134最短路徑問(wèn)題2教案

1、13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題（第二課時(shí)） 造橋選址問(wèn)題一、教學(xué)目標(biāo)：（一）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.熟練應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)變換知識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力；2.學(xué)會(huì)利用平移變換知識(shí)解決造橋選址的最短路徑問(wèn)題；3.體會(huì)平移變換在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想（二）教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用平移將“造橋選址”的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”問(wèn)題（三）教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：如何利用平移將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段和最小問(wèn)題二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)平移不改變圖形的 和 ;三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：三角形任意兩邊的差 第三邊;如圖，直線(xiàn)AB，CD且ABCD，在直線(xiàn)AB上任取不同兩點(diǎn)P、Q，過(guò)P、Q分別作CD的垂線(xiàn)

2、，垂足分為M、N，則PM與QN的大小關(guān)系為（ ）APMQN BPMQN CPMQN D不能確定答案：形狀，大?。?小于； B2.預(yù)習(xí)自測(cè)直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在 時(shí)，PA+PB有最小值，最小值為AB的值；直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在 時(shí)，PB-PA等于A(yíng)B的值；直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在 時(shí)，PA-PB等于A(yíng)B的值；【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)段的和差【數(shù)學(xué)思想】分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合【思路點(diǎn)撥】直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P與線(xiàn)段AB的位置關(guān)系有兩種：如圖1，點(diǎn)在線(xiàn)段AB上；如圖2和圖3，點(diǎn)在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上或點(diǎn)在直線(xiàn)AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上.【解題過(guò)程】當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖1，PA+PB=AB即PA+PB最

3、小值為AB的值；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，PB-PA=AB；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，PA - PB =AB；【答案】線(xiàn)段AB上；線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上；線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上.如圖，點(diǎn) A、B在直線(xiàn)l的同側(cè)，在直線(xiàn)l上能否找到一點(diǎn)P，使得PBPA的值最大？ 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短，三角形兩邊的差小于第三邊【思路點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B不共線(xiàn)時(shí)，根據(jù)“三角形任意兩邊的差小于第三邊” ，則PBPAAB； 當(dāng)點(diǎn)P與A、B共線(xiàn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，即點(diǎn)P為直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)，則PBPA=AB.【解題過(guò)程】當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上且點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B不共線(xiàn)時(shí)PBPAAB；當(dāng)點(diǎn)P在

4、線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)時(shí)，如圖，PB-PA=AB，即PBPA=AB； 【答案】如圖，連接BA并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l 于P，此時(shí)PBPA的值最大.（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一定方向、移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形變換稱(chēng)為平移變換（簡(jiǎn)稱(chēng)平移）. 平移不改變圖形的形狀和大小.三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：三角形兩邊的差小于第三邊2.問(wèn)題探究 探究一 運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)解決距離之差最大問(wèn)題活動(dòng)回顧舊知，引入新知師：上節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的學(xué)者海倫，解決了數(shù)學(xué)史中的經(jīng)典問(wèn)題“將軍飲馬問(wèn)題”，但善于觀(guān)察與思考的海倫在解決“兩點(diǎn)（直線(xiàn)同側(cè)）一線(xiàn)”的最短路徑問(wèn)題時(shí)他從另一角度發(fā)現(xiàn)了“最大值”的情況：

5、活動(dòng)整合舊知，探究新知例1. 如圖， A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l的異側(cè)，在直線(xiàn)l上求作一點(diǎn)C，使ACBC的值最大【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)變換，三角形三邊的關(guān)系【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、利用三角形三邊的關(guān)系，通過(guò)比較來(lái)說(shuō)明最值問(wèn)題是常用的一種方法.此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A(或點(diǎn)B)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(或B)，利用三角形任意兩邊之差小于第三邊，再作直線(xiàn)AB(AB)與直線(xiàn)l交點(diǎn)C.【解題過(guò)程】如圖1所示，以直線(xiàn)l為對(duì)稱(chēng)軸，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求活動(dòng)類(lèi)比建模，證明新知師：回憶我們是怎么利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)證明“兩點(diǎn)（直線(xiàn)同側(cè)）一線(xiàn)型”時(shí)AC +BC最小的嗎？試類(lèi)比證明“ACB

6、C最大”的作法是否正確性？理由：在直線(xiàn)l上任找一點(diǎn)C (異于點(diǎn)C )，連接CA，CA，CA，CB.因?yàn)辄c(diǎn)A，A關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，所以l為線(xiàn)段AA的垂直平分線(xiàn)，則有CACA，所以CACBCACBAB.又因?yàn)辄c(diǎn)C在l上，所以CACA.又在A(yíng)BC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB.練習(xí) 點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.若P是x軸上使得|PAPB|的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)P與點(diǎn)Q.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短，三角形任意兩邊的差小于第三邊，三角形任意兩邊的和大于第三邊【思路點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)P與A、B共線(xiàn)時(shí)，

