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文檔簡介
1、平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)案例分析平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)案例分析課題平面向量的坐標(biāo)運算主要分析研究兩類問題:(一)、平面向量的坐標(biāo)和平面向量的坐標(biāo)運算(二)、以情境教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力,履行“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育思想。下面從三個方面闡述這節(jié)課。第一方面:教材分析本節(jié)的授課內(nèi)容為平面向量的坐標(biāo)運算,選自全日制普通高級中學(xué)教科書(必修)數(shù)學(xué)第一冊(下)第五章第四節(jié),下面從四個方面進(jìn)行教材分析。1、教材的地位和作用平面向量的坐標(biāo)將平面向量和一對有序?qū)崝?shù)建立了一一對應(yīng)關(guān)系;平面向量的坐標(biāo)運算,則使向量的運算完全數(shù)量化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來,為用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁。這樣,
2、用向量的方法解決幾何問題更加方便,從而極大地提高了學(xué)生利用向量知識解決實際問題的能力。同時,這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程對進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納問題的能力具有重要意義。2、教材的處理結(jié)合教參和學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,將平面向量的坐標(biāo)運算安排了2課時。本節(jié)為第一課時。根據(jù)目前學(xué)生的狀況和以往的經(jīng)驗,雖然這節(jié)課的內(nèi)容比較簡單,但由于老師講解的過多,導(dǎo)致學(xué)生丟失了很多重要的知識。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,在平面向量基本定理為背景下,以問題情境創(chuàng)設(shè)復(fù)習(xí)提問的形式,引出平面向量的坐標(biāo)的定義;以討論的形式得出平面向量坐標(biāo)運算的規(guī)律,直接切入本節(jié)課的知識點。之后,由淺入深,由低到高地設(shè)計了三個層次的問題,逐步加
3、深學(xué)生對平面向量的坐標(biāo)的記憶和理解。由此,對教材的引入、例題和練習(xí)做了適當(dāng)?shù)难a充和修改。3、教學(xué)重點與難點根據(jù)學(xué)生現(xiàn)狀、教學(xué)要求以及教材內(nèi)容,確立本節(jié)課的教學(xué)重點為:明確平面向量的坐標(biāo)和點的坐標(biāo)的關(guān)系并熟練地掌握平面向量的坐標(biāo)運算。由學(xué)生的實際情況運用所學(xué)知識分析和解決實際問題的能力較差,把本節(jié)課的難點定為:平面向量的坐標(biāo)運算的應(yīng)用。要突破這個難點,關(guān)鍵在于緊扣平面向量的坐標(biāo)運算的相關(guān)知識,利用情境去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。4、教學(xué)目標(biāo)的分析根據(jù)教學(xué)要求,教材的地位和作用,以及學(xué)生現(xiàn)有的知識水平和數(shù)學(xué)能力,把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為三個方面:(1)知識教學(xué)目標(biāo):理解向量的坐標(biāo)表示法與平面向量和一對有
4、序?qū)崝?shù)的一一對應(yīng)關(guān)系;能準(zhǔn)確表述平面向量的坐標(biāo)運算的規(guī)律;并掌握用平面向量的坐標(biāo)運算解決平面幾何問題的方法。(2)能力訓(xùn)練目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納的能力及創(chuàng)新能力;培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的方法去分析和解決問題的能力。(3)德育滲透目標(biāo):通過學(xué)習(xí)平面向量的坐標(biāo)運算,實現(xiàn)幾何與代數(shù)的完全結(jié)合,讓學(xué)生明白:知識與知識之間,事物與事物之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化;通過例題及練習(xí)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力,養(yǎng)成勤于動腦,明辨是非的學(xué)習(xí)作風(fēng)。第二方面:教法與學(xué)法分析數(shù)學(xué)家喬治·波利亞指出:“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn),因為這種發(fā)現(xiàn),理解最深,也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系
