簡論電磁學的相對論效應

1、簡論電磁學的相對論效應簡論電磁學的相對論效應田宇明江彪于哲宇陳旼嘉劉思皓（西安交通大學 能源與動力工程學院710049）摘要：狹義相對論推翻了經(jīng)典力學下的絕對時空觀， 卻與經(jīng)典電磁學 不相沖突，這體現(xiàn)出電磁學中必然蘊含著更深層、 更本質(zhì)的思想。而 經(jīng)典電磁學理論的協(xié)變性揭示出了相對論原理與電動力學存在著內(nèi) 在聯(lián)系，這些聯(lián)系可以體現(xiàn)在基于相對論推演電磁學理論等諸多方 面。然而，在實際的教學中對協(xié)變性的推導十分復雜，不利于理解。本文由較為簡單的情況出發(fā)，避免四維矢量分析，由相對論洛倫茲變 換推演電磁學理論的基本方法，提供一種相對論協(xié)變性的簡單理解， 由此整理電磁學相對論效應的結論，并從相對論的觀點

2、理解麥克斯韋 方程組。關鍵詞：電動力學；協(xié)變性；高斯定理；安培環(huán)路定則；電磁場不同于經(jīng)典力學的絕對時空觀被相對論時空觀 推翻，經(jīng)典電磁學在洛倫茲變換下具有協(xié)變性， 使得經(jīng)典電磁學理論符合相對論時空觀。這意味 著，從相對論出發(fā)，結合電磁學基本原理也可以 推演出電磁學其他理論，如運用狹義相對論結 論，再以電量作為洛倫茲不變量和庫侖定律、 疊 加原理為基礎，推演出電磁學理論的基本內(nèi)容。1故而，相對論與經(jīng)典電磁學存在著內(nèi)在的聯(lián)系，而分析這種聯(lián)系，就要從協(xié)變性和電磁學定 律的推演來實現(xiàn)，最終重新從相對論的觀點分析 理解經(jīng)典電磁學規(guī)律。經(jīng)典電磁學規(guī)律經(jīng)典電磁學中靜止電荷間的相互作用滿足庫侖 定律1 Qq-

3、3 r40是電磁學基本規(guī)律之一。對庫侖定律有著多種理 解，比如可以將電場高斯定律視作更基本的規(guī) 律，從而推導出庫侖定律。另一方面，電磁場是 一種物質(zhì)且電場和磁場是其不同的表現(xiàn)形式， 那 么電磁相互作用可以被理解為電場間和磁場間 的相互作用?，F(xiàn)在考慮相距a的兩個點電荷Qq,令Q位于原 點，q在x軸正半軸上，則空間的電場分布QrQ (xi yj zk) q (x a)i yj zk)4 0 (x2y2 z2)2(x a)2 y2 z2)2其能量密度為：U 2°e2；空間的總能量為U 2 0E2dv;現(xiàn)在讓q向x軸正半軸移動x，舍去高階小量，空間能量密度分布改變?yōu)椋篣0E Edv 卑 x4

4、 0 a這樣，整個空間的電場能量變化量與電勢能變化 量相同，即與庫侖定律相符合，說明電場力可以 理解為電場間的相互作用，當然這種相互作用用 庫侖定律可以很方便的描述。庫侖定律的另一個理解角度是其與高斯定律的 關系。高斯定律:從數(shù)學上講，高斯定律與庫侖定律等價，而庫侖 定律經(jīng)試驗以相當高的精度驗證，也驗證了高斯 定律作為麥克斯韋方程組之一的可靠性。另一方 面，高斯定律從通量的角度描述了電場， 可以理 解為這種相互作用的總強度不隨空間"擴散”而 改變。有理論認為電磁相互作用是通過交換光子 完成的，光子沒有靜止質(zhì)量使得電磁相互作用的 總強度不改變。?這就好比泉水不斷的流出并 在大地上擴散，

5、在大地平面內(nèi)任意取一個封閉曲 線，由于任何一個地方的水都不會“堆積”或“減 少"，則流入量等于流出量。從這個角度看，電 荷就表現(xiàn)為這股泉水向外冒水的"水流量"，而 高斯定律在電磁學中也有著較庫侖定律更重要 的意義。經(jīng)典電磁學中另一個十分重要的基礎公式是磁場的畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律II r這與庫侖定律相同，是一個實驗定律。與前者相 似，磁場的強度也隨距離的二次方成反比， 也說 明了磁場與電場在某些方面具有相同的特點。 根 據(jù)經(jīng)典電磁學理論，電場與磁場是電磁場的不同 表現(xiàn)形式，故而電流元產(chǎn)生的磁場隨距離平方反 比衰減也容易理解。另一方面，由于不存在磁單 極子，磁場

