拉格朗日函數(shù)

1、9.10 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法0 多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值0 條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值拉格朗日乘數(shù)法的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值 特別的：二元函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的的點(diǎn)點(diǎn)),(yx：若滿足不等式：若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在),(00

2、yx有極大值；若滿足不等式有極大值；若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、多元函數(shù)極值的定義、多元函數(shù)極值的定義 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). . 設(shè)設(shè)P P R Rn n, , 函數(shù)函數(shù)u=f(p)u=f(p)在在p p0 0的某鄰域的某鄰域U(pU(p0 0, , ) )內(nèi)有內(nèi)有定義，對(duì)任何定義，對(duì)任何p p U(p U(p0 0, , ), p), pp p0 0, , 都有都有f(p)f(pf(p)f(pf(p)f(p0 0), ),

3、 稱稱函數(shù)函數(shù) u=f(p)u=f(p)在在p p0 0點(diǎn)有極小值。點(diǎn)有極小值。(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取

4、得極值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說(shuō)明一元函數(shù)說(shuō)明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件

5、為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例例, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn).前提：多元函數(shù)在（前提：多元函數(shù)在（X0,Y0）處有偏導(dǎo)。）處有偏導(dǎo)。注：注：1）極值點(diǎn)處的切平面平行于）極值點(diǎn)處的切平面平行于xoy平面；平面； 2）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為函數(shù)的函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)如何判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？如何判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，令，令: : Ayxfxx )

6、,(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值也可能沒有極值定理定理 2 2 ( (充分條件充分條件) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求求函函數(shù)數(shù)z z= =f

7、f( (x x, ,y y) )極極值值的的一一般般步步驟驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.例例 4 4 求函數(shù)求函數(shù) f(f(x,y)=xx,y)=x4 4+y+y4 4-x-x2 2-2xy-y-2xy-y2 2的極值的極值 解解 f fx x( (x,y)=4xx,y)=4x3 3-2x-2y-2x-2y=0=0，f fy

8、y( (x,y)=4yx,y)=4y3 3-2x-2y-2x-2y=0=0， 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)（1 1，1 1） ，） ， （-1-1，-1-1） ，） ， （0 0，0 0） 。） 。 判斷：求二階偏導(dǎo)判斷：求二階偏導(dǎo) f fxxxx( (x,y)=12xx,y)=12x2 2-2, -2, f fxyxy( (x,y)=-2x,y)=-2, , f fyyyy( (x,y)=12yx,y)=12y2 2-2-2， 在點(diǎn)在點(diǎn)（1 1，1 1）處，）處， A=fA=fxxxx(1,1)=10, (1,1)=10, B=fB=fxyxy(1,1)=-2(1,1)=-2，C=fC=fyyyy(1,1)

9、=10(1,1)=10 因因 B B2 2AC0AC0A0， 故故 f(1,1)=f(1,1)= -2-2 為極小值為極小值 類似可得類似可得 f(-1,-1)=f(-1,-1)= - -2 2 為極小值為極小值在點(diǎn)在點(diǎn)（0 0，0 0）處，）處，A=B=C=A=B=C= - -2 2，B B2 2-AC=0-AC=0，此時(shí)應(yīng)用極值定義判斷此時(shí)應(yīng)用極值定義判斷 f(0,0)=0f(0,0)=0 是否為極值是否為極值對(duì)足夠小的正數(shù)對(duì)足夠小的正數(shù) ，有，有 f(f( ，0)=0)= 2 2（ 2 2-1-1）0, 0 0這說(shuō)明在點(diǎn)這說(shuō)明在點(diǎn)（0 0，0 0）的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于）的任一鄰域

10、內(nèi)，既有函數(shù)值大于f(0f(0, ,0)0)的點(diǎn)，又有函數(shù)值小于的點(diǎn)，又有函數(shù)值小于 f(0f(0，0)0)的點(diǎn)，故的點(diǎn)，故f(0f(0，0)0)非極值非極值. .求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最大者即為最大值，最小者即為最小值. .3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值例例: : 求函數(shù)求函數(shù) z=f(z=f(x,y)=xx,y)=x2 2+4y+4y2 2+9+9 在區(qū)域在區(qū)域 D D：x x2

