三重積分的計算方法小結(jié)與例題7

1、重積分的計算方法介紹:三重積分的計算是化為三次積分進行的。其實質(zhì)是計算一個定積分(一重積分)和一個二重積分。從順序看：Z2如果先做定積分ff(x,y,z)dz,再做二重積分JJF(x,y)db,就是“投Z1D影法”，也即“先一后二”。步驟為：找及在xoy面投影域D。多D上一點(x,y)“穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步(定積分)；進而按二重積分的計算步驟計算投影域D上的二重積分，完Z2成"后二”這一步。f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dzdcDZiC2如果先做二重積分Jf(x,y,z)d仃再做定積分JF(z)dz,就是“截面Dzci法”，也即“先二后一”。步驟為：確定

2、位于平面Z=C1與Z=C2之間，即zwGG,過z作平行于xoy面的平面截，截面。區(qū)域的邊界曲面都是z的函數(shù)。計算區(qū)域上的二重積分口f(x,y,z)db,完成了“先二”DzC2這一步(二重積分)；進而計算定積分jF(z)dz,完成“后一”這一步。CiC2IIIf(x,y,z)dv=.f(x,y,z)d；=dz1 CiDz當被積函數(shù)f(z)僅為z的函數(shù)(與x,y無關(guān))，且的面積Wz)容易求出時，“截面法”尤為方便。為了簡化積分的計算，還有如何選擇適當?shù)淖鴺讼涤嬎愕膯栴}?？梢园匆韵聨c考慮：將積分區(qū)域投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)(1) D是X型或Y型，可選擇直角坐標系計算(當?shù)倪吔缜嬷杏休^

3、多的平面時，常用直角坐標系計算)(2) D是圓域(或其部分)，且被積函數(shù)形如f(x2十y2),f。)時,x可選擇柱面坐標系計算(當為圓柱體或圓錐體時，常用柱面坐標計算)(3)是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如f(x2+y2+z2)時，可選擇球面坐標系計算以上是一般常見的三重積分的計算方法。對向其它坐標面投影或不易作出的情形不贅述。三重積分的計算方法小結(jié)：1 .對三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法(先一后二)：較直觀易掌握；截面法(先二后一)：是在z處的截面，具邊界曲線方程易寫故，故較難一些。特殊地，對積分時，f(x,y,z)與x

4、,y無關(guān)，可直接計算Sdz。因而中只要za,b,且f(x,y,z)僅含z時，選取“截面法”更佳。2 .對坐標系的選取，當為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z或zf(x2+y2)時，可考慮用柱面坐標計算。三重積分的計算方法例題：補例1:計算三重積分I=JJzdxdydz,其中為平面x+y+z=1與三個坐標面x=0,y=0,z=0圍成的閉區(qū)域。1.畫出及在xoy面投影域D.2.“穿線”0-z-1-x-yx+y+z=lZb0MxM1D:0_y_1-x0<y<1-x0_z_1-x-y3.計算11_x1-x-y11_x/11、2,1I=zdxdyd

5、z=dxdyzdz=dx一(1-x-y)dy=(1-工0000022。/11313231411(1-x)dxx-xx-x0=6062424解2“截面法”1.畫出。2.zw0,1過點z作垂直于z軸的平面截得。是兩直角邊為x,y的直角三角形，x=1-z,y=1-zzJK3.計算111I=口zdxdydz=ffzdxdydz=zz口dxdydz=zzSDzdz；：:0Dz0Dz01111=z(-xy)dz=z-(1-z)(1-z)dz=0202-(z-2z2z3)dz二2024補例2:計算用"x2+y2dv,其中是x2+y2=z2和z=1圍成的閉區(qū)域2y21.畫出及在xoy面投影域D.消去

6、z,得x2+y2=1即D:x2+y2M12.“穿線”vx2+y2<z<1,一1«x«1X型D：,W-xSy<v1-xC:4v1x2<y<，1x2/x2+y2<z<13.計算1.，1_x111_x2_in-,x2y2dv=dxdyx2y2dz=dxx2y2(1-?；,x2y2)dy:fl工_1/2x2y2_726注：可用柱坐標計算2. zw0,1過點z作垂直于z軸的平面截得：x2 +y2 < z21.畫出。解2“截面法”0W日E2幾<0<r<z012二用柱坐標計算Q>0<r<z0<z&l

7、t;13.計算r3zdz =112二z11!.x2y2dv=11>.x2y2dxdydz=.d-,r2drdz=2二0Dz00003補例3:化三重積分I=口f(x,y,z)dxdydz為三次積分，其中:Qz=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域解：1.畫出及在xoy面上的投影域D./=x2+2y2由z=2-x2消去z,得x2+y2=1即D:x2+y2W12 .“穿線”x22y2<z<2-x2-1WxW1X型D:“'1-x2 WyW、1-x之«、；1x2<y<Vlx22_2_2x+2y<z<2-x11_x22_x23 .計算I=Jf

8、(x,y,z)dxdydz=JdxJdyJf(x,y,z)dz_22i.l_1/2x2y注：當f(x,y,z)為已知的解析式時可用柱坐標計算。補例4:計算JJJzdv,其中為z=6-x2-y2及z=、x2+y2所圍成的閉區(qū)域解1“投影法”"1.畫出及在xoy面投影域D,用柱坐標計算x=rcos二由y=rsin8化的邊界曲面方程為：z=6-r2,z=rz=zz6r2"0<6<2n2.解Jz-6r得r=2.D:rE2即,0z=r0<r<21J0<6<2H“穿線"r<z<6-r2.G-0ErE2j<z<6-r2

9、_2_2_6-t2-：-：26-r2,126r23.計算zdv=zdzrdrd二-drdrzdz=2二r一zrdrDr00r02r5)dr =92二 322二瘟jr(6r2)2-r2dr=逑j(36r13r200z = 6 r2及z = r 圍成。1.畫出。如圖：由解2“截面法”2.z0,6=0,22,6-1'12由z=r與z=2圍成；zW0,2,：r<z012二:0MrMz0<z<2由z=2與z=6r2圍成；zw2,6,:r<j6-z0<Q<2n:0<r<v6-z2MzM6J263.計算zd=111zdv-111zdv=ziirdrdi

10、dz-z11rdrdidzT'20Dzi2Dz292冗3262626=fzSDzidz+JzSDz2dz=jzn(z2)dz+fzn(<6-z)2dz=zjz3dz+兀j(6z-z2)dz=020202注：被積函數(shù)z是柱坐標中的第三個變量，不能用第二個坐標r代換。補例5:計算m(x2+y2)dv,其中由不等式0Mawqx2+y2+z2MA,z<0所確定。Zx=cossin解：用球坐標計算。由4y=Psin日sin小得的邊界曲面的球坐標方程：aWPWAz=Pcos4PWG,連結(jié)OP二,其與z軸正向的夾角為，OP=。P在xoy面的投影為，連結(jié)OP',其與x軸正向的夾角X。K1冗aMPMA,0<*<,0<0<2n2二萬A2,1.1.1(x2y2)dv=dd：'!(P2sin2)P2sindP=2二sin35Ad(；00a052=(A5-a5)sin3d=-(A5-