數(shù)學(xué)物理方程結(jié)課論文

1、N-S方程在平板間脈沖流動(dòng)中的應(yīng)用摘要粘性流體力學(xué)是一個(gè)歷史悠久而又富有新生命力的學(xué)科。它與人們?nèi)粘Ｉ?、健康和旅行無(wú)不息息相關(guān)。早在紀(jì)元前希臘學(xué)者阿基米德即建立了液體載物的浮力理論，其領(lǐng)先遠(yuǎn)超于力學(xué)建基之始。二千二百年前在李冰父子創(chuàng)導(dǎo)下，我國(guó)也建利灌舒洪的都江堰，這個(gè)偉大工程當(dāng)時(shí)確已掌握現(xiàn)今的水力學(xué)原則和近代的工程設(shè)計(jì)理論。在流體粘性效應(yīng)的問(wèn)題上，不乏先進(jìn)接連攻關(guān)，終難勝克，足見其艱困之甚。近數(shù)年代里，由于工業(yè)發(fā)展的迫切需求，已促進(jìn)不少新學(xué)科的萌芽滋長(zhǎng)。諸如能源發(fā)展；海洋、大氣和陸地交應(yīng)干擾和持恒；農(nóng)林牧業(yè)的生物科技新探索；城市、河流和山岳的環(huán)境保護(hù)；疾病防治的醫(yī)療科學(xué)以及自然災(zāi)害的消減和救

2、援等都賦予流體力學(xué)新的生命。納維-斯托克斯方程又稱為N-S方程，是描述實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)的微分方程式，納維-斯托克斯方程在流體力學(xué)中有十分重要的意義。本文將在闡述粘性流體力學(xué)的基本方程的基礎(chǔ)上，借助于數(shù)學(xué)軟件MAPLE，應(yīng)用N-S方程解決平行平板間的脈沖流動(dòng)問(wèn)題。關(guān)鍵詞：N-S方程，平行平板，脈沖流動(dòng)，Maple第一章 數(shù)學(xué)及物理背景數(shù)學(xué)物理方程以具有物理背景的偏微分方程（組）作為研究的主要對(duì)象，主要是指力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)中提出來(lái)的偏微分方程，它是隨著17世紀(jì)工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展，伴隨著天文學(xué)、物理學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展而逐步形成的一門獨(dú)立學(xué)科。描述許多自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)形式都可以是偏微分方程式，特別

3、是很多重要的物理力學(xué)及工程過(guò)程的基本規(guī)律的數(shù)學(xué)描述都是偏微分方程，例如流體力學(xué)、電磁學(xué)的基本定律都是如此。所以數(shù)學(xué)物理方程在推動(dòng)數(shù)學(xué)理論發(fā)展對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，加強(qiáng)理論與實(shí)際的聯(lián)系，幫助人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界都起著重要作用。但是在使用函數(shù)和解方程中，針對(duì)表達(dá)式和符號(hào)運(yùn)算的問(wèn)題一直困擾著我們，只能依賴鉛筆和演草紙進(jìn)行純手工計(jì)算，現(xiàn)在這些工作都可以借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)來(lái)完成。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)包括數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算、圖形演示和編程等四部分。在科學(xué)研究、教育教學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。Maple是一種計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，是目前廣泛使用的數(shù)學(xué)計(jì)算工具之一。用Maple不但可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的加減乘除運(yùn)算，也可以求

4、解代數(shù)方程、微分方程，進(jìn)行微分運(yùn)算或處理線性代數(shù)問(wèn)題。納維斯托克斯方程是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質(zhì)的方程。這些方程建立了流體的粒子動(dòng)量的改變率和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力以及引力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動(dòng)態(tài)平衡。納維斯托克斯方程依賴于微分方程來(lái)描述流體的運(yùn)動(dòng)。這些方程和代數(shù)方程不同，不尋求建立所研究的變量的關(guān)系，而是建立這些變量的變化率或通量之間的關(guān)系。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)講，這些變化量對(duì)應(yīng)于變量的導(dǎo)數(shù)。這表示對(duì)于給定的物理問(wèn)題的納維斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才能取得。第二章 納

5、維斯托克斯方程納維斯托克斯方程為一組非線性二階偏微分方程組，一般情況下在數(shù)學(xué)上求其精確解是非常困難的。只有在某些特殊流動(dòng)情況下，例如當(dāng)非線性的遷移項(xiàng)為零的情況下，可以求得精確解。NS方程 對(duì)于粘性不可壓縮流體的方程而言，壓力項(xiàng)及粘性性是線性的，而慣性項(xiàng)卻是非線性的。這一非線性項(xiàng)的存在使得在解方程時(shí)，碰到很大的困難。在理想不可壓縮流體的 Euler 方程，雖然也存在非線性的慣性項(xiàng)，但是因?yàn)橄喈?dāng)一部分的實(shí)際問(wèn)題是無(wú)旋的。對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，問(wèn)題可歸結(jié)為求解線性的 Laplace 方程（運(yùn)動(dòng)學(xué)方程），速度勢(shì)求出后，壓力可由拉格朗日積分或伯努力積分求出（動(dòng)力學(xué)問(wèn)題），問(wèn)題得到了很大的簡(jiǎn)化。 但是粘性不可壓縮

