最大公因式(高等代數)

1、提供網站： i) ( )( ),( )( );d xf xd x g x1公因式公因式: :( )( ) ,f xg xP x 、( )xP x ,若若滿足滿足:( )( ),x g x ( )( )xf x 且且2最大公因式最大公因式: :( )( ) ,f xg xP x 、( ) d xP x 若若滿足：滿足：ii) 若若 ， 且且 ，則，則( ) xP x ( )( )xf x ( )( )x g x ( )( ).x d x 則稱則稱 為為 的的最大公因式最大公因式 ( )d x( )( )、f xg x則稱則稱 為為 的的公因式公因式 ( )( )f xg x、( )x 一、公因式

2、一、公因式 最大公因式最大公因式 說明：說明： 是是( )f x ， 與與零多項式零多項式0的最大公因式的最大公因式( ) f xP x( )f x 的首項系數為的首項系數為1的最大公因式記作的最大公因式記作: :( )( )、f xg x( ( ) .(f xg x、 若若 ，則，則 的最大公式為零的最大公式為零。( )= ( )0f xg x ( ),( )f xg x若若 不全為零，則不全為零，則( ),( )f xg x( ( ),( )0.f xg x 最大公因式不是唯一的，但首項系數為最大公因式不是唯一的，但首項系數為1的最大的最大公因式是唯一的公因式是唯一的.c c為非零常數為非

3、零常數 12( ) c( )dxdx= 若若 為為12( )( )dxdx、( )( )、f xg x的最大公因式，則的最大公因式，則說明：說明： 提供網站： 二、最大公因式的存在性與求法二、最大公因式的存在性與求法 若等式若等式 成立，則成立，則 與與 有相同的公因式有相同的公因式, ,從而從而 ( )( ) ( )( )f xq x g xr x( )( )、f xg x( )( )、g xr x( ( )( )( ( )( ),f xg xg xr x 引理：引理：提供網站： 定理定理2對對 ，在在 中存在中存在一個最大公因式一個最大公因式 ，且，且 可表成可表成 的一個組合，即的一個組

4、合，即 ，使使 ( )( ) f xg xP x、 P x( )d x( )d x( )( )、f xg x( )( ) u xv xP x、( )( ) ( )( ) ( ).d xu x f xv x g x =若若 有一為有一為0，如，如 ，則則 ( )( )、f xg x( )0g x ( )f x就是一個最大公因式且就是一個最大公因式且 ( )1( )0( ).f xf xg x 考慮一般情形：考慮一般情形： ( )0,( )0,f xg x用用 除除 得：得： ( )g x( )f x11( )( ) ( )( )f xq x g xr x其中其中 或或 . . 1( ( )( (

5、 )r xg x 1( )0r x 212( )( ) ( )( )g xqx r xr x若若 ，用，用 除除 ，得：，得： 1( )r x( )g x1( )0r x 證：證：若若 ，用，用 除除 ，得，得 2( )0r x 2( )r x1( )r x1323( )( ) ( )( ),r xqx r xr x如此輾轉下去，顯然，所得余式的次數不斷降低，如此輾轉下去，顯然，所得余式的次數不斷降低，因此，有限次后，必然有余式為因此，有限次后，必然有余式為0設設 1( )0.srx 其中其中 或或 21( ( )( ( )r xr x 2( )0r x 12( ( )( ( )( ( )g

6、xr xr x 即即 于是我們有一串等式于是我們有一串等式 212( )( ) ( )( )g xqx r xr x1323( )( ) ( )( )r xqx r xr xi 2ii-1i( )( )( )( )rxq x rxr x s 3s 1s 2s 1( )( )( )( )rxqx rxrxs 2ss 1s( )( )( )( )rxq x rxr xs 1s 1s( )( ) ( )0rxqx r x11( )( ) ( )( )f xq x g xr x1( ( )( )=( ( )( )f xg xg xr x,s 1s=( )( )rxr x ,s( )( ) ( )( )

