地線。又平行圓（-曲線）的測地曲率為 。所以的充要條件是

9、 ，即故平行圓僅當子午線的切線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是測地線 。 8求證 如果測地線同時為漸近線，則它是直線；如果測地線同時為曲率線，則它是一平面曲線。證 因為所給曲線是測地線，所以； 又因為所給曲線是漸近線，所以，而 ，所以k=0，故所給曲線是直線。 方法一：因所給曲線既是測地線又為曲率線，所以沿此曲線有，而，所以從而，又，所以，故所給曲線是平面曲線。方法二：因所給曲線是測地線，所以沿此曲線有，所以，又因曲線是曲率線，所以 ，所以 ，所以，故所給曲線是平面曲線。方法三：因所給曲線是測地線，所以該曲線的主法線重合于曲面的法線；因為是曲率線，所以沿此曲線曲面的法線曲面是可展曲面。從而該曲線的主法線曲面

10、是可展曲面，而撓曲線的主法線曲面不是可展曲面，因此該曲線一定是平面曲線。方法四：設(shè)是測地線，所以的主法向量（曲面的單位法向量），所以的副法向量 ；即曲線在每點處的副法向量與曲面在該點的法向量成定角，因是曲率線，所以由P114習題14知，曲線是平面曲線。9已知曲面的第一基本形式，證明它上面的測地線是uv平面上的拋物線。證 因為E=G=v,F=0,所以測地線的微分方程化為 ，于是 ，積分后得（常數(shù)），由此得 。將此式代入第二式得 ，積分后得常數(shù)），即 。故測地線在uv平面上的表示為拋物線。10求正螺面=ucosv,usin,av上的測地線。解 易計算出E=1，F(xiàn)=0，G=，所以測地線的微分方程化為

11、，對第一式積分得（常數(shù)）。于是，將此式代入第二式并積分，則得所求測地線為 。 11利用劉維爾公式證明：平面上的測地線為直線；圓柱面上的測地線為圓柱螺線。 證 方法一：由于曲面的第一基本形式可寫為，所以由利烏維公式可知，平面上的測地線的微分方程為，于是有=常數(shù)，故測地線為直線。方法二：取平面直角坐標系xoy， 平面方程為，可得，所以 。由劉維爾公式，對平面上的測地線有： = 0所以測地線的（相對曲率） = 0 ，所以測地線是直線。方法三： 如方法二得，所以是常數(shù)，所以 即測地線方程是 ，所以測地線是直線。 證法一：設(shè)圓柱面為，則易計算。所以測地線的微分方程為 = 0 ， ，所以=常數(shù)，即圓柱面上

12、的測地線為。其中，這正是圓柱面上的圓柱螺線。因此得證。證法二：設(shè)圓柱面為，則易計算。所以測地線的微分方程為所以 ， 。所以測地線為： （C1 ,C2為常數(shù)）。因為與z周成定角，所以測地線為圓柱螺線：時為是緯圓；時為是直母線。12證明：若曲面上非直線的所有測地線均為平面曲線，則它必為曲率線。證法一： 因為所給曲面曲線是非直線的測地線，所以沿此曲線有，從而，又因為曲線是平面曲線，所以，從而。因此由羅德里格定理可知曲線的切線方向為主方向，故所給曲線為曲率線。證法二：設(shè)曲面上非直線的曲線為測地線且為平面曲線。因為為測地線，所以它的主法線是曲面的法線，又因為平面曲線，所以的主法線曲面是可展曲面，于是曲面

13、沿的法線組成曲面是可展曲面，所以為曲率線。13如果曲面上引進半測地坐標網(wǎng)，。求證： 。 證明 因為E=1，F(xiàn)=0，G=，所以根據(jù)Liouville公式有，而，從而，故得 。 14給出曲面的第一基本形式為 ，如果此曲面上的測地線與u-曲線交于角時，求證 。 證 因為E=1，F(xiàn)=0，G=，所以與u-曲線交于角的測地線應(yīng)滿足微分方程組 于是有 ，故有 。 15證明：若曲面上兩族測地線交于定角，則曲面是可展曲面。 證法一： 取一族測地線為u-曲線，與其正交的測地平行線為v-曲線，在曲面上建半測地坐標網(wǎng)，則曲面的第一基本形式可寫為，由于兩族測地線交于定角（設(shè)為），所以對另一族測地線來說應(yīng)有 ，所以 ，這

14、說明G僅與v有關(guān)，于是曲面的第一基本形式可寫為，作參數(shù)變換 ，則曲面的第一基本形式化為 ，這與平面的第一基本形式一致。因此所給曲面與平面是等距的，故為可展曲面。證法二：同上得到曲面的第一基本形式為，所以曲面的高斯曲率 ，所以曲面為可展曲面。證法三：同17題利用高斯-潑涅公式證明曲面的高斯曲率處處為零，從而曲面為可展曲面。16求半徑為R的球面上測地三角形三內(nèi)角之和。解 任給半徑為R的球面上的一個測地三角形，設(shè)其邊緣為，所圍成的區(qū)域為G，則有高斯-潑涅公式可知 ，其中（i=1,2,3）是的三個內(nèi)角，而曲面的高斯曲率K= ，所以 ，故得 ，其中是測地三角形的面積。17利用高斯-潑涅公式證明若曲面(S

15、)上存在兩族交于定角的測地線，則它的高斯曲率處處為零。 證 不妨選取題設(shè)中的兩族交于定角（設(shè)為）的測地線為坐標曲線。若(S)在一點處的高斯曲率K（）0，不妨設(shè)K（）> 0,則由K的連續(xù)性可知，存在點的一個充分小的鄰域G使得K(P)>0(PG).不妨設(shè)G是由兩條u-曲線和兩條v-曲線所圍成，則由高斯-潑涅公式可知，從而可知，這與K(P)>0，從而上式左邊大于零矛盾，因此命題得證。注：如果不對證題方法有特殊要求，則用15題中的證明方法也可。18若曲面(S)的高斯曲率處處小于零，則曲面(S)上不存在圍成單連通區(qū)域的光滑閉測地線。證 若不然，則(S)上存在圍成單連通區(qū)域G的光滑閉測地線（C），于是由高斯-