2016年K字型復(fù)習(xí)

1、“K”字型復(fù)習(xí)（三等角型相似三角形）引例：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會(huì)。課前演練：1. 如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE 2. 如圖，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，EDF=B，求證：BDEDFE3

2、.（2012朝陽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）連接AE，過點(diǎn)E作EFAE，交DC于點(diǎn)F（1）求證：ABEECF；（2）連接AF，試探究當(dāng)點(diǎn)E在BC什么位置時(shí)，BAE=EAF，請(qǐng)證明你的結(jié)論 精選例題：例1.（2015賀州）如圖，在ABC中，AB=AC=15，點(diǎn)D是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），ADE=B=，DE交AB于點(diǎn)E，且tan=，有以下的結(jié)論：ADEACD；當(dāng)CD=9時(shí)，ACD與DBE全等；BDE為直角三角形時(shí)，BD為12或；0BE，其中正確的結(jié)論是 （填入正確結(jié)論的序號(hào)） 例2. 如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊

3、上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使APM=B；（1）求證：ABPPCM；（2）設(shè)BP=x，CM=y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（3）當(dāng)APM為等腰三角形時(shí)， 求PB的長(zhǎng)當(dāng)堂鞏固：練習(xí)1:.（2012秋洛江區(qū)期末）如圖，在ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm點(diǎn)E是線段BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩端點(diǎn)），連結(jié)AE，作AED=B，交線段AB于點(diǎn)D（1）求證：BDECEA；（2）設(shè)BE=x，AD=y，請(qǐng)寫y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最小值（3）E點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，ADE能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由 2.（1）在中，點(diǎn)、分

4、別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線段上（如圖10），且，求線段的長(zhǎng)；若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）正方形的邊長(zhǎng)為（如圖12），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，寫出線段的長(zhǎng)（不需要計(jì)算過程，請(qǐng)直接寫出結(jié)果）.課后鞏固練習(xí)：ABCDE1. 如圖，在ABC中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說明ADE是什么三角形，并說明理由ABCDEF2. 已知：如圖，在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊BC上又點(diǎn)F在邊AC上，且(1) 求證：FCEE

5、BD；(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長(zhǎng)如果不可能請(qǐng)說明理由CPEABD3. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與B相等的角的頂點(diǎn)放在P 點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E。（1）求證BPDCEP（2）是否存在這樣的位置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，說明理由。CPEABF4. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設(shè)PC=x，記PE=，PF=（1）分別求、關(guān)于x的

6、函數(shù)關(guān)系式（2）PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說明理由。CPEABF5. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設(shè)PC=x，PEF的面積為y。（1）寫出圖中的相似三角形不必證明；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）若PEF為等腰三角形，求PC的長(zhǎng)。6. 已知在等腰三角形中，是的中點(diǎn)， 是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè).用含的代數(shù)式表示；求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.CDABP7. 已知在梯形ABCD中，

7、ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC，求AP的長(zhǎng)（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么：當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)（不必寫出解題過程）8. 如圖，四邊形ABCD中，ADBC，AMDC，E、F分別是線段AD、AM上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與A、D不重合）且，設(shè)，.AEFDBMC（1）求證：；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）若點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)時(shí)， 為等腰三角形，求的

8、值；9. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) （1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么 當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)EDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）10. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作EMF=B，射線ME交邊AB于點(diǎn)E，射線MF交邊CD于點(diǎn)F，

9、連結(jié)EF（1）指出圖中所有與BEM相似的三角形，并加以證明；（2）設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；ABCDMEF參考答案：課前演練：1. 解：（1）ABC是等邊三角形，EDF=60°B=C=EDF=60°EDC=EDF+FDC=B+BED，BED=FDC，BDECFD（2）BDECFD，。BD=1，F(xiàn)C=3，CD=5，BE=。點(diǎn)評(píng)：三等角型的相似三角形中的對(duì)應(yīng)邊中已知三邊可以求第四邊。2. 解：AB=AC，EDF=B，B=C=EDF，EDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDC，BDECFD， 又BD=CD，即EDF=B，BDEDFE。點(diǎn)評(píng)：

10、三等角型相似中若點(diǎn)D是等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)則僅有一對(duì)相似三角形，若點(diǎn)D是底邊中點(diǎn)則有三對(duì)相似三角形，BDE與CFD相似后若得加上BD=CD可證得CFD與DFE相似。3. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【分析】（1）有正方形的性質(zhì)和已知條件證明BAE=FEC即可證明：ABEECF；（2）連接AF，延長(zhǎng)AE于DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在BC中點(diǎn)位置時(shí)，通過證明三角形全等和等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可證明BAE=EAF【解答】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，B=C=90°，BAE+BEA=90°，EFAE，AEF=90°，BEA+FEC

11、=90°，BAE=FEC，ABEECF；（2）E是中點(diǎn)時(shí)，BAE=EAF，理由如下：連接AF，延長(zhǎng)AE于DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，E為BC中點(diǎn)，BE=CE，ABDH，B=ECH，AEB=CEH，ABEHCE，AE=EH，EFAH，AFH是等腰三角形，EAF=H，ABDH，H=BAE，BAE=EAF，當(dāng)點(diǎn)E在BC中點(diǎn)位置時(shí)，BAE=EAF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及等腰三角形的判斷和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形的各種判斷方法，此題難度不大精選例題：例1. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】壓軸題