5、?!边@里所說的“發(fā)現(xiàn)” ,其實就是學(xué)生在自主探索過程中,根據(jù)自己的思維方式和體驗對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行“再創(chuàng)造” 。教學(xué)實踐證明,學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”時能最大限度地發(fā)揮主觀能動性和創(chuàng)造性,并從中學(xué)習(xí)探索的方法,體驗成功的樂趣,激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此本節(jié)課采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”來組織課堂教學(xué),為學(xué)生提供自主探索、實現(xiàn)“再創(chuàng)造”的機會,突出學(xué)生的主體作用。教學(xué)活動是教與學(xué)的有機統(tǒng)一。在教學(xué)過程中,要緊緊抓住“學(xué)”這個中心。根據(jù)本節(jié)課的特點,以“講練結(jié)合”為主題的課堂情境,以“教為主導(dǎo),學(xué)為主體,練為主線” 為教學(xué)原則,通過提問歸納講練討論總結(jié)的教學(xué)程序,循序漸進(jìn)借助情境地將問題逐步引向深入,并借助于計算機課件
6、輔助教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)的全過程。第三方面:教學(xué)過程:共分為六個環(huán)節(jié),具體的時間安排如下:復(fù)習(xí)提問約3分鐘,導(dǎo)入新課約5分鐘,創(chuàng)設(shè)問題約25分鐘,小結(jié)約5分鐘,布置作業(yè)約2分鐘。第1環(huán)節(jié)、復(fù)習(xí)提問(問題情境):(1)什么是向量的基底?(2)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么?(3)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點與一對有序?qū)崝?shù)存在什么樣的關(guān)系?課堂教學(xué)論認(rèn)為:“要使教學(xué)過程最優(yōu)化,首先要把所學(xué)習(xí)的知識和學(xué)生已有的信息聯(lián)系起來” ,這三個問題的復(fù)習(xí)就可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新的知識前,已擁有適當(dāng)?shù)闹R積累。第2環(huán)節(jié)、導(dǎo)入新課:分為兩步。第一步:以平面向量基本定理為背景,我首先引入平面向量的坐標(biāo)的定義在直角坐標(biāo)系x
7、oy內(nèi),分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量i、j。在xoy平面上任作一向量a,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序數(shù)對(a1, a2),,使得a= a1i+ a2j, y a a
8、(a1, a2)叫做向量a在直角坐標(biāo)系xoy中的坐標(biāo), 記作a= (a1, a2)
9、160; 其中a1叫做在x軸上的坐標(biāo)分量,
10、0; a2叫做在y軸上的坐標(biāo)分量, o a x i、j是直角坐標(biāo)平面上的基底。
11、160; 顯然 0=(0,0) i=(1,0) j=(0,1)
12、160; 為了幫助學(xué)生更好地理解向量的坐標(biāo),我提出了一個問題:經(jīng)過討論,由師生共同總結(jié)出下面兩點。問題:平面向量坐標(biāo)表示的實質(zhì)是什么?(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi),每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示; 即向量(x,y) 向量 點A(x,y)(2)相等的向量其坐標(biāo)相同,同樣坐標(biāo)相同的向量是相等的向量P111例題1 (口答) 為加深學(xué)生對向量坐標(biāo)的記憶和理解,我安排了P111例題1。學(xué)生
13、以口答的形式完成,既節(jié)約時間,也活躍了課堂氣氛。第二步: 在學(xué)生已完全掌握了平面向量的坐標(biāo)之后,我提出了兩個問題 問題1、 已知a= a1i+ a2j, b= b1i+ b2j,(i, j為直角坐標(biāo)系的基底)1則a,b 的坐標(biāo)為-2求a+b,a-b,a3求a+b,a-b,a的坐標(biāo)問題2已知A( x1,y1)B( x2,y2)1則 OA, OB 的坐標(biāo)分別為-2 化簡 OB
14、0;-OA3求 AB的坐標(biāo)這兩個問題由師生共同練習(xí)完成。通過師生間的討論,相互啟發(fā),相互合作,達(dá)到溫故知新的目的,也由低級到高級的認(rèn)識順序引出本節(jié)課的知識點,這很自然,學(xué)生比較容易接受。同時激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面向量的坐標(biāo)運算規(guī)律的強烈欲望。第3環(huán)節(jié)、創(chuàng)設(shè)問題情境這是本節(jié)課的核心,根據(jù)循序漸進(jìn)、由淺入深的教學(xué)原則,設(shè)計了三個層次的問題。第一層次:先由師生共同歸納總結(jié)由問題1、2得出的結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納的能力。由問題1我們得到結(jié)論1a+b=(a1 +b1 , a2+ b2)a-b=(a1 -b1
15、160; , a2- b2)a =(a1 , a2)用語言敘述為:兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。數(shù)乘向量積的坐標(biāo)等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積由問題2我們得到結(jié)論2AB =( x2 -x1 , y2-y1)用語言敘述為:一個向量的坐標(biāo)等于向量終點的坐標(biāo)減去始點的相應(yīng)坐標(biāo)。這兩個結(jié)論是向量直角坐標(biāo)運算的規(guī)律,為本節(jié)的知識點,為加深認(rèn)識,我又安排了練習(xí)1練習(xí)1、(口答)下列的說法是否正確(1)已知向量a=(-2,4),
16、 b=(5,2)則12a=(-6,4),2b=(5,4) ( )22a(-4,8)
