大一高數(shù)期末考試題(精)90575

1、二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1. .2. .3. .4. .三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）5. 設(shè)函數(shù)由方程確定，求以及.6.7.8. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù). 求并討論在處的連續(xù)性.9. 求微分方程滿足的解. 四、 解答題（本大題10分）10. 已知上半平面內(nèi)一曲線，過點(diǎn)，且曲線上任一點(diǎn)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與軸、軸、直線所圍成面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）11. 過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線及x 軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A；(2) 求D繞直線x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證

2、明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）12. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的，.13. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，.證明：在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使（提示：設(shè)）二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9. 解：方程兩邊求導(dǎo) ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在處連續(xù)。13. 解： ，四、 解答題（本大題10分）14. 解：由已知且， 將此方程關(guān)于求導(dǎo)得特征方程：解出特征根：其通解為代入初始條件，得故所求曲線方程為：五、解答題（本大題10分）15. 解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為，切線

3、方程：由于切線過原點(diǎn)，解出，從而切線方程為：則平面圖形面積（2）三角形繞直線x = e一周所得圓錐體體積記為V1，則曲線與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2D繞直線x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）16. 證明：故有： 證畢。17.證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在上連續(xù)，在上可導(dǎo)。，且由題設(shè)，有，有，由積分中值定理，存在，使即綜上可知.在區(qū)間上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在和，使及，即. 高等數(shù)學(xué)I 解答一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題有4小題, 每小題4分, 共

4、16分)1. 當(dāng)時(shí)，都是無窮小，則當(dāng)時(shí)（ D ）不一定是無窮小. (A)(B) (C)(D) 2. 極限的值是（ C ）.（A） 1（B） e （C） （D） 3. 在處連續(xù)，則a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 4. 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么（ A ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5. 極限的值是 .6. 由確定函數(shù)y(x)，則導(dǎo)函數(shù) .7. 直線過點(diǎn)且與兩平面都平行，則直線的方程為 .8. 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 （，0）和（1，+ ） .三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）9. 計(jì)算極限.解：10.

5、已知：，求。解： ，11. 設(shè)在a，b上連續(xù)，且，試求出。解：12. 求 解：四、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）13. 求 . 14. 求函數(shù) 的極值與拐點(diǎn).解：函數(shù)的定義域（，+） 令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是極大值點(diǎn)，x 2 = -1是極小值點(diǎn)極大值，極小值令得 x 3 = 0, x 4 = , x 5 = -x(-,-)(-,0)(0, )(,+)+故拐點(diǎn)（-，-），（0，0）（，）15. 求由曲線與所圍成的平面圖形的面積. 16. 設(shè)拋物線上有兩點(diǎn)，在弧A B上，求一點(diǎn)使的面積最大.解：六、證明題（本大題4分）17. 設(shè)，試證.證明：設(shè)，因

6、此在（0，+）內(nèi)遞減。在（0，+）內(nèi)，在（0，+）內(nèi)遞減，在（0，+）內(nèi)，即亦即當(dāng) x0時(shí)， 。二 填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1. 設(shè)（ ）2. 設(shè)則（ ）3. 直線方程，與xoy平面，yoz平面都平行，那么的值各為（ ）4. （ ）三 解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）1. 計(jì)算 2. 設(shè)試討論的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出3. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，在x0時(shí)二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，給出的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線的拐點(diǎn)。dycbOax四 解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）1. 求不定積分 2. 計(jì)算定積分3. 已知直線,求過直線l1且平行于直線l2的

7、平面方程。4. 過原點(diǎn)的拋物線及y=0,x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為，確定拋物線方程中的a，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。五、綜合題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）1. 設(shè)，其中在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有，試證明存在（）使得。2.（1） 求的最大值點(diǎn)；（2） 證明：二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）9. (8分)計(jì)算極限 .解：10. (8分)設(shè)，試討論的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出.解：當(dāng)；當(dāng)故f (x)在x=0處不可導(dǎo)。11. (8分)設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在時(shí)二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函

8、數(shù)的圖形如圖.給出的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線的拐點(diǎn). dycbOax解：極大值點(diǎn)： 極小值點(diǎn)：拐點(diǎn)四 解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）12. (9分)求不定積分 .解：原式=13. (9分)計(jì)算定積分.解：原式= 14. (9分)已知直線，,求過直線l1且平行于直線l2的平面方程.解： 取直線l1上一點(diǎn)M1(0,0,1) 于是所求平面方程為 15. (9分)過原點(diǎn)的拋物線 及y=0, x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為. 求a，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.解：由已知得 故 a = 9 拋物線為：繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積：五 綜合題（每小題4分，共8分）16.