7、 ( ).r xu x f xv x g x =從而有從而有12=( ( )( )r xr x,=s=( ( ) 0)r x ,再由上面倒數第二個式子開始往回迭代，逐個消去再由上面倒數第二個式子開始往回迭代，逐個消去s 11( ), ( )rxr x 再并項就得到再并項就得到說明說明: : 定理中用來求最大公因式的方法，定理中用來求最大公因式的方法，通常稱為通常稱為輾轉相除法輾轉相除法注意注意: : 定理中最大公因式定理中最大公因式 ( )= ( ) ( )+ ( ) ( )d xu x f xv x g x中的中的 不唯一不唯一. ( )( )、u xv x 對于對于 ， 使使 , ,但是但

8、是 未必是未必是 的最大公因式的最大公因式. . ( ),( )( ) ( )( ) d xf xg xP xu x v xP x ,( ) ( )( ) ( )( )=d xu x f xv x g x ( )d x( )( ),f xg x如如: : ，則，則 2( )=1,( )=1f xxg x ( ( )( )=1.f xg x、取取 ，有，有 2( )=1,( )=u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x取取 ，也有，也有 ( )=0,( )=1u xv x( ) ( )+ ( ) ( )=1,u x f xv x g x取取 , ,也有也

9、有 2( )=2, ( )=21u xv xx ( ) ( )+ ( ) ( )=1.u x f xv x g x成立成立 ( )( )g( ) ( ) ( )+ ( ) ( )g( )= ( )u xh xx f xv xh x f xxd x事實上事實上, ,若若 則對則對 ，( )h x ( ) ( )+ ( ) ( )= ( ),u x f xv x g xd x 若若 ，且且( )( ) ( )( ) ( )d xu x f xv x g x =( )( ),( )( )d xf xd x g x則則 為為 的最公因式的最公因式( )d x( )( )、f xg x設設 為為 的任一

10、公因式，則的任一公因式，則( )x ( )( )、f xg x( )( ),( )( ),xf xx g x 證：證：( ) ( ( ) ( )( ) ( ),xu x f xv x g x 從而從而( )( ).x d x 即即 為為 的最大公因式的最大公因式 ( )d x( )( )、f xg x例例1432( )242,f xxxxx -432( )2,g xxxxx-2求求 ，并求并求 使使 ( ( )( )、f xg x( ), ( )u x v x( ( )( )( ) ( )( ) ( ).f xg xu x f xv x g x、432242xxxx -43222xxxx-(

11、)f x( )g x43222xxxx-11( )q x 32xx 1( )r x 1 x422xx 3222xxx 32xx 22x 2( )r x 2( )qx x3( )qx 32xx 02( ( ), ( )2f xg xx-22(1) ( )(2) ( ).xxf xxg x 解解: : 且由且由 112( )( )( ),( )(1) ( )( )f xg xr xg xxr xr x 得得 例例2. . 設設 432( )343f xxxxx32( )31023g xxxx求求 ，并求并求 使使 ( ( )( )、f xg x( ), ( )u x v x( ( )( )( )

12、( )( ) ( ).f xg xu x f xv x g x、因式，即因式，即就可以就可以)，這是因為，這是因為 和和 具有完全相同的具有完全相同的( )f x( )cf x若僅求若僅求 ，為了避免輾轉相除時出現為了避免輾轉相除時出現( ( )( )、f xg x注注1:1:分數運算，可用一個數乘以除式或被除式分數運算，可用一個數乘以除式或被除式(從一開始從一開始1( ( ), ( )( ), ( )f xg xc f xg x 212( ( ),( )( ),( ),f x c g xc f x c g x為非零常數為非零常數12,cc但是，在不同數域內公因子可能有變化。但是，在不同數域內