7、即在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)P為直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn)，則此時(shí)P是x軸上使得|PAPB|的值最大的點(diǎn)，即PAPB=AB. 將點(diǎn)A、B看成y軸同側(cè)有兩點(diǎn)：在y軸上求一點(diǎn)Q，使得QA+QB最小【解題過(guò)程】延長(zhǎng)線(xiàn)段AB，AB與x軸交于點(diǎn)P，則此時(shí)P是x軸上使得|PAPB|的值最大的點(diǎn)，即PAPB=AB；作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，AB的連線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn).【答案】如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)Q即為所求：探究二 利用平移解決造橋選址問(wèn)題活動(dòng)結(jié)合實(shí)際，難點(diǎn)分解師：常說(shuō)“遇山開(kāi)路，遇水搭橋”，生活中的建橋問(wèn)題與我們所學(xué)習(xí)的軸對(duì)稱(chēng)有什么關(guān)系呢？如圖，在筆直河岸CD上的點(diǎn)A處需建一座橋，連

8、接河岸EF，且CDEF.顯然當(dāng)橋AB垂直于河岸時(shí)，所建的橋長(zhǎng)最短.活動(dòng)生活中的實(shí)際問(wèn)題 例2. 如圖，A、B兩地位于一條河的兩岸，現(xiàn)需要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線(xiàn)，橋要與河岸垂直）【知識(shí)點(diǎn)】平移知識(shí)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短【思路點(diǎn)撥】需將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：從點(diǎn)A到點(diǎn)B要走的路線(xiàn)是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可如圖1，此時(shí)兩線(xiàn)段AM、BN應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到A A，則A A=MN，AM+NB= AN+NB，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線(xiàn)b的什么位置時(shí)，AN+NB最小？如圖2，連接A

9、，B兩點(diǎn)的線(xiàn)中，線(xiàn)段 AB最短，因此，線(xiàn)段AB與直線(xiàn)b的交點(diǎn)N的位置即為所求，即在點(diǎn)N處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的.圖1【解題過(guò)程】 如圖2，平移MN到 AA（或者過(guò)點(diǎn)A作A A垂直于河岸），且使AA等于河寬連接BA與河岸的一邊b交于點(diǎn)N.過(guò)點(diǎn)N作河岸的垂線(xiàn)交另一條河岸a于點(diǎn)M.【答案】如圖所示，則MN為所建的橋的位置圖2活動(dòng)幾何證明上述作圖為什么是最短的？請(qǐng)你想想.先讓學(xué)生小組合作完成，進(jìn)行展示、分享.證明：由平移的性質(zhì)，得 MNAA， 且MN= AA， AM=AN， AMAN，所以A、B兩地的距離:AM+MN+BN= AA+ AN+ BN = AA+ AB. 如圖2，不妨在直線(xiàn)b上

10、另外任意取一點(diǎn)N， 若橋的位置建在NM處，過(guò)點(diǎn)N作NM a，垂足為M ，連接AM ，AN ，N B.由平行知：AM=AN， AA= NM，則建橋后AB兩地的距離為：AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB. 在A(yíng)NB中，AN+NBAB，AA+AN+NBAA+AB ，即AM+MN+NBAM+MN+BN.所以橋建在MN處，AB兩地的路程最短.【設(shè)計(jì)意圖】利用平移等變換把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的已知問(wèn)題，從而做出最短路徑的選擇 .練習(xí) 如圖1，江岸兩側(cè)有A、B兩個(gè)城市，為方便人們從A城經(jīng)過(guò)一條大江到B城的出行，今欲在江上建一座與兩岸垂直的大橋，且筆直的江岸互相平行.應(yīng)如何選擇建橋的位置，才能

11、使從A地到B地的路程最短？【知識(shí)點(diǎn)】平移的知識(shí)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短【思路點(diǎn)撥】從A到B要走的路線(xiàn)是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此時(shí)兩線(xiàn)段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線(xiàn)段即為最短的，此時(shí)不難說(shuō)明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋【解題過(guò)程】(1)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬；(2)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N；(3)過(guò)點(diǎn)N作河岸的垂線(xiàn)交另一條河岸于點(diǎn)M.【答案】如圖2所示，則MN為所建的橋的位置3. 課堂總結(jié)知識(shí)梳理本堂課主要知識(shí)為兩個(gè)最值問(wèn)題：（1）利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決“線(xiàn)段距離之差最大”問(wèn)題