6、流體的運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)都是有旋的，因而也不存在拉格朗日積分或伯努力積分，因此不得不求解原始的二階偏微分方程組。 到目前為止，還沒(méi)有求解非線性偏微分方程到普遍有效的方法，在流體力學(xué)中，求解上述非線性偏微分方程組通常有兩種主要途徑：（1）準(zhǔn)確解：在一些簡(jiǎn)單到問(wèn)題中，由于問(wèn)題的特點(diǎn)，非線性的慣性項(xiàng)或者等于零，或者是非常簡(jiǎn)單的非線性方程組，此時(shí)基本方程組或者化為線性方程組，或者化為簡(jiǎn)單的非線性方程組，從而可以找出方程組的準(zhǔn)確解來(lái)。但是具有準(zhǔn)確解的問(wèn)題為數(shù)很少，而且一般說(shuō)來(lái)很少能直接地用到實(shí)際問(wèn)題中去。（2）近似解：根據(jù)問(wèn)題到特點(diǎn)，略去方程中某些次要項(xiàng)，從而得出近似方程。在某些情況下，可以得出近似方程的解。

7、這種途徑稱為近似方法，可采用近似方法求解的主要有下列兩種情況： （a）小雷諾數(shù)Re情況，此時(shí)粘性力較慣性力大得多?？梢匀炕虿糠值睾雎詰T性力得到簡(jiǎn)化的線性方程。 （b）大雷諾數(shù)Re情況，若將粘性力全部略去，并且在物面上相應(yīng)地提滑移邊界條件，這就是理想流體的近似模型。在這個(gè)近似模型中無(wú)法求出符合實(shí)際的阻力。 進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，在貼近物面很薄的一層邊界層中，必須考慮粘性的影響，但此時(shí)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，可以略去粘性力中的某些項(xiàng)，從而得到簡(jiǎn)化的邊界層方程（仍是非線性的）。而在邊界層外，仍可將粘性全部忽略。（c）對(duì)于中等雷諾數(shù)Re的情況，慣性力和粘性力都必須保留，此時(shí)只能通過(guò)其它途徑簡(jiǎn)化問(wèn)題，或者利用數(shù)值計(jì)

8、算方法求方程到數(shù)值解。第三章 平行平面間的脈沖流動(dòng)圖表 1 平行平板間的脈沖流動(dòng)平行平面間的脈沖流動(dòng)是一個(gè)可以得到NS方程精確解的非恒定流動(dòng)，它對(duì)研究血液流動(dòng)是有意義的。圖1兩個(gè)固定的平行平面位于= 處，處的壓強(qiáng)梯度隨時(shí)間振動(dòng)，于是方向的流速也將隨壓強(qiáng)梯度而振動(dòng)。在方向流速均為零，即，從而由連續(xù)性方程可得。于是 NS方程簡(jiǎn)化為 邊界條件 假設(shè)壓強(qiáng)梯度的振動(dòng)為以下形式： 式中，為實(shí)數(shù)常數(shù)，代表振動(dòng)幅度，代表振動(dòng)頻率，則式（1）改寫為 若流速可以表示為 式中，“”表示括弧中量的實(shí)數(shù)部分。代入式（4），得 從而，或?qū)憺?為函數(shù)的非齊次線性方程。這個(gè)常微分方程的解是由一個(gè)常數(shù)的特解和齊次方程的通解所組

9、成，即，其中特解為 其次方程的通解為 式中，為待定系數(shù)，由邊界條件，可以得出 從而定出常數(shù): 于是方程（3.8）的解為 流速： 為了直觀地分析結(jié)果，將分別賦予相應(yīng)的具體數(shù)值，并應(yīng)用MAPLE作出3D圖像（圖像及MAPLE語(yǔ)句見附錄），可以看出，流速與壓強(qiáng)梯度具有相同的振動(dòng)頻率，但存在隨而變化的相位差。壁面附近的振幅與中心處振幅不同，由邊界條件可以看出在避免處振幅趨近于零。課程總結(jié)再次接觸數(shù)學(xué)物理方程這門課感觸很深，雖然本科階段對(duì)這門課程有過(guò)基本的學(xué)習(xí)，但當(dāng)時(shí)的感覺只是學(xué)習(xí)從物理問(wèn)題中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并沒(méi)有將方法用于實(shí)踐，現(xiàn)在更加注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題，尤其是解決專業(yè)相關(guān)的具體問(wèn)題。數(shù)學(xué)物理方程這門課素來(lái)以“繁，難”著稱，較之高等數(shù)學(xué)有過(guò)之而無(wú)不及。但是在本次的學(xué)習(xí)過(guò)程中，加入了數(shù)學(xué)軟件MAPLE的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，使得單純的數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)變得不再單調(diào)和枯燥，并且將所學(xué)內(nèi)容應(yīng)用于專業(yè)知識(shí)的分析與處理，應(yīng)用于實(shí)際的物理問(wèn)題。本課程收獲頗豐得益于教員鞭辟入里的剖析講解、啟發(fā)式的教學(xué)模式和團(tuán)結(jié)合作、相互探討的課堂氛圍。在課程進(jìn)行過(guò)程中仍存在一點(diǎn)瑕疵，學(xué)生自己準(zhǔn)備章節(jié)時(shí)，部分基礎(chǔ)性的理論并沒(méi)有充分準(zhǔn)備，例如行波法非齊次問(wèn)題的處理這一節(jié)中，齊次化原理是求解的基礎(chǔ)，但學(xué)生授課時(shí)并沒(méi)有準(zhǔn)備