自考高等數(shù)學(xué)(一)精講第四章

1、第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1微分中值定理費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域上有定義，并在可導(dǎo)，如果（或） 則一、羅爾(Rolle)定理1.羅爾 （Rolle）定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即。2.幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線是水平的。例1.判斷函數(shù)，在-1，3上是否滿足羅爾定理?xiàng)l件，若滿足，求出它的駐點(diǎn)。2 / 51【答疑編號11040101】解滿足在-1，3上連續(xù)，在（-1，3）上可導(dǎo)，且f(-1)=f

2、(3)=0，取例2.設(shè)f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判斷有幾個(gè)實(shí)根，并指出這些根所在的區(qū)間。【答疑編號11040102】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式成立。注意：與羅爾定理相比條件中去掉了f(a)=f(b)結(jié)論亦可寫成。2.幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB。拉格朗日中值定理又稱微分中值定理例3（教材162頁習(xí)題4.1，3題（2）題）、判斷f(x)=sinx在上是否滿足拉格朗日中值定理。【答疑編

3、號11040103】推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。例4（教材162頁習(xí)題4.1，4題）、證明【答疑編號11040104】證設(shè)又，即，推論2假設(shè)在區(qū)間I上兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)處處相等，則f(x)與g(x)至多相差一個(gè)常數(shù)。4.2洛必達(dá)法則一、型及型未定式解法：洛必達(dá)法則1、定義如果當(dāng)xa（或x）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限稱為或型未定式。例如,2、定理設(shè)（1）當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)及F（x）都趨于零；（2）在a點(diǎn)的某臨域內(nèi)（點(diǎn)a本身可以除外），f(x)及F(x)都存在且F(x)0；（3）存在（或?yàn)闊o窮

4、大）；那么。3、定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則。當(dāng)x時(shí)，以及xa，x時(shí)，該法則仍然成立。4、例題分析例1、求?！敬鹨删幪?1040201】解：原式。例2、求【答疑編號11040202】例3、求【答疑編號11040203】例4、求【答疑編號11040204】例5、求【答疑編號11040205】例6、【答疑編號11040206】例7（教材166頁例4）、求?！敬鹨删幪?1040207】例8、求。【答疑編號11040208】解：原式。例9、求?！敬鹨删幪?1040209】解：原式。例10、求?！敬鹨删幪?1040210】例11（教材168頁，例8

5、）、求（a0）【答疑編號11040211】解：當(dāng)x+時(shí)，ln x+，這是型未定式，用洛必達(dá)法則，例12、求（n是正整數(shù)）?！敬鹨删幪?1040212】解：這是型未定式，接連用洛必達(dá)法則n次，得。對于任意的0，同樣可以證明。二、型未定式解法關(guān)鍵：將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型。1、0.型步驟：，或。例13、求。（0·）【答疑編號11040213】解：原式例14、求。【答疑編號11040214】例15（教材169頁，例10）、求。【答疑編號11040215】解：當(dāng)x時(shí)，所以這是0·型未定式。2、型步驟：例16、求。（）【答疑編號11040216】例17（教材172頁

6、習(xí)題4.2，3題（2）題）、求【答疑編號11040217】3、型步驟：例18、求【答疑編號11040218】解：原式例19、。【答疑編號11040219】解：原式。例20（教材172頁習(xí)題4.2，4題）、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，求a.【答疑編號11040220】注意：洛必達(dá)法則的使用條件是分子分母都有導(dǎo)數(shù)，且分母的導(dǎo)數(shù)不為0，導(dǎo)數(shù)比的極限存在。例21、求?！敬鹨删幪?1040221】解：原式洛必達(dá)法則失效。原式4.3函數(shù)的單調(diào)性一、單調(diào)性的判別法定理 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果在（a,b）內(nèi)f(x)0，那么函數(shù)y=f(x),在a,b上單調(diào)增加；（2）如果在（a,b）

7、內(nèi)f(x)0，那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)減少。例1、討論函數(shù)的單調(diào)性。【答疑編號11040301】解：二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)方法：用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號。注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性。例2、求的單調(diào)區(qū)間【答疑編號11040302】例3、確定函數(shù)的單

8、調(diào)區(qū)間。【答疑編號11040303】解： 例4、確定的單調(diào)區(qū)間。【答疑編號11040304】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可以證明一些不等式。例5、當(dāng)x0，證明：xln(1+x)這個(gè)不等式成立?！敬鹨删幪?1040305】單調(diào)增函數(shù)的含義例6、證明：當(dāng)x0時(shí)。【答疑編號11040306】4.5函數(shù)的極值與最值函數(shù)極值的定義 定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，是（a,b）內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對于這鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，除了點(diǎn)外，f(x)均成立，就稱是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值；如果存在著點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對于這鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，除了點(diǎn)外，f(x)均成立，就稱是函數(shù)f(x)的一個(gè)極

9、小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。函數(shù)極值的求法定理1（必要條件）設(shè)f(x)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，且在處取得極值，那么必定f()=0。定義使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)（即方程f(x)=0的實(shí)根）叫做函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。注意：可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。如例7、。【答疑編號11040307】注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。所以:連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域上連續(xù)，在去心鄰域上可導(dǎo)。（1）如果，有f(x)0；而，有f(x)0，則f(x)在處取得極大值。（2）如果，有f

10、(x) 0；而，有f(x)0，則f(x)在處取得極小值。（3）如果當(dāng)及時(shí)，f(x)符號相同，則f(x)在處無極值。 (是極值點(diǎn)情形) (不是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:（1）求定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f(x)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）求駐點(diǎn)，即方程f(x)=0的根；（4）檢查f(x)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號，判斷極值點(diǎn)；（5）求極值。例8、求出函數(shù)的極值。【答疑編號11040308】x（-，-1）-1（-1,3）3（3,+）f（x）+0-0+f（x）極大值極小值極大值f(-1)=10,極小值f(3)=-22。定理3（第二充分條件）設(shè)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f()=0，f()0，那么（1）當(dāng)f()0時(shí)

