群論初步習(xí)題

1、第十二章 群論簡介習(xí)題§12.1群的定義和例子設(shè)為一切不等于零的有理數(shù)所成的集合，證明對于數(shù)的乘法作成一個(gè)群【證明】）任意兩個(gè)非零的有理數(shù)的乘積為非零有理數(shù)，故對數(shù)的乘法封閉；）數(shù)的乘法結(jié)合律對一切數(shù)都成立，自然對也成立；）是非零有理數(shù)，且對任何一個(gè)非零有理數(shù)a，說明是的單位元素；）對任意的非零有理數(shù)a，則是非零有理數(shù)，且，說明a的逆元是，根據(jù)群的定義，即知集合對數(shù)的乘法作成一個(gè)群是由a，b，c三個(gè)元素所作成的集合，它的乘法表是abcabcabcbcacab判別是否成群？【解】由乘法表容易看到，對規(guī)定的乘法是封閉的，a是的單位元素，a、b、c的逆元分別是a、c、b以下只要證明結(jié)合律成

2、立即可因?yàn)?ab)cbca，a(bc)aaa，故(ab)ca(bc)；同法可知a(cb)(ac)ba，(ba)cb(ac)a，(bc)ab(ca)a，(ca)bc(ab)a，(cb)ac(ba)a，以上個(gè)式子說明結(jié)合律對規(guī)定的乘法是成立的，因此對規(guī)定的乘法作成一個(gè)群證明下列四個(gè)方陣，對于矩陣乘法作成一個(gè)群，寫出的乘法表是否循環(huán)群？是否交換群？，【證明】先寫出乘法表由乘法表看出，集合，對矩陣乘法封閉，結(jié)合律對任何矩陣的乘法滿足，自然對中的矩陣也滿足，而矩陣是單位元，元素、的逆元素分別是它們自身，故對矩陣的乘法作成群但（），（），（），（），它們都不等于，從而不是循環(huán)群由乘法表的對稱性，可知群是一

3、個(gè)交換群§12.2置換群求置換的乘積：【解】把置換表為輪換的乘積：（），【解】；（）【解】證明：（）；（）設(shè)，為兩個(gè)不相交的輪換，則【證明】（）,（恒等變換）同理可證，所以（）設(shè)，其中沒有相同的數(shù)字則 .寫出四次對稱群的所有置換【解】四次對稱群的全體置換（共個(gè)）用輪換的形式表示就是：（）；（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（）（）；（）（），（）（），（）（）§12.3子群及其陪集求出三次對稱群的所有子群【解】，它的平凡子群為單位元群及本身；其階子群有個(gè)，即，；三階子群只有個(gè)，即，由拉格朗日定理，不可

4、能有其它階數(shù)的真子群，因此以上所列就是的所有子群證明：階為質(zhì)數(shù)的群一定是循環(huán)群【證明】設(shè)群的階為質(zhì)數(shù)p，則必含有周期大于的元素，不妨設(shè)為a，其周期為m，故由a生成的循環(huán)群（a）是群的子群，其階數(shù)為m，由拉格朗日定理知，m整除p，但p是質(zhì)數(shù)，故mp，從而（a），即是循環(huán)群證明：階為質(zhì)數(shù)冪的群中包含一個(gè)階為p的子群【證明】設(shè)群的階為，因p為質(zhì)數(shù)，故群含有非單位元素a設(shè)a的周期為n，由拉格朗日定理的推論，知n整除，即，若r，則循環(huán)群（a）是的p階子群；若，那么循環(huán)群（）是的p階子群證完證明：循環(huán)群的子群也是循環(huán)群【證明】設(shè)是循環(huán)群，是其子群若是單位元群，則顯然，故結(jié)論成立下面討論不是單位元群的情況若

5、（），其中不是單位元，是的子群，但不是單位元群，那么中必含有m的冪不妨就設(shè)是中a的最小正冪，顯然包含的任何乘冪若是中的任意元素，由stmr，可知也是中的元素，但m是最小正整數(shù)，而且，故r，于是，這就是說，中的任意元素都是的冪，即只含有的任意乘冪，所以是由生成的循環(huán)群，即（）這樣就證明了命題證明：群的一個(gè)元素a是恒等元的充分必要條件為a適合關(guān)系【證明】必要性是顯然的下面只證充分性設(shè)群的恒等元為e，由于，在關(guān)系式兩端同時(shí)乘a的逆元，有而，所以，即a是群的單位元§12.4共軛類與子群設(shè)，求【解】使用教材頁的方法，對置換的上下兩行分別施行置換，得設(shè)四階群，的乘法表為求出的所有共軛類【解】由的

