泛函分析基礎 劉培德 科學出社

1、課后習題1解答：當時，不滿足正定性，在下不是度量空間， 當時，滿足正定性，對稱性，不滿足三角不等式，故在下不是度量空間， 當時，滿足正定性，對稱性和三角不等式，故在下是度量空間， 若令，僅當時，滿足范數的正定性，正齊次性和三角不等式，故此時在下是賦范空間。2證明：Part 1：是度量空間，且當且僅當，當且僅當，滿足正定性；，滿足對稱性；滿足三角不等式，綜上是度量空間。Part2：由是度量空間，且當且僅當，當且僅當，滿足正定性；，滿足對稱性；滿足三角不等式，綜上是度量空間。4證明：設，先證必要性，即當收斂于時，依坐標收斂于。設在中收斂于，即由，故對，即依坐標收斂于；充分性，設依坐標收斂于，即任意

2、， 收斂于綜上所述，在中收斂于等價于依坐標收斂于。5(1)證明：設是線性空間中任意的凸集族，則任取，及，則由是凸集，是凸集，即任意多個凸集之交是凸集。(2)證明：任取，及，則，由于是凸集，故也是凸集。(3)設是凸集，任取及，由于，是凸集，即，故凸集經平移后得到的集合也是凸集。(4)僅證，暫不證明。任取，及，若，由是凸集，若，則存在，由是凸集，由若,則存在，由是凸集，由綜上當是凸集時，也是凸集。(5) 在一般度量下，兩凸子集和的并集不是的凸集。6 (1) 證明：任取則存在由是線性映射，對任意，由是凸集，是凸集。(2) 證明：任取則存在由是線性映射，對任意，由是凸集，是凸集。(3)由P29線性算子

3、是一一的當且僅當，故只需證當且僅當對中每個線性無關集，是中的線性無關集。必要性：由，及的某個線性無關集，假如不是中的線性無關集，則存在中的線性無關序列， 線性相關，即存在不全為零的，由是線性算子，因，這與是線性無關序列矛盾，故假設不成立；充分性，假若，則存在，此時是中線性無關集，是中線性相關集，這與中每個線性無關集的像是中線性無關集矛盾，故假設不成立，得證。7(1)證明：左，右任取左，則有以下幾種情況若，則右；若，則中存在收斂于，中存在收斂于，故，且收斂于，故右；若，則中存在收斂于，故，且收斂于，故右；若，證法同上，易得右綜上，左右得證。(2) 是開集是開集證明：任取，則，由于是開集，故存在，

4、故，即也是開集任取，則，由于是開集，故存在，故，即是開集，得證?；蜃C： 是開集任取，存在 任取，存在是開集是閉集是閉集證明：是閉集任取點列，且，則 任取點列，且，則是閉集(3)證明：不妨設是開集，由(2)知也是開集，由于任意開集的并集仍然是開集，故是開集。(4)證明：由由，得證。8(1)證明：任一集合，若，由空集既開且閉，故是開集若，則有，是開集由上知任一集合是開集，故的補集是開集，由的補集是開集知是閉集綜上，任一集合既是開集也是閉集。(2) 若，則當時，故對當時，由，故13證明：由內積空間中具有平行四邊形公式故再由，故18 完備度量空間的每個閉子空間是完備子空間。證明：設是一個完備度量空間，

5、是它的任一閉子空間。任取的一個Cauchy列，由，也是的Cauchy列，由完備，故由是閉集，故，完備。度量空間的每個完備子空間是閉子空間。證明：設是一個度量空間，是它的任一完備子空間，往證是閉集。任取的一個點列，且由于完備，故，是閉集。19證明：不妨設是的可數無窮Hamel基，令，則是的單位可數無窮Hamel基，令，則是的Cauchy列(顯然易證)，(由Hamel基的定義)，故不完備。20證明：是有界集，是收斂級數。21(1)X具有Baire性質(2)X中可數多個無處稠密閉集之并其內點是空集(3)X中每個非空開集是第二綱的(4)X中每個第一綱集合的余集在X中稠密注： E在X中稠密若 E在X中無

6、處稠密指若E是第一綱集指E可以寫成至多可數多個無處稠密集的并。X具有Baire性質指若X中可數多個稠密開集之交仍在X中稠密。命題：無處稠密閉集的補集是稠密開集。稠密開集的補集是無處稠密閉集。證明：開集和閉集互為補集是顯然的。是X中的無處稠密閉集是X中的稠密開集證明：設是X中可數個無處稠密閉集族，則是X中可數個稠密開集族，由(1)知它是可數個稠密開集之交，由Baire性質它在X中稠密，即。反證法，假設X中存在一個非空開集A不是第二綱集，是第一綱集，則存在X中至多可數稠密集，無處稠密即，顯然是X的無處稠密閉集，由(2)知， 而由A是非空開集知，這與前面的結論矛盾，故假設不成立。設A是X的任一第一綱集，則由(3)即A的補集在X中稠密。設是X的可數個稠密開集，則是開集，它的補集是閉集，即是X的無處稠密集，是X的第一綱集，由(4)知它的余集在X中稠密，即在X中稠密。證畢。24證明：已知連續(xù)Y中任一閉(開)集的原像是X中的閉(開)集。 故只需證Y中任一閉集的原像是X中的閉集每個必要性：是Y中的閉