9、 (4分)設(shè)，其中在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有. 證明：存在（）使得。證明：由在1，2上二階可導(dǎo)，故F (x)在1，2二階可導(dǎo)，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0在1，2上用羅爾定理，至少有一點(diǎn)使得在1，x0上對(duì)用羅爾定理，至少有點(diǎn)17. (4分).解：（1）為的最大值點(diǎn)。，當(dāng)，；當(dāng)，。為極大值，也為最大值。（2）高等數(shù)學(xué)上B（07）解答一、 填空題：（共24分，每小題4分）1，則。2 已知，=_1_。3 。4 過原點(diǎn)的切線方程為。5已知，則=。6，時(shí)，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。二、計(jì)算下列各題：（共36分，每小題6分）1求的導(dǎo)數(shù)。解：2求。解：3求。解： 4設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則為何值？解：

10、 5求極限。解： = 6求過點(diǎn)且與兩直線和平行的平面方程。解：兩直線的方向向量分別為，平面的法向量。平面方程為。三、解答下列各題：（共28分，每小題7分）1設(shè)，求。解： 2求在上的最大值和最小值。解： 最大值為，最小值為。3設(shè)由方程確定，求。解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo) 將代入上式 4求由與圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解： 四、證明題：(共12分，每小題6分)1證明過雙曲線任何一點(diǎn)之切線與二個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為常數(shù)。證明：雙曲線上任何一點(diǎn)的切線方程為 切線與軸、軸的交點(diǎn)為故切線與二個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為 2設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)使得 證明：令 ，由R

11、olle定理，存在一點(diǎn)，使，即高等數(shù)學(xué)上解答（07）一、 單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共16分）1是 A 。（A）奇函數(shù)； （B）周期函數(shù)；（C）有界函數(shù)； （D）單調(diào)函數(shù)2當(dāng)時(shí)，與 B 是同階無窮小量。（A）； （B）； （C）； （D）3直線與平面的位置關(guān)系是 C 。（A）直線在平面內(nèi)；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。4設(shè)有三非零向量。若，則 A 。（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3二、 填空題（每小題4分，共16分）1曲線上一點(diǎn)P的切線經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為。2。3方程確定隱函數(shù)，則 0 。4曲線、與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為。三、 解下列各題（每小

12、題6分，共30分）1已知，求。解： 2求不定積分。解: 3計(jì)算定積分。 解： 4求不定積分。 解： 5已知，且，求。 解：令， ， 四、 （8分）設(shè)對(duì)任意有，且。求。 解：由， 五、（8分）證明：當(dāng)時(shí)，。證明：只需證明。 令 ，在單調(diào)遞增。 ，當(dāng)時(shí)，。即。六、 （8分）已知，連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無窮小量。求。解： 七、 （8分）設(shè)有曲線和直線。記它們與軸所圍圖形的面積為，它們與直線所圍圖形的面積為。問為何值時(shí)，可使最??？并求出的最小值。解： 令，得。 ，為最小值點(diǎn)。 八、設(shè)在內(nèi)的點(diǎn)處取得最大值，且。證明：證明： 在對(duì)應(yīng)用拉格朗日定理 在對(duì)應(yīng)用拉格朗日定理 二、填空題（將正確答案填在橫線上）(

13、本大題分5小題, 每小題3分, 共15分)1、23、設(shè)空間兩直線與相交于一點(diǎn)，則_ 。4、5、三、解答下列各題( 本 大 題4分 )設(shè)平面與兩個(gè)向量和平行，證明：向量與平面垂直。四、解答下列各題 ( 本 大 題8分 )五、解答下列各題( 本 大 題11分 )六、解答下列各題( 本 大 題4分 )求過與平面平行且與直線垂直的直線方程。七、解答下列各題( 本 大 題6分 )八、解答下列各題( 本 大 題7分 )九、解答下列各題( 本 大 題8分 )十、解答下列各題( 本 大 題5分 )。十一、解答下列各題( 本 大 題4分 )十二、解答下列各題( 本 大 題5分 )重量為的重物用繩索掛在兩個(gè)釘子上

14、，如圖。設(shè)，求所受的拉力。十三、解答下列各題( 本 大 題6分 )十四、解答下列各題( 本 大 題7分 )二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分5小題, 每小題3分, 共15分)1、 2、5分10分3、 4、-1 5、10分三、解答下列各題( 本 大 題4分 )平面法向量4分與平行8分從而平面與垂直。10分四、解答下列各題 ( 本 大 題8分 ) 5分7分10分五、解答下列各題( 本 大 題11分 ) 3分 7分10分 3分 5分 7分 10分六、解答下列各題( 本 大 題4分 )的法向量為的方向向量為3分所求直線方向向量為7分從而所求直線方程為10分七、解答下列各題( 本 大 題6分