6、乘法表看出，群是可換群，故群的每一個(gè)元素就是一個(gè)共軛類即群有四個(gè)共軛類：，證明：指數(shù)為的子群一定是正規(guī)子群【證明】設(shè)為群的子群，由于：，則群按子群的左分解為按的右分解為，其中因此，即對任意的，都有若，則，即顯然成立依正規(guī)子群的定義，是正規(guī)子群證明：交換群的每一個(gè)子群都是正規(guī)子群【證明】設(shè)為交換群，為的子群，則對任意的，都有，即，所以是正規(guī)子群求四次對稱群的所有共軛類【解】由§的習(xí)題，知的所有置換（共個(gè)）為（）；（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（）（）；（）（），（）（），（）（）再由教材頁的定理，具有相同的輪

7、換結(jié)構(gòu)的置換必共軛，知共有個(gè)共軛類，即上面的每一行的置換組成一個(gè)共軛類§12.5點(diǎn)群證明：點(diǎn)群含有三個(gè)共軛類【證明】點(diǎn)群有一個(gè)三重軸（取為z軸）及三條二重軸（與z軸垂直），其元素為，其中,這個(gè)群的乘法表為 由教材頁例給出的方法，可知：屬于一個(gè)共軛類這是因?yàn)橛泄餐男D(zhuǎn)軸，而變換即保持它不變屬于另一個(gè)共軛類因?yàn)橹灰髯儞Q或，反映的對稱平面即可互相轉(zhuǎn)化而是恒等變換，它單獨(dú)成一類 所以兩面體群共有三個(gè)共軛類求出點(diǎn)群的元素和它的乘法表【解】把反映加到旋轉(zhuǎn)群上去，并用分別乘，即得點(diǎn)群它的乘法表為注意上述乘法表使用了可換性設(shè)為以原點(diǎn)為對稱中心的反演，證明是一個(gè)群【證明】寫出的乘法表則顯然是一個(gè)群

8、§126同構(gòu)對應(yīng)和同態(tài)對應(yīng)證明：三次對稱群與點(diǎn)群兩面體群同構(gòu)【證明】三次對稱群元素為（），（），（），（），（），（）其乘法表為而的乘法表為（上節(jié)習(xí)題）：作從對應(yīng)到的對應(yīng)：，比較兩個(gè)群，發(fā)現(xiàn)它們有共同的乘法表，故與同構(gòu)證明：點(diǎn)群與點(diǎn)群同構(gòu)【證明】點(diǎn)群與點(diǎn)群，它們的乘法表分別為 作兩個(gè)群之間的對應(yīng)：則由兩個(gè)群的乘法表可知，是一個(gè)同構(gòu)對應(yīng)，從而點(diǎn)群與點(diǎn)群同構(gòu)證明：點(diǎn)群與下面的矩陣乘群同構(gòu)，【證明】的乘法表參見教材頁作矩陣乘群的乘法表，作與矩陣乘群之間的一一對應(yīng)：比較它們的乘法表，知與矩陣乘群同構(gòu)證明：群的子群與每一個(gè)左陪集之間存在對應(yīng)【證明】假如，則下面分兩種情況討論）的情形，此時(shí)有，則

9、的元素與自身的對應(yīng)（即恒等對應(yīng)）就是一個(gè)一一對應(yīng)；）的情形，作到的對應(yīng)，則可證是一一對應(yīng)事實(shí)上，對中不同的元素，則它們的象，否則將會(huì)有，這說明不同元素的象也不同，即是一個(gè)單射；另一方面，如果ah是aH的一個(gè)元素，則按aH的定義，即知是的一個(gè)原象，這說明是從到上的對應(yīng)，即是一個(gè)滿射，從而是一一對應(yīng)綜上所述，與之間存在對應(yīng)證明：存在一個(gè)從點(diǎn)群到點(diǎn)群上的同態(tài)對應(yīng)【證明】點(diǎn)群和點(diǎn)群的乘法表分別是作對應(yīng)，則，表示中的任意一個(gè)變換，注意到兩個(gè)群都是交換群，故是從點(diǎn)群到點(diǎn)群的一個(gè)同態(tài)對應(yīng)證明：除同構(gòu)對應(yīng)外，只有兩個(gè)四階群【證明】設(shè)四階群，則由拉格朗日定理的推論，即知群的元素的周期只能是或或，但a，b，c的周期不能是，故它們的周期必為或） 若a，b，c之中有一個(gè)元素（比如說a）的周期