新課標人教A版高中數學必修五簡單線性規(guī)劃問題專題練習

1、簡單的線性規(guī)劃問題知識點一線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件關于變量x，y的一次不等式(組)線性約束條件關于x，y的一次不等式(組)目標函數欲求最大值或最小值的關于變量x，y的函數解析式線性目標函數關于變量x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題知識點二線性規(guī)劃問題1.目標函數的最值線性目標函數zaxby (b0)對應的斜截式直線方程是yx，在y軸上的截距是，當z變化時，方程表示一組互相平行的直線.當b>0，截距最大時，z取得最大值，截距最小

2、時，z取得最小值；當b<0，截距最大時，z取得最小值，截距最小時，z取得最大值.2.解決簡單線性規(guī)劃問題的一般步驟在確定線性約束條件和線性目標函數的前提下，解決簡單線性規(guī)劃問題的步驟可以概括為：“畫、移、求、答”四步，即，(1)畫：根據線性約束條件，在平面直角坐標系中，把可行域表示的平面圖形準確地畫出來，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的無限大的平面區(qū)域.(2)移：運用數形結合的思想，把目標函數表示的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點(或邊界)便是最優(yōu)解.(3)求：解方程組求最優(yōu)解，進而求出目標函數的最大值或最小值.(4)答：寫出答案.例題講解：已知實數x，y滿足(1)求2

3、xy的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.由得A(1，2).由得M(2，3).由得B(2，1)(1)z2xy，y2xz.當直線y2xz經過可行域內的點M(2，3)時，直線在y軸上的截距最大，z也最大，此時zmax2×237.當直線y2xz經過可行域內的點A(1，2)時，直線在y軸上的截距最小，z也最小，此時zmin2×124. 2xy的最大值為7，最小值為4.(2)過原點(0，0)作直線l垂直于直線xy30，垂足為N，則直線l的方程為yx.由得N.點N在線段AB上，也在可行域內，此時可行域內

4、的點M到原點的距離最大，點N到原點的距離最小.又|OM|，|ON|，即，x2y2的最小值為，最大值為13.(3)表示可行域內一點(x，y)與定點O(0，0)連線的斜率，知kOBkOA，即2，的最大值為2，最小值為.題型一：求線性目標函數的最值問題1、 已知x、y滿足約束條件，則zx2y的最大值是3解析畫出可行域(如圖陰影部分所示)畫直線l0：x2y0，平移直線l0到直線l的位置，直線l過點M解方程組，得點M(1,2)當x1，y2時，z取得最大值，且zmax12×232、已知變量x，y滿足約束條件則zx2y的最大值為1解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的ABC及其內部，其中A(1

5、，1)，B(2，1)，C(1，0)，設zF(x，y)x2y，將直線l：zx2y進行平移，當l經過點C時，目標函數z達到最大值，z最大值F(1，0)13、設變量x，y滿足約束條件則目標函數z3xy的最大值為4.解析作出可行域，如圖所示.聯立解得當目標函數z3xy移到(2，2)時，z3xy有最大值4.4、已知實數x，y滿足約束條件則z2x4y的最大值為8.解析由不等式組表示的可行域知，目標函數z在點A(0，2)處取得最大值8.5、設變量x，y滿足約束條件則目標函數zy2x的最小值為7解析可行域如圖陰影部分(含邊界).令z0，得直線l0：y2x0，平移直線l0知，當直線l過D點時，z取得最小值.由得

6、D(5，3).zmin32×57.6、若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是2，6解析如圖，作出可行域，作直線l：x2y0，將l向右上方平移，過點A(2，0)時，有最小值2，過點B(2，2)時，有最大值6，故z的取值范圍為2，6.7、設x，y滿足求xy的取值范圍.解如圖，zxy表示直線過可行域時，在y軸上的截距，當目標函數平移至過可行域A點時，z有最小值.聯立解得A(2，0).z最小值2，z無最大值，xy2，).8、已知O是坐標原點，點A(1，1)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是0，2解析作出可行域，如圖所示，因為·xy.所以設zxy

7、，作l0：xy0，易知過點P(1，1)時，z有最小值，zmin110；過點Q(0，2)時，z有最大值，zmax022，所以·的取值范圍是0，2.9、設x、y滿足約束條件，則z2x3y5的最小值為_10_解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知當z2x3y5經過點A(1，1)時，z取得最小值，zmin2×(1)3×(1)51010、在ABC中，三個頂點分別為A(2,4)、B(1,2)、C(1,0)，點P(x，y)在ABC的內部及其邊界上運動，則yx的取值范圍為_1,3_解析畫出三角形區(qū)域如圖，易知kAB<1，令zyx，則yxz，作出直線l0：