15、)3分7分10分八、解答下列各題( 本 大 題7分 ) 4分 7分10分九、解答下列各題( 本 大 題8分 )2分5分8分10分十、解答下列各題( 本 大 題5分 )4分8分10分十一、解答下列各題( 本 大 題4分 )4分8分10分十二、解答下列各題( 本 大 題5分 )按點(diǎn)受力平衡，應(yīng)有，即解得(10分)十三、解答下列各題( 本 大 題6分 )2分4分10分十四、解答下列各題( 本 大 題7分 ) 3分 5分 8分 10分 二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分4小題, 每小題3分, 共12分)1、2、_.3、4、直線與平面的交點(diǎn)為_ 。三、解答下列各題(本大題共2小題，總計(jì)12分)

16、1、(本小題6分)2、(本小題6分)指出錐面被平行于平面的平面所截得的曲線的名稱。 四、解答下列各題(本大題共5小題，總計(jì)24分)1、(本小題1分) 2、(本小題2分) 3、(本小題5分)4、(本小題5分)5、(本小題11分)五、解答下列各題(本大題共2小題，總計(jì)14分)1、(本小題7分)2、(本小題7分)試證：對(duì)角線向量是的平行四邊形是菱形，并計(jì)算其邊長(zhǎng)。六、解答下列各題(本大題共3小題，總計(jì)20分)1、(本小題6分)2、(本小題6分)3、(本小題8分) 七、解答下列各題 (本大題共2小題，總計(jì)6分)1、(本小題1分)2、(本小題5分)二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分4小題, 每

17、小題3分, 共12分)1、2、3、=10分4、三、解答下列各題(本大題共2小題，總計(jì)12分)1、(本小題6分)7分10分2、(本小題6分)用所截得的曲線為 4分故時(shí)為一對(duì)相交直線時(shí)為雙曲線 10分四、解答下列各題(本大題共5小題，總計(jì)24分)1、(本小題1分)10分2、(本小題2分)7分 10分3、(本小題5分)3分7分10分4、(本小題5分)4分 6分 8分 10分5、(本小題11分)2分10分五、解答下列各題(本大題共2小題，總計(jì)14分)1、(本小題7分)2分6分 8分 10分2、(本小題7分)因?yàn)?，故因此這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線是垂直的，于是它是菱形。（6分）邊長(zhǎng)=（10分）六、解答下列各

18、題(本大題共3小題，總計(jì)20分)1、(本小題6分)4分8分10分(注如用切線平行于已知直線解也可以)2、(本小題6分)3分5分10分3、(本小題8分)3分6分 10分 七、解答下列各題 (本大題共2小題，總計(jì)6分)1、(本小題1分)4分10分2、(本小題5分)4分6分10分二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分3小題, 每小題3分, 共9分)1、_.2、3、對(duì)于的值，討論級(jí)數(shù)（1）當(dāng)_時(shí)，級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)_時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散三、解答下列各題(本大題共3小題，總計(jì)13分)1、(本小題4分)2、(本小題4分)級(jí)數(shù) 是否收斂，是否絕對(duì)收斂？3、(本小題5分)設(shè)是以為周期的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。又設(shè)是的以為周

19、期的Fourier級(jí)數(shù)之和函數(shù)。試寫出在內(nèi)的表達(dá)式。四、解答下列各題(本大題共5小題，總計(jì)23分)1、(本小題2分)2、(本小題2分)3、(本小題4分)4、(本小題7分)5、(本小題8分)試將函數(shù)在點(diǎn)處展開成泰勒級(jí)數(shù)。五、解答下列各題( 本 大 題5分 )如果冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，那么該級(jí)數(shù)的收斂半徑是多少? 試證之.六、解答下列各題(本大題共2小題，總計(jì)16分)1、(本小題7分)2、(本小題9分)七、解答下列各題 ( 本 大 題6分 )八、解答下列各題( 本 大 題6分 )九、解答下列各題( 本 大 題12分 )二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分3小題, 每小題3分, 共9分)1、1

20、0分2、10分3、時(shí)收斂時(shí)發(fā)散三、解答下列各題(本大題共3小題，總計(jì)13分)1、(本小題4分)4分8分10分2、(本小題4分) 記 由于 6分故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂 10分3、(本小題5分)對(duì)作周期為的延拓，在內(nèi)的表達(dá)式為 (3分)滿足Fourier級(jí)數(shù)收斂的充分條件。 (5分)故 (10分)注：只要寫出的表達(dá)式即可得10分。四、解答下列各題(本大題共5小題，總計(jì)23分)1、(本小題2分)5分8分10分2、(本小題2分)5分10分3、(本小題4分)4分 6分 8分 10分4、(本小題7分)5分10分5、(本小題8分)因?yàn)?3分而 5分所以 五、解答下列各題( 本 大 題5分 )由題意,知:當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂； 4分當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)不可能收斂. 8分故收斂半徑是2. 10分六、解答下列各題(本大題共2小題，總計(jì)16分)1