兩個變量間的相關(guān)關(guān)系

1、兩個變量間的相關(guān)關(guān)系.閱讀書本閱讀書本P84數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與物理學(xué)習(xí)商業(yè)銷售收入與廣告之間糧食產(chǎn)量與施肥量之間人體脂肪含量與年齡之間哲學(xué)原理哲學(xué)原理：世界是一個普遍聯(lián)系的整：世界是一個普遍聯(lián)系的整體，任何事物都與其它事物相聯(lián)系。體，任何事物都與其它事物相聯(lián)系。 數(shù)學(xué)地理解世界1、現(xiàn)實生活中存在許多相關(guān)關(guān)系：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、現(xiàn)實生活中存在許多相關(guān)關(guān)系：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與物理學(xué)習(xí)與物理學(xué)習(xí),商品銷售與廣告、糧食生產(chǎn)與施商品銷售與廣告、糧食生產(chǎn)與施肥量、人體的脂肪量與年齡等等的相關(guān)關(guān)系肥量、人體的脂肪量與年齡等等的相關(guān)關(guān)系.2、通過收集大量的數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計，對數(shù)據(jù)分析，、通過收集大量的數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計，對數(shù)據(jù)分析，找出其

2、中的規(guī)律，對其相關(guān)關(guān)系作出一定判斷找出其中的規(guī)律，對其相關(guān)關(guān)系作出一定判斷.3、由于變量之間相關(guān)關(guān)系的廣泛性和不確定性，所、由于變量之間相關(guān)關(guān)系的廣泛性和不確定性，所以樣本數(shù)據(jù)應(yīng)較大，和有代表性以樣本數(shù)據(jù)應(yīng)較大，和有代表性.才能對它們之間的關(guān)才能對它們之間的關(guān)系作出正確的判斷系作出正確的判斷.探究探究：.年齡脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年齡脂肪5833.56035.26134.6如上的一組數(shù)據(jù)，你能分析人體的脂肪含量與年齡如上的一組數(shù)據(jù)，你能分析人體的脂肪含量與年齡 之間有怎樣的關(guān)系嗎？之

3、間有怎樣的關(guān)系嗎？ 從上表發(fā)現(xiàn)，對某個人不一定有此規(guī)律，但對很多個體放在從上表發(fā)現(xiàn)，對某個人不一定有此規(guī)律，但對很多個體放在一起，就體現(xiàn)出一起，就體現(xiàn)出“人體脂肪隨年齡增長而增加人體脂肪隨年齡增長而增加”這一規(guī)律這一規(guī)律.而表中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)是這個年齡而表中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)是這個年齡 人群的樣本平均數(shù)人群的樣本平均數(shù).我們也可以對它們作統(tǒng)計圖、我們也可以對它們作統(tǒng)計圖、表，對這兩個變量有一個直觀上的印象和判斷表，對這兩個變量有一個直觀上的印象和判斷. 下面我們以年齡為橫軸，下面我們以年齡為橫軸，脂肪含量為縱軸建立直脂肪含量為縱軸建立直角坐標(biāo)系，作出各個點，角坐標(biāo)系，作出各個點，稱該圖為稱

4、該圖為散點圖散點圖。如圖：O202530 35 4045 505560 65年齡脂肪含量510152025303540從剛才的散點圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，點的從剛才的散點圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，點的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱它們成位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱它們成正相關(guān)正相關(guān)。但有的兩個變量的相關(guān)，如下圖所示：但有的兩個變量的相關(guān)，如下圖所示：如高原含氧量與海拔高度如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。 作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它們散作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的

5、區(qū)布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗車每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，稱它們成平均路程，稱它們成負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān).注：課本注：課本P86的思考的思考.O我們再觀察它的圖像發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在一條直線附我們再觀察它的圖像發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在一條直線附 近近,像這樣，如果散點圖中點的分布從整體上看大致在像這樣，如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相 關(guān)關(guān)系關(guān)關(guān)系,這條直線叫做這條直線叫做回歸直線回歸直線，該直線叫，該直線叫回歸方程回歸方程。那么，我們該那

6、么，我們該怎樣來求出怎樣來求出這個回歸方這個回歸方程？程？請同學(xué)們展開請同學(xué)們展開討論，能得討論，能得出哪些具體出哪些具體的方案？的方案？202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540.方案方案1、先畫出一條直線，測量出各點與它、先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，再移動直線，到達(dá)一個使距離的的距離，再移動直線，到達(dá)一個使距離的 和最小時，測出它的斜率和截距，得回歸和最小時，測出它的斜率和截距，得回歸 方程。方程。202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540如圖如圖 ：.方案方案2、在圖中選

7、兩點作直線，使直線兩側(cè)、在圖中選兩點作直線，使直線兩側(cè) 的點的個數(shù)基本相同。的點的個數(shù)基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540方案方案3、如果多取幾對點，確定多條直線，再求出、如果多取幾對點，確定多條直線，再求出 這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸 直線的斜率和截距。而得回歸方程。直線的斜率和截距。而得回歸方程。 如圖如圖我們還可以找到我們還可以找到 更多的方法，但更多的方法，但 這些方法都可行這些方法都可行 嗎嗎?科學(xué)嗎？科學(xué)嗎？ 準(zhǔn)確嗎？怎樣的準(zhǔn)確嗎？怎樣的 方法是最好的？方法是最好的