13、公因子可能有變化。注注2:2:最大公因式的存在性不因數域擴大而改變，最大公因式的存在性不因數域擴大而改變，24( )(1)(1),( )(1)(2)f xxxg xxx例如例如( ), ( ) ,f xg xP x 則稱則稱 為為互素的互素的(或互質的或互質的)( ), ( )f xg x1 1定義定義: :三、互素三、互素 ( ( ), ( )1,f xg x 若若互素互素 ( )( ),f xg x( ( ), ( )1f xg x( ), ( )f xg x除去零次多項式外無除去零次多項式外無說明說明: : 由定義，由定義，其它公因式其它公因式 定理定理3 互素互素 ，使，使 ( ),

14、( ) ,f xg xP x ( ), ( )f xg x( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x( ), ( ) u x v xP x 2 2互素的判定與性質互素的判定與性質證：證：顯然顯然設為設為 的任一公因式，則的任一公因式，則( )( ), ( )xf xg x ( )( ),( )( ),xf xx g x從而從而( )1,x 又又1( ),x ( ),0.xcc 故故( ( ), ( )1.f xg x 定理定理4若若 ，且，且 ， 則則 ( ), ( )1f xg x ( )| ( ) ( )f xg x h x( )| ( ).f xh x ( ), ( )1

15、,f xg x ( ), ( ) ,u x v xP x 證：證：使使( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )u x f x h xv x g x h xh x于是有于是有又又( )| ( ) ( ),f xg x h x( )|( ) ( )f xf x h x( )| ( ).f xh x1( )| ( )fxg x推論推論 若若 ，且，且 12( )| ( )( )| ( ),fxg xfxg x又又2( )| ( ),fxg x211( )|( )( ).fxfx h x12( ),( )1f xfx 12( )( )

16、| ( ).fx fxg x，則，則證證: :11( )( )( ),g xfx h x ，使，使1( )h x 于是于是 ，使，使2( )h x 122( )( )( ),h xfx h x 12( )( )| ( )fx fxg x12( ),( )1,fxfx 而而21( )|( )fxh x由定理由定理4有有122( )( )( )( )g xfx fx h x 從而從而證明：證明：若若 ， ( ), ( )1( ), ( )1,f x g x=f x h x ( ), ( ) ( )1.f x g x h x 則則練習練習: :12( ),( ),( ) (2)sfxfxfxP xs

17、若若 滿足滿足: : ( ) d xP x 定義定義i) ( )( ),1,2,id xf xis 則稱則稱 為為 的的最大公因式最大公因式 ( )d x12( ),( ),( )sfxfxfx( ) ,xP x ii)( )( ),1,2,ixf xis 若若( )( ).x d x 則則 四、多個多項式的最大公因式四、多個多項式的最大公因式 12( ),( ),( )sfxfxfx表示首表示首1最大公因式最大公因式 1211,.sssfffu fu f,= ，使，使 12, su uuP x 12121,sssfffffff =, 11, 11kksffffks = 的最大公因式一定存在的

18、最大公因式一定存在12( ),( ),( )sfxfxfx111.ssu fu f互素互素 使使12,sfff12, ,su uuP x 作業(yè)作業(yè)P455.1） 6.1) 9. 13. 14. a0121nnaaaaa 0121nnabababab) 00121nbabbbr 附附1:綜合除法綜合除法的商式的商式 101( )nnq xb xb 和余式和余式r可按下列計算格式求得：可按下列計算格式求得：這里，這里，若若 1( ),nn-10nf xa x + a x+ a 則則 xa ( )f x除除110221,baabbaab1.nnraab 112,nnnbaab去除去除 求一次多項式求一次多項式 xa fx的商式及余式的商式及余式 把把 fx表成表成 xa 的方冪和，即表成的方冪和，即表成2012( )()()f xcc xacxa 的形式的形式說明說明： 綜合除法一般用于綜合除法一般用于提供網站： 32,12fxxxxg xxi 例例1求求 除除 的商式和余式的商式和余式 g x fx解解: 由由 ) 12i 12i 42i98i98i52i2i 有有 2( )( )25 29 8 .f xg x xixii 4解解: 1例例.把把 5( )f xx 表成表成 1x 的方冪和的方冪和 =0c232345=1c13636144