6、高斯定律中任意閉合曲面的磁通量為 零，相當于“泉水”沒有冒出來，但是水可以旋 轉(zhuǎn)流動，形成“漩渦”，使處處也沒有水量的增 減，卻形成了水流。這樣看，“漩渦”的形成雖 不需要水源，但需要一定的水量；類比得出磁場 雖沒有源頭，但需要電場存在磁場才能存在，或 者說磁場反映了電場與旋轉(zhuǎn)有關的某些特性。事 實上，磁場可以被看作電場的相對論效應。2 而這種效應可以被精確地推演出來。除此以外，電場與磁場間也存在著相互作用， 其量化表現(xiàn)為洛倫茲力F qv B如果可以通過與分析庫侖力相同的方法分析， 那么洛倫茲力的形成原理也可以得到統(tǒng)一的解 釋，即電磁場可以統(tǒng)一理解為一種物質(zhì)。總體來 說，電磁規(guī)律可以歸結為兩個

7、麥克斯韋電磁場運 動方程和一個洛倫茲力公式。3由于相對論在 經(jīng)典力學與電磁場理論的矛盾中承認經(jīng)典電磁學正確，電磁學規(guī)律必然滿足相對論協(xié)變性， 而 從相對論出發(fā)也應當能夠推演出電磁場規(guī)律。經(jīng)典電磁理論的相對論協(xié)變性狹義相對論要求一切物理學規(guī)律在不同參照系 中有相同表現(xiàn)形式，這就要求電磁場理論必須在 高速運動的條件下依舊成立。有錯誤的理論將經(jīng) 典力學的時空觀引入經(jīng)典電磁學，結果得出了違 背協(xié)變性的結論，也從另一個方面證明了狹義相 對論的洛倫茲變換是電磁學及其時空觀的必然 要求。1.高速狀態(tài)下的電磁場規(guī)律在推導高速狀態(tài)下的庫侖定律和畢奧-薩伐爾定 律之前，可以先做出假設，即電場高斯定律依然 成立。此

8、時相對電荷取一高斯面，有：X2 y2 Z2 r利用洛倫茲變換x(x vt)y yz zt (t 等)c其中1,1- 2，vc:；E SS0曲面變?yōu)?x2 y2 z2 r2，此時依舊有曲面上每點電 場強度都相等，并結合高斯定律oEdS A，通過變換為球坐標，并由旋轉(zhuǎn)對稱性省去，得坐標變換： x r cos ; y2z2r2 sin2可以解得:1 q 12、E'3 3r4 0 r 2.22(1 sin)2事實上，直接通過洛倫茲變換中的坐標變換和力律對 變換也能得出相同結論。即在不默認高斯定任意慣性系都成立的情況下也能推導出相同的 電場公式，并由此證明高斯定律具有協(xié)變性。2.洛倫茲力公式協(xié)變

9、性的證明洛倫茲在1892年建立經(jīng)典電子論時以基本假定 的形式引入了洛倫茲力公式F qv B對于同時存在電場和磁場時，電場力與洛倫茲力 并存，即現(xiàn)在上式也被稱作洛倫茲力，它已被大量的物理 實驗和工程實踐所證實。4若引入力的洛倫茲 變換：V 一:F x2 F uFxc1UxV1 2c；FyFz(1孚)c代入洛倫茲力則有:FxFyv -Fx2F uc1 u1 2cFy(1 UV)cq2(1UxVy;舶2"3-(yuzzuz)；Fz(1芋)cq2 (1UxV、1 q2丿c 4 o ry;UzZk)篤4 (Uyy UzZ)i Uzyjc 4 o r此處不加證明的引入電場與磁場在高速運動下的參考

10、系變換結論:E2 c上式可改寫成：F q2E q2V B由此證明了洛倫茲力的協(xié)變性。利用庫侖定律和狹義相對論的變換關 系以及電荷守恒，可以十分自然地引入電場和磁 場，且與低速時的經(jīng)典電磁學理論完全一致。2 憑借由坐標變換得到的電場力和磁場力公式， 可 以證明電場和磁場的高斯定律、安培環(huán)路定則在 高速運動下依舊成立，并由此證明麥克斯韋方程 組也滿足高速運動。3由于狹義相對論起源于 電磁學，又假設一切物理學規(guī)律在慣性系中具有 相同的表現(xiàn)形式，故而協(xié)變性狹義相對論協(xié)變性 的必然推論。在簡單情況下推演電磁學基本內(nèi)容狹義相對論從經(jīng)典電磁場理論出發(fā)， 又極大的推 進了經(jīng)典電磁場理論。可以從最基本，最少量的

11、 假設出發(fā)，導出一系列的電磁基本規(guī)律，使一些 看似毫不相關的電磁規(guī)律（例如庫侖定律、比奧 -薩伐爾定律、安培定律、電磁感應定律等等） 有了內(nèi)在的聯(lián)系。5通具有協(xié)變性，而且在低 速情況下可以用一部分電磁場方程推演另一些 方程。1將洛倫茲力看做電場力的相對論效應對于洛倫茲力F q(E v B)利用狹義相對論的洛倫 茲變換，可以從庫侖定律推演洛倫茲力?？紤]兩條無限長直導線，相互間的距離為 r，通 以同向電流I，則由比奧-薩伐爾定律和洛倫茲 力公式容易求得單位導線所受磁場力大小為：dFdx另一方面，設導線中電子線密度為 ，則有I v 此時以電子為參照系，不移動的正金屬離子會逆 向移動，由于狹義相對論效