12、【分析】根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；由CD=9，則BD=15，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得【解答】解：ADE=B，DAE=BAD，ADEABD；故錯(cuò)誤；作AGBC于G，ADE=B=，tan=，=，=，cos=，AB=AC=15，BG=12，BC=24，CD=9，BD=15，AC=BDADE+BDE=C+DAC，ADE=C=，EDB=DAC，在ACD與DBE中，ACDBDE（ASA）故正確；當(dāng)BED=90°時(shí)，由可知：ADEABD，ADB=AED，BED=90

13、6;，ADB=90°，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且tan=，AB=15，=，BD=12當(dāng)BDE=90°時(shí)，易證BDECAD，BDE=90°，CAD=90°，C=且cos=，AC=15，cosC=，CD=BC=24，BD=24=，即當(dāng)DCE為直角三角形時(shí)，BD=12或故正確；易證得BDECAD，由可知BC=24，設(shè)CD=y，BE=x，=，=，整理得：y224y+144=14415x，即（y12）2=14415x，0x，0BE故錯(cuò)誤故正確的結(jié)論為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，不等式的

14、性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解決的關(guān)鍵例2. 【思路分析】第（1）（2）小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。對(duì)APM進(jìn)行等腰三角形的分類討論時(shí)，可將條件轉(zhuǎn)化成與ABPPCM相關(guān)的結(jié)論解：（1）AB=AC，APM=BAPM=B=CAPC=APM+MPC=B+BAPABCPMABCPMBAP=MPCABPPCM（2）BP=x，CM=y，CP=8-x，（3）當(dāng)AP=PM時(shí)，PC=AB=5，BP=3；當(dāng)AP=AM時(shí)，APM=B=C，PAM=BAC即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，P不與點(diǎn)B、C重合，舍去；當(dāng)MP=AM時(shí)，MAP=MPA，MAPABC，即，BP=。點(diǎn)評(píng)：等腰三角形分類討論需要靈活應(yīng)用，可采用的方法添底邊上的高，將

15、等腰的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，三等角型相似這類問題中可將等腰的條件轉(zhuǎn)化至ABP和PCM中簡(jiǎn)化運(yùn)算。當(dāng)堂鞏固：1.【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)BDE=CEA，B=C證得結(jié)論；（2）利用（1）中相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，則把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可列出y與x的關(guān)系式注意自變量x的取值范圍要注明；（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)和三角形的邊角關(guān)系知AEAD所以當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，分兩種情況：當(dāng)AE=DE時(shí)，BDECEA；當(dāng)DA=DE時(shí)，BAEBCA所以根據(jù)全等三角形和相似三角形的性質(zhì)來求線段BE的長(zhǎng)度【解答】（1）證明：BDE=

16、180°DEBB，CEA=180°DEBAED，又B=AED，BDE=CEA，AB=AC，B=C，BDECEA；（2）解：BDECEA，即，=（0x8），當(dāng)x=4，y有最小值是；（3）解：ADE是BDE的外角，ADEB，B=AED，ADEAED，AEAD當(dāng)AE=DE時(shí)，得BDECEA，BE=AC=6cm；當(dāng)DA=DE時(shí)，BAE=AED=C，又B=B，BAEBCA，即：，ADE為等腰三角形時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)解答（3）題時(shí)，要分類討論，以防漏解2. 【思路分析】本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角形底角相等的角的頂

17、點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動(dòng)至線段的延長(zhǎng)線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個(gè)三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。解：（1），.又，. .，.（2）若點(diǎn)在線段上，由（1）知.， ，又， ，即.ABC備用圖PQ故所求的函數(shù)關(guān)系式為，.若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如備用圖. ， .又，. . ， ，即 .（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上，或.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，.點(diǎn)評(píng)：此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過哪兩個(gè)

18、三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，還是找原來的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。課后鞏固練習(xí)：1. 解：（1）AB=ACB=C，ADC=ADE+CDE=B+BADBAD=CDEABDDCE。（2）ABDDCE。，（3），是的中點(diǎn)ADBCDAE+ADE=90°，ADE是直角三角形。2. 解：（1）AB=ACB=C，BED+DEF=C+EFC=90°又BED=EFC，F(xiàn)CEEBD（2）BD=x，BE=，F(xiàn)CEEBD若，BD不存在。3. 解：（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDP AB

19、DDCE（2）DPE=B90°若PDE=90°，在RtABH和RtPDE中，cosABH=cosDPE=，CPEABDHPC=4 若PED=90°在RtABH和RtPDE中cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）。CPEABFH綜上所述，BD的長(zhǎng)為。4. 解：（1）、 （2）FPE=B90°若PFE=90°，在RtABH和RtPFE中CPEABFH cosABH=cosFPE=若PEF=90°，在RtABH和RtPFE中 cosABH=cosFPE=5. 解：（1）PEBEPCCPEABFGHM（2）PC=x， 即（3）當(dāng)PE=PF時(shí)，EPCPEB，PC=BE=x，當(dāng)PE=EF時(shí)，cosEPH=cosB，當(dāng)FE=PF時(shí)， cosFPM=cosB，綜上所述，PC的長(zhǎng)分別為、。6. 解：（1）,又, （2），是的中點(diǎn)，又 當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作DGAB,交于點(diǎn) ，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，。當(dāng)點(diǎn)在線