12、；（2）利用平移、兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短解決“造橋選址”問(wèn)題重難點(diǎn)歸納解決線(xiàn)段最值問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換把不在一條直線(xiàn)上的兩條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一條直線(xiàn)上，從而作出最短路徑的方法來(lái)解決問(wèn)題“距離之差最大”問(wèn)題的兩種模型：如果兩點(diǎn)在一條直線(xiàn)的同側(cè)時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)與原直線(xiàn)的交點(diǎn)處構(gòu)成線(xiàn)段的差最大；如果兩點(diǎn)在一條直線(xiàn)的異側(cè)時(shí)，先作其中一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為即可. 通常求最大值或最小值的情況，常取其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)解決，而用三角形三邊的關(guān)系來(lái)推證說(shuō)明其作法的正確性 “造橋選址”問(wèn)題的關(guān)鍵是把各條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一條線(xiàn)段上解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖?/p>

13、轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)異側(cè)的兩點(diǎn)到直線(xiàn)上一點(diǎn)所連線(xiàn)段的和最小的問(wèn)題（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1.如圖，A、B兩點(diǎn)分別表示兩幢大樓所在的位置，直線(xiàn)a表示輸水總管道，直線(xiàn)b表示輸煤氣總管道現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設(shè)一個(gè)連接點(diǎn)，安裝分管道將水和煤氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設(shè)至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短圖中，點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，AB分別交b、a于點(diǎn)C、D；點(diǎn)B是點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，BA分別交b、a于點(diǎn)E、F則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點(diǎn)依次是（ ）AF和C BF和E CD和C DD和E【知識(shí)點(diǎn)】最短路徑問(wèn)題【思路點(diǎn)撥】 圖中隱含了兩個(gè)“兩點(diǎn)（同側(cè)）一線(xiàn)型”的模型

14、.【解題過(guò)程】由軸對(duì)稱(chēng)的最短路線(xiàn)的要求可知：輸水分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)B關(guān)于a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B與A的連線(xiàn)的交點(diǎn)F，煤氣分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A與B的連線(xiàn)的交點(diǎn)C故選A【答案】A2. 如圖所示，一面鏡子MN豎直懸掛在墻壁上，人眼O的位置與鏡子MN上沿M處于同一水平線(xiàn)有四個(gè)物體A、B、C、D放在鏡子前面，人眼能從鏡子看見(jiàn)的物體有（ ） A.點(diǎn)A、B、C B. 點(diǎn)A、B、D C. 點(diǎn)B、C、D D. 點(diǎn)A、B、C、D【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)【思路點(diǎn)撥】物體在鏡子里面所成的像就是數(shù)學(xué)問(wèn)題中的物體關(guān)于鏡面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，人眼從鏡子里所能看見(jiàn)的物體是它關(guān)于鏡面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，必須在眼的視線(xiàn)范圍內(nèi)如下圖示，分別作A、B

15、、C、D四點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A、B、C、D由于C不在MON內(nèi)部，故人能從鏡子里看見(jiàn)A、B、D三個(gè)物體【解題過(guò)程】如下圖示，分別作A、B、C、D四點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A、B、C、D由于C不在MON內(nèi)部，故人能從鏡子里看見(jiàn)A、B、D三個(gè)物體【答案】B3如圖，在四邊形ABCD中，C50，BD90，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，EAF的度數(shù)為（ ）A50 B60 C70 D80【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、三角形的外角以及三角形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和【解題過(guò)程】在四邊形ABCD中，C50，BD90，BAD=130延長(zhǎng)AB到P，使BP=AB， 延長(zhǎng)AD到Q，使DQ=A

16、D，則點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)P，關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接PQ與BC相交于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，如圖，PQ的長(zhǎng)度即為AEF的周長(zhǎng)最小值；又BAD=130，在A(yíng)PQ中，PQ18013050. AEFPPAE2P，AFEQQAF2Q，AEFAFE2(PQ)250100 ，EAF=180100=80【思路點(diǎn)撥】 補(bǔ)全圖形，轉(zhuǎn)化為“一點(diǎn)兩線(xiàn)型”求三角形周長(zhǎng)最小的問(wèn)題；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180求出PQ，再根據(jù)三角形的外角以及三角形內(nèi)角和知識(shí)運(yùn)用整體思想解決【答案】D4.如圖，村莊 A，B在公路l的同側(cè)，在公路l上有一個(gè)公交車(chē)站點(diǎn)P，此點(diǎn)P使得PBPA值最大，試作出公交車(chē)站P的位置.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)?/p>