12、應，動尺收縮，其線 密度會發(fā)生改變，仿照洛倫茲變換，由協(xié)變性出 發(fā)，電荷線密度和電流強度也將發(fā)生類似的參考 系變換效應：因為電荷守恒定律-J，有-I(上xiy丄)y z由協(xié)變性可以認為 滿足相同的變換。Ix，I，Iz，與( x，y，z，t)x(xvt)I xyyIy由zz可得Izvx、t(t-x)cIz(Ix t)IyVIx這樣原本電中性的導線將帶有正電荷， 使得負電子受到吸引，稱這種電荷為“表觀電荷” 。5由于 0，帶電量在另一導線處的電場1.1.vl2 o r 2 o rc2代入c亠上式可近似為:pooo lv廠7dFdxo I2上式與磁場力的表達完全相同。令表觀電荷產(chǎn)生 的電場力等于磁場

13、力，可得B 4。在更復雜的情C況中，已有相當多的文獻證明在宏觀低速條件 下，洛倫茲力公式F q(E V B)可以由電場力導出。3這種導出同樣需要對電學量進行參考系變 換，一般用在三維空間中使用(，Jx，Jyd)與(t , x, y, z,)對應，可以證明任意宏觀低速情況下， 洛倫茲力公式都可以導出。52. 基于狹義相對論推演安培環(huán)路定則與洛倫茲力的證明類似，洛倫茲變換同樣能導出 畢奧-薩伐爾定律。利用之前的結論：qr3并代入e丄g 34 0r (12frsin )2由此，磁場變化為2)v r2 . 2 2sin )2在宏觀低速的情況下近似為:qv rJ 3 r使得原本作為實驗定律而出現(xiàn)的畢奧薩

14、伐爾定 律現(xiàn)在成了相對論協(xié)變性的必然推論。1 再重新考慮一無限長直導線，代入之前的結論， 在距離r處磁感應強度為：B于pv r，使得瀘dl -(v r) dl I，即滿足了安培2 r1l2 r環(huán)路定則。若考慮有限長直導線通過疊加法并考 慮由于電荷在導線兩端堆積在周圍所激發(fā)的位 移電流，可證明安培環(huán)路定則對有限長導線也成 立，由此證明普遍的安培環(huán)路定則。63. 結論從相對論的洛倫茲變換出發(fā)，可以推導出畢奧 - 薩伐爾定律和洛倫茲力公式、安培環(huán)路定則，由 此可以證明磁場高斯定律和電場安培環(huán)路定則（法拉第電磁感應定律）。7即說明了相對論起 源于電磁學，又發(fā)展推廣了電磁學，支持了洛倫 茲變換而非伽利略

15、變換。另一方面，也說明在某 種程度上，既可以由麥克斯韋方程組證明協(xié)變 性，也可由協(xié)變性推演麥克斯韋方程組， 可以認 為狹義相對論的協(xié)變性與麥克斯韋電磁場理論 具有相同的內(nèi)涵?？偨Y與展望在低速情況下，磁場完全可以被理解為電場的一 種相對論效應。這種效應可以認為是洛倫茲變換 這種“時空伸縮”導致的電場線的空間分布發(fā)生 了變化，導致了電場需要一種修正，這種修正就 是磁場。這也解釋了磁場存在的地方電場必定存 在。由于這種修正很小，使得低速情況下磁場力 遠小于電場力。在高速運動狀態(tài)下，洛倫茲變換 不在滿足這種近似，磁場與電場不再是線性關 系，將磁場看做電場的衍生品也不在有利于表達 電磁場理論，此時更應將

16、磁場與電場都視作電磁 場的一部分，是其不同的表現(xiàn)。然而，經(jīng)典電磁學也表現(xiàn)出一些局限性： 對于電 荷做加速運動時，會激發(fā)出電磁輻射，而在高速 運動中，必然牽扯到廣義相對論，使得經(jīng)典電磁 學理論出現(xiàn)較大偏差8;另一方面，對于微觀 狀態(tài)下的電磁學，由于各種物理量都是量子化 的，經(jīng)典電磁學也將不再適用。 故而，經(jīng)典 電磁學只與狹義相對論相對應?？偠灾?，從狹 義相對論的坐標變換可以推演電磁學結論， 說明 從相對論時空觀理解電磁學現(xiàn)象是十分可行的， 使得電與磁成為了同一種事物，即電磁場的不同 方面性質(zhì)的描述，而電與磁之間的關聯(lián)性也成為 了相對論效應的體現(xiàn)。參考文獻1. 楊素珍 狹義相對論與電磁學J重慶師范學 院學報（自然科學版）1997.62. 湯國興電磁感應與安培力的相對論注釋J青島大學學報2001.73. 屠德雍狹義相對論與