8、yx，平移直線l0，當經過點C時，zmin1，當經過點B時，zmax3，題型二：非線性目標函數的最值1、變量x，y滿足條件則(x2)2y2的最小值為5解析作出不等式組對應的平面區(qū)域，設z(x2)2y2，則z的幾何意義為區(qū)域內的點到定點D(2，0)的距離的平方，由圖象知CD的距離最小，此時z最小.由得即C(0，1)，此時z(x2)2y2415，2、已知x，y滿足約束條件則目標函數z的最大值為5解析x，y滿足約束條件表示的可行域如圖：目標函數z4×，目標函數的幾何意義是可行域的點與(2，1)連線斜率的4倍，由題意可知：DA的斜率最大.由可得A(2，4)，則目標函數z的最大值為：5.3、實

9、數x，y滿足則z的取值范圍是1，1)解析作出可行域，如圖所示，的幾何意義是點(x，y)與點(0，1)連線l的斜率，當直線l過B(1，0)時kl最小，最小為1.又直線l不能與直線xy0平行，kl1.綜上，k1，1).4、已知則x2y2的最小值是5解析令zx2y2，畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，令d，即可行域中的點到原點的距離，由圖得dmin，zmind25.5、在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是_解析本題考查不等式組表示平面區(qū)域及點到直線距離問題不等式組所表示平面區(qū)域如圖，由圖可知|OM|的最小值即O到直線xy20的距離故|OM|的最小值為

10、6、設x，y滿足約束條件則的最大值是()解析畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)，z2，的幾何意義是點M(1，1)與可行域內的點P(x，y)連線的斜率，當點P移動到點N(0，4)時，斜率最大，最大值為5，zmax2×510.故選D.7、已知，求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的范圍.（3）z|x2y4|的最大值解析 作出可行域如圖，并求出頂點的坐標A(1,3)，B(3，1)，C(7,9)(1)zx2y210y25x2(y5)2表示可行域內任一點(x，y)到定點M(0,5)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故z的最小值是|MN|2.(2)z2

11、3;表示可行域內任一點(x，y)與定點Q連線的斜率的2倍，因為kQA，kQB，故z的范圍為.（3）作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示法一：z|x2y4|×，其幾何意義為陰影區(qū)域內的點到直線x2y40的距離的倍由得點B的坐標為(7,9)，顯然點B到直線x2y40的距離最大，此時zmax21.法二：由圖可知，陰影區(qū)域(可行域)內的點都在直線x2y40的上方，顯然此時有x2y4>0，于是目標函數等價于zx2y4，即轉化為一般的線性規(guī)劃問題顯然當直線經過點B時，目標函數z取得最大值，由得點B的坐標為(7,9)，此時zmax21.題型三：由目標函數的最值求參數的值1、已知實數

12、x，y滿足如果目標函數zxy的最小值為1，則實數m等于5解析作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由目標函數為zxy，得yxz，當z1時，函數為yx1，此時對應的平面區(qū)域在直線yx1的下方，由解得即A(2，3)，同時A也在直線xym上，即m2352、在平面直角坐標系中，不等式組(a為正常數)表示的平面區(qū)域的面積是4，求2xy的最大值解析由題意得：S×2a×a4，a>0，a2設z2xy，y2xz，由，得(2,2)，即z在(2,2)處取得最大值63、在如圖所示的坐標平面的可行域內(陰影部分且包括邊界)，目標函數zxay取得最小值的最優(yōu)解有無數個，則a的一個可能值為-3解析若最優(yōu)

13、解有無數個，則yx與其中一條邊平行，三邊斜率分別為，1，0與對照知a3或a1.又因為zxay取最小值，則a3.4、已知x，y滿足約束條件使zxay(a0)取得最小值的最優(yōu)解有無數個，則a的值為1解析如圖，作出可行域，作直線l：xay0，要使目標函數zxay(a0)取得最小值的最優(yōu)解有無數個，則將l向右上方平移后與直線xy5重合，故a15、若x、y滿足約束條件，目標函數zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是(4,2)解析作出可行域如圖所示，由已知可得：1<<2，即4<a<26、已知變量x，y滿足的約束條件為若目標函數zaxy(其中a0)僅在點(3,0)處

14、取得最大值，求a的取值范圍解析 依據約束條件，畫出可行域直線x2y30的斜率k1，目標函數zaxy(a0)對應直線的斜率k2a，若符合題意，則需k1k2.即a，得a.7、x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數a的值為2或1解析 如圖，由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a0時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當a2時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.8、若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最小值為6，則k2解析如圖，畫出可行域，l0：2xy0，當l0：2xy0運動到過點A(k，k)時，目標函數取得最小值6，所以2kk6，k2.題型

15、四：線性規(guī)劃的實際應用1、某公司計劃2019年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300 min的廣告，廣告費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/min和200元/min.已知甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？解設公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為x min和y min，總收益為z元.由題意，得目標函數z3 000x2 000y.二元一次不等式組等價于作出可行域如圖陰影部分所示，當直線z3 000x2 000y過點M時，z最大.由得M(100，200).所以zmax3 000×1002 000×200700 000(元)70(萬元).所以該公司在甲電視臺做100 min廣告，在乙電視臺做200