11、2+y+y2 24 4 上的上的最大值最大值 M 和最小值和最小值 m. .解解 第一步，求第一步，求 f f 在域內(nèi)的可能極值點(diǎn)的函數(shù)值為此解在域內(nèi)的可能極值點(diǎn)的函數(shù)值為此解: : f fx x( (x,y)=2xx,y)=2x=0=0，f fy y( (x,y)=x,y)=8 8y y=0=0，駐點(diǎn)，駐點(diǎn)(0,0), f(0,0)=9.(0,0), f(0,0)=9.第二步，求第二步，求 f f 在邊界上的可能最值點(diǎn)的函數(shù)值在邊界在邊界上的可能最值點(diǎn)的函數(shù)值在邊界 x x2 2+y+y2 2= =4 4 上，上，z=xz=x2 2+y+y2 2+3y+3y2 2+9=3y+9=3y2 2+

12、13+13，2 2y y2 2， 令：令：06 ydydz, , 得得 y=0 y=0，z=13;z=13; y y= =2 2 時(shí)，時(shí)，z z=25=25 第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為M，最小者為最小者為m故故M=25=25，m=9=9解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,例例 5 5 求求二二元元函函數(shù)數(shù)

13、)4(),(2yxyxyxfz 在在直直線線6 yx，x軸軸和和y軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值與與最最小小值值.解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxD在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD(舍去舍去x1)例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2

14、)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由 x=y即邊界上的值為零即邊界上的值為零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無(wú)條件極值無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件外，并無(wú)其他條件.實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢，他決定用來(lái)購(gòu)買兩元錢，他決定用來(lái)購(gòu)買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu)買購(gòu)買

15、張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常

16、數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).條件極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值：對(duì)自變量有附加條件的極值拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)

17、數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出tzyx,，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo)，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).例例 7 7 將正數(shù)將正數(shù) 12 分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)zyx,之和之和 使得使得zyxu23 為最大為最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為 2x=3y, y=2z例例 8 8 在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)作作橢橢球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四

18、面面體體體體積積最最小小，求求切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo).解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的切平面方程為的切平面方程為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為 1202020 czzbyyaxx,該切平面在三個(gè)軸上的截距各為該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在條件在條件122022022

19、0 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(3a，3b，3c)時(shí)時(shí),四面體的體積最小四面體的體積最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得

20、可得即即30ax 30by ，30cz 1. 在橢圓在橢圓 上求一點(diǎn)，使其到直線上求一點(diǎn)，使其到直線4422 yx0632 yx的距離最短。的距離最短。解解 設(shè)設(shè)P(x，y)為橢圓為橢圓 上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則P到直線到直線4422 yx0632 yx的距離為的距離為13|632| yxd),44()632(131),(222 yxyxyxF 求求d 的最小值點(diǎn)即求的最小值點(diǎn)即求 的最小值點(diǎn)。作的最小值點(diǎn)。作2d由由lagrange乘數(shù)法，令乘數(shù)法，令0, 0, 0 FyFxF得方程組得方程組 . 044, 08)632(136, 02)632(13422yxyyxxyx 解此方程組得解

21、此方程組得53,58;53,582211 yxyx于是于是.1311,131),(),(2211 yxyxdd由問題的實(shí)際意義最短距離存在，因此由問題的實(shí)際意義最短距離存在，因此 即為所求點(diǎn)。即為所求點(diǎn)。 53,58 0440)83(22yxyx 2.2.求平面求平面1543 zyx和柱面和柱面122 yx的交線上與的交線上與xoy平面距離最短的點(diǎn)平面距離最短的點(diǎn) . .),(zyx解：設(shè)點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)zd 則則)1543()1(),(22212 zyxyxzzyxF 設(shè)設(shè)32),(21 xzyxFx42),(21 yzyxFy52),(2 zzyxFz0 0 0 yx86 122 yx又又53,54 yx1285,123521 zz)1235,53,54(距離最短點(diǎn)距離最短點(diǎn)之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz3.3.解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物