11、，函數(shù)f(x)在處取得極大值；（2）當(dāng)f() 0時(shí)，函數(shù)f(x)在處取得極小值。例9、求出函數(shù)的極值?！敬鹨删幪?1040309】解：f(x)=3+6x-24=3(x+4)(x-2)令f(x)=0,得駐點(diǎn)=-4，=2。f(x)=6x+6, f(-4)=-180，故極大值f(-4)=60，f(2)=180，故極小值f(2)=-48。例10、求出函數(shù)的極值?！敬鹨删幪?1040310】解：當(dāng)x=2時(shí)，f(x)不存在，但函數(shù)f(x)在該點(diǎn)連續(xù)。當(dāng)x2時(shí)，f(x) 0；當(dāng)x2時(shí)，f(x) 0。f(2)=1為f(x)的極大值。二、函數(shù)的最值若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外，處處可導(dǎo)，并且至多有有

12、限個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，則f(x)在a,b上的最大值與最小值存在。步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,大的就是最大值,小的就是最小值；應(yīng)用舉例例1、求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+14的在-3,4上的最大值與最小值?！敬鹨删幪?1040401】比較得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7。實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大（或最?。┲?。例2、由直線y=0，x=8及拋物線y=x2圍成一個(gè)曲邊三角形，在曲邊y=x2上求一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線y=0及x=8所圍成的三角形面積最大

13、?！敬鹨删幪?1040402】令解得（舍去）。為極大值。故為所有三角形中面積的最大者。補(bǔ)：第三章第六節(jié) 導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單應(yīng)用361 邊際分析定義：設(shè)y=f(x)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f(x)稱為f(x)的邊際函數(shù)。f(x0)稱為f(x)在點(diǎn)的邊際函數(shù)值。成本、收入、利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本MC、邊際收入MR、邊際利潤ML。例、（147頁例1）已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量為q件時(shí)總成本為（百元），求q=900件時(shí)的邊際成本?！敬鹨删幪?1040403】解： ，即MC=1.5當(dāng)q從900件改變（增加或減少）1件時(shí)，成本要改變150元。362彈性分析定義：設(shè)y=f(x)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)，當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量x在

14、點(diǎn)x0改變x時(shí)，經(jīng)濟(jì)變量y相應(yīng)地在y0=f(x0)處改變y=f(x0+x)-f(x0) ，如果極限存在，則稱此極限值為y=f(x)在點(diǎn)x0的彈性，記為在任意點(diǎn)的彈性記為，它作為x的函數(shù)稱為y=f(x)的彈性函數(shù)。=例4、（149頁例3）設(shè)S=S(p)是市場對某一種商品的供給函數(shù)，其中p是商品價(jià)格，S是市場的供給量，則稱為供給價(jià)格彈性。由于S一般隨p的上升而增加，S（p）是單調(diào)增加函數(shù)，當(dāng)p0時(shí)，S0，故0。其意義是：當(dāng)價(jià)格從p上升1%時(shí)，市場供給量從S（p）增加個(gè)百分?jǐn)?shù)?！敬鹨删幪?1040404】例5、（149頁例4）【答疑編號11040405】例6、（07年4月考題）設(shè)某商品市場需求量D對

15、價(jià)格p的函數(shù)關(guān)系為，則需求價(jià)格彈性是：【答疑編號11040406】解：例7、（05年1月考題）已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為，問：（1）要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？【答疑編號11040407】（2）如產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？【答疑編號11040408】解：（1） 4.4曲線的凹凸性和拐點(diǎn)曲線凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?曲線凹凸的判定定理1 如果f(x)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，若在（a,b）內(nèi)（1）f(x)0，則f(x)在a,b上的圖形是凹的；（2）f(x)0，則f(x)在a,b上的圖形是凸的。例1、判斷曲線y=x3的凹凸性。

16、【答疑編號11040501】解：當(dāng)x0時(shí)，y0，曲線在(-,0)為上凸的；當(dāng)x0時(shí)，y0，曲線在（0，+）為上凹的。注意到，點(diǎn)（0，0）是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)。曲線的拐點(diǎn)及其求法1.定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。2拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)只可能是二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)以及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。設(shè)函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)且f(x0)=0或者二階不可導(dǎo)：（1）x0兩側(cè)f（x）變號，點(diǎn)（x0,f(x0)）即為拐點(diǎn)；（2）x0兩側(cè)f(x)不變號，點(diǎn)（x0,f(x0)）不是拐點(diǎn)。例2、求曲線y=3x4-4x3+1的拐點(diǎn)及凹凸的區(qū)間。【答疑編號11040502】解： x（-，0）0（0，2/3）2/3（2/3，+）f（x）+0-0+f（x）凹的拐點(diǎn)（0,1）凸的拐點(diǎn)（2/3,11/27）凹的例3、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上恒有f(x)0，f（x）0，則曲線y=f(x)在（a,b）上（）。A單調(diào)上升，凹B.單調(diào)上升，凸C.單調(diào)下降，凹D.單調(diào)下降，凸【答疑編號11040503】答案：B例4、給定曲線C：y=f(x)(xR)，已知y=f(x)的圖形，則曲線C在（-，+）上是（）。圖4-8A凹的B凸的C單調(diào)上升D單調(diào)下降【答疑編號11040504】答案：A例5、求的拐點(diǎn)?！敬鹨删幪?10405