17、60; ( )(2)已知A(2,1),B(3,8),則 AB =(-1,-7) ( )第(1)題中的1讓學(xué)生注意數(shù)乘向量積的坐標(biāo)等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積2提醒學(xué)生區(qū)分點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo),兩者是不同的概念。第(2)題讓學(xué)生明確一個向量的坐標(biāo)等于向量終點坐標(biāo)減去始點的相應(yīng)坐標(biāo)第二層次:設(shè)計練習(xí)2、3、4練習(xí)2、已知向量a,b求 a +b,a-b
18、160;,3a+ 4b, 4a- 4b 的坐標(biāo)(1) a=(-2,4),b=(5,2)(2) a=(4,3),b=(-3,8)練習(xí)3、已知A(2,1),B(3,8),則求 AB練習(xí)4、已知A(2,3),B(4,5),C(6,8)(1)若 3 AB = DC,求D點的坐標(biāo)(2)求 2 AB - 3 AC + 2 BC這組練習(xí)由學(xué)生獨立完成。目的是
19、使學(xué)生進(jìn)一步掌握平面向量的坐標(biāo)運算和向量相等的條件,也體會到對于兩個向量相加減的坐標(biāo)運算法則可以推廣到有限個向量相加減。對于練習(xí)4中的第(2)題讓學(xué)生認(rèn)識到先進(jìn)行向量運算幾何形式的化簡,再進(jìn)行代數(shù)運算比較好,也感受到幾何與代數(shù)的密不可分。第三層次:遵循深入淺出的教學(xué)原則,我安排了例題2,這是本節(jié)課重點知識的應(yīng)用。例題2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是A(2,1)、B(1,3)、C(3,4),求頂點D的坐標(biāo)。 B
20、0; y C
21、160;
22、160; E &
23、#160; A D
24、; O
25、0; x
26、60; 例題2有多種解法,除了課本中給出的由向量線性運算的幾何形式向代數(shù)形式轉(zhuǎn)化的方法之外,還可以利用向量 AB = DC 或 AD = BC列方程,也可以利用線段AC,BD的中點E的向量表達(dá)式進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化求出D點的坐標(biāo)。但不論哪一種解法都用到了一個很重要的數(shù)學(xué)方法-數(shù)形結(jié)合。講這個題時,目的是引導(dǎo)學(xué)生熟練地轉(zhuǎn)化向量線性
27、運算的幾何形式和代數(shù)形式,其它的方法則只是給予了提示,讓學(xué)生以小組討論的形式完成。給學(xué)生留出空間,開闊思路,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。老師以巡視的方式進(jìn)行個別引導(dǎo),并代表性地抽取學(xué)生上黑板演示,讓學(xué)生動手實踐、自主探索、合作交流,圍繞中心各抒己見,把思路方法弄清,并使集體智慧個人化,書本知識靈活化,同時培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力和團結(jié)協(xié)作的精神,親身體會“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非。”(華羅庚語),從而提高學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法解決實際問題的能力。第4環(huán)節(jié)、小結(jié):為了讓學(xué)生將獲得的知識進(jìn)一步條理化、系統(tǒng)化,同時培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力及練習(xí)后進(jìn)行再認(rèn)識的能力,教師引
28、導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié):(1)平面向量的坐標(biāo)表示是向量的代數(shù)表示形式,其背景是平面向量的基本定理;(2)平面向量的坐標(biāo)運算規(guī)律:兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。數(shù)乘向量積的坐標(biāo)等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積一個向量的坐標(biāo)等于向量終點的坐標(biāo)減去始點的相應(yīng)坐標(biāo)(3)平面向量的坐標(biāo)表示使得我們可以通過數(shù)的運算來研究圖形的幾何性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法;第5環(huán)節(jié)、布置作業(yè):為了讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課內(nèi)容,提高自覺學(xué)習(xí)的能力,根據(jù)本節(jié)課的重點、難點和設(shè)計作業(yè)時“基礎(chǔ)性、靈活性、延伸性”的特點,我設(shè)計了必做題和選做題,這是為了在面向全體學(xué)生的基礎(chǔ)上,讓學(xué)有余力的學(xué)生充分發(fā)揮了其特長和潛能。必做題:1、課本P 114:習(xí)題5.4 1(1)、2、3、4、7(2)2、思考題:3a與a的坐標(biāo)有什么關(guān)系,位置有什么特點?選做題:(將例題2改為)已知平行四邊形的三個頂點坐標(biāo)分別是A(2,1)、B(1,3)、C(3,4),求第四個頂點D的坐標(biāo)。必做題中,一部分用來鞏固平面向量的坐標(biāo)運算,另一部分則讓學(xué)生進(jìn)一步掌握平面向量的坐標(biāo)運算的應(yīng)用,思考題又為下一節(jié)課的內(nèi)容埋下伏筆。選作題,因為平行四邊形四點的順序沒有給出,所以應(yīng)分三種可能討論,它是例題2的延伸。第6環(huán)節(jié)、板書設(shè)計 :板書設(shè)計是一種重要的教學(xué)輔助手段,也是課堂教學(xué)中不可少的重要組成部分。在黑板中上方
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