8、？202530 35 4045 50 55 60 65年齡脂肪含量0510152025303540我們把由一個變量的變化我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的方法去推測另一個變量的方法稱為稱為回歸方法?；貧w方法。回歸直線回歸直線 實際上實際上,求回歸直線的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方求回歸直線的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫法來刻畫“從整體上看從整體上看,各點到此直線的距離最各點到此直線的距離最小小”.這樣的方法叫做最小二乘法這樣的方法叫做最小二乘法.人們經(jīng)過實踐與研究，已經(jīng)找到了人們經(jīng)過實踐與研究，已經(jīng)找到了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式計算回歸方程的斜率與截距的一般公式:xbyaxnxyxnx

9、xxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。（參看如書P80）一、相關(guān)關(guān)系的判斷一、相關(guān)關(guān)系的判斷例例1：5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚簜€學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚篈BCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462畫出散點圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系。畫出散點圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系。解：解：數(shù)學(xué)成績數(shù)學(xué)成績由散點圖可見，兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系。由散點圖可見，兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系。小結(jié)：用小結(jié)：用Excel作散點圖的步驟如下作散點圖的步驟如下

10、： (結(jié)合軟件邊講邊練）結(jié)合軟件邊講邊練）（1）進(jìn)入）進(jìn)入Excel，在，在A1，B1分別輸入分別輸入“數(shù)學(xué)成數(shù)學(xué)成績績”、“物理成績物理成績”，在，在A、B列輸入相應(yīng)的數(shù)據(jù)。列輸入相應(yīng)的數(shù)據(jù)。（2）點擊圖表向?qū)D標(biāo)，進(jìn)入對話框，選擇）點擊圖表向?qū)D標(biāo)，進(jìn)入對話框，選擇“標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)類型類型”中的中的“XY散點圖散點圖”，單擊，單擊“完成完成”。（3）選中）選中“數(shù)值數(shù)值X軸軸”，單擊右鍵選中，單擊右鍵選中“坐標(biāo)軸格坐標(biāo)軸格式式”中的中的“刻度刻度”，把，把“最小值最小值”、“最大值最大值”、“刻度刻度主要單位主要單位”作相應(yīng)調(diào)整，最后按作相應(yīng)調(diào)整，最后按“確定確定”。y軸方法相同。軸方法相同。二

11、、求線性回歸方程二、求線性回歸方程例例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表：觀察兩相關(guān)變量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程求兩變量間的回歸方程解解1： 列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149xiyixiyi計算得計算得:0, 0yx110,1101011012yxxiiiii1010110010110101010122101iiiiixxyxyxb000bxbya所求回歸直線方程為所求回歸直線方程為 y=x小結(jié)：求線性回歸直線方程的步驟：小結(jié)：求線性回歸

12、直線方程的步驟：第一步：列表第一步：列表 ；第二步：計算第二步：計算 ；第三步：代入公式計算第三步：代入公式計算b,a的值；的值；第四步：寫出直線方程。第四步：寫出直線方程。yxyxiiii,yxxiniiniiyx112,總結(jié)總結(jié)基礎(chǔ)知識框圖表解基礎(chǔ)知識框圖表解變量間關(guān)系變量間關(guān)系函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系 散點圖散點圖線形回歸線形回歸線形回歸方程線形回歸方程1 1、相關(guān)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系 （1 1）概念：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一）概念：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。 （2 2）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)

13、關(guān)系的異同點。）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點。 相同點：兩者均是指兩個變量間的關(guān)系。相同點：兩者均是指兩個變量間的關(guān)系。 不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，是一種因果系；不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，是一種因果系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，也不一定是因果關(guān)系（但相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，也不一定是因果關(guān)系（但可能是伴隨關(guān)系）。可能是伴隨關(guān)系）。 （3 3）相關(guān)關(guān)系的分析方向。）相關(guān)關(guān)系的分析方向。 在收集在收集大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷。對它們的關(guān)系作出判斷。2、兩個變量的線性相關(guān)、兩個變量的線性相關(guān) （1 1）回

14、歸分析）回歸分析 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系的某種確定性。定關(guān)系的某種確定性。 （2 2）散點圖）散點圖 A A、定義；、定義；B B、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。 3 3、回歸直線方程、回歸直線方程 注注: :如果關(guān)于兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)發(fā)散狀如果關(guān)于兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)發(fā)散狀, ,則則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系. .3 3、回歸直線方程、回歸直線方程 （1 1）回歸直線：觀察散

15、點圖的特征，如果各點大致分）回歸直線：觀察散點圖的特征，如果各點大致分布在一條直線的附近，就稱兩個變量之間具有線性相關(guān)的布在一條直線的附近，就稱兩個變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。（2 2）最小二乘法）最小二乘法nn( x- x ) ( y- y )xy- n x yiiiii = 1i = 1b =,nn222( x- x )x- n xiii = 1i = 1a = y - b x .nn11x =x, y =y.iinni = 1i = 1其其中中 yb xa(3)(3)利用回歸直線對總體進(jìn)行估計利用回歸直線對總體進(jìn)行估計1011022110

16、110100111010010iiiiixybyxxx000aybxb.yx所求回歸直線方程為所求回歸直線方程為注意：求回歸直線方程的步驟：注意：求回歸直線方程的步驟：,;iiiiyyxx22111,nnniiiiiiixyyyxx第一步：列表第一步：列表第二步：計算：第二步：計算：第三步：代入公式計算第三步：代入公式計算b b，a a的值的值第四步：列出直線方程。第四步：列出直線方程。4 4、利用回歸直線方程對總體進(jìn)行估計、利用回歸直線方程對總體進(jìn)行估計 例例5 5 煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，必須掌握接影響冶煉時間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間冶煉時間的關(guān)系。如果已測得爐料熔化完畢時，鋼水的含碳量的關(guān)系。如果