17、點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，三角形任意兩邊的差小于第三邊【思路點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B不共線(xiàn)時(shí)，根據(jù)“三角形任意兩邊的差小于第三邊” ，則PBPAAB； 當(dāng)點(diǎn)P與A、B共線(xiàn)時(shí)，即在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)P為直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)，則PBPA=AB.【解題過(guò)程】當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上且點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B不共線(xiàn)時(shí)PBPAAB；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)時(shí)，如圖，PB-PA=AB，即PBPA=AB； 【答案】如圖，點(diǎn)P為所求公交車(chē)站的位置.5. 如圖，等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上的中點(diǎn)，當(dāng)EF+EC取得最小值時(shí)，求ECF的度數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的“三線(xiàn)合一

18、”，軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短【思路點(diǎn)撥】拆分出點(diǎn)F、點(diǎn)C和直線(xiàn)AD，構(gòu)成“兩點(diǎn)一線(xiàn)型”的基本模型是解決本題的關(guān)鍵，連接CF（或者連接BF）與直線(xiàn)AD交于點(diǎn)E，此時(shí)EF+EC取得最小值為CF（或者BF），但題目要求ECF的度數(shù)，則只能連接CF，根據(jù)等腰三角形 “三線(xiàn)合一”的性質(zhì)求解.【解題過(guò)程】取AB得中點(diǎn)F，則等邊三角形AC邊的中點(diǎn)F與點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)；連接CF，與直線(xiàn)AD 相交于點(diǎn)E，此時(shí) EF+EC取得最小值.因?yàn)镃F是等邊ABC的邊AB上的中線(xiàn)，所以CF平分ACB，則ECF的度數(shù)是30.作圖解題之前應(yīng)該忽略圖中的點(diǎn)E，如圖1，又由“兩點(diǎn)一線(xiàn)型”的最短距離的模型得到圖2；【答案】E

19、CF的度數(shù)為306. 如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AB=10，AD是BAC的平分線(xiàn)若P、Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，求PC+PQ的最小值.【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)、垂線(xiàn)段最短、角平分線(xiàn)的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化【解題過(guò)程】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CMAB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQAC于點(diǎn)Q，AD是BAC的平分線(xiàn)，PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，最小值為CM的長(zhǎng)度. AC=6，BC=8，AB=10，SABC=ABCM=ACBC，CM=，即PC+PQ的最小值為【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锽AC的對(duì)稱(chēng)軸是BAC的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)AD，所以點(diǎn)Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在射線(xiàn)AB上.若點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)

20、AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M， PC+PQ =PC+PM， 又當(dāng)PC、PM共線(xiàn)時(shí)，PC+PM的最小值為線(xiàn)段CM的最小值，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，所以當(dāng)CMAB時(shí)線(xiàn)段CM的值最小.過(guò)點(diǎn)C作CMAB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQAC于點(diǎn)Q，因?yàn)锳D是BAC的平分線(xiàn)，得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，最小值為CM的長(zhǎng)度，再運(yùn)用SABC=ABCM=ACBC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出滿(mǎn)足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置【答案】能力型 師生共研7.如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接B

21、P、GP，求BPG周長(zhǎng)的最小值【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短【思路點(diǎn)撥】要使PBG的周長(zhǎng)最小，而B(niǎo)G=1.5是一個(gè)定值，只要使BP+PG最短即可，則轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)一線(xiàn)型”的最短路徑問(wèn)題. 連接AB交直線(xiàn)EF于點(diǎn)P即當(dāng)P和E重合時(shí)，此時(shí)BP+PG最小，即PBG的周長(zhǎng)最小.【解題過(guò)程】如圖，連接AG交EF于M.等邊ABC，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，AGBC，EFBC， 則AGEF，AM=MG，A、G關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，連接AB交直線(xiàn)EF于點(diǎn)P，即當(dāng)P和E重合時(shí)，此時(shí)BP+PG最小，即PBG的周長(zhǎng)最小，AP=PG，BP=BE， 最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG

22、=3+1.5=4.5【答案】4.5探究型 多維突破8. 讀一讀：勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系:在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a+b=c.我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形的較短直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)直角邊為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”，所以把這個(gè)定理成為“勾股定理”.例如：直角三角形的兩個(gè)直角邊分別為3、4，則斜邊c2= a2+b2=9+16=25，則斜邊c為5. 借助勾股定理我們可以解決更多最短路徑問(wèn)題，勾股定理的具體內(nèi)容我們將在八年級(jí)下冊(cè)中學(xué)到.借助勾股定理，請(qǐng)嘗試完成下面的練習(xí)：如圖，已知A、B兩個(gè)村莊位于河流CD的同側(cè)，它們到河流的距離AC=10km，BD=30km

23、，且CD=30km現(xiàn)在要在河流CD上建立一個(gè)泵站P向村莊供水，鋪設(shè)管道的費(fèi)用為每千米2萬(wàn)元，要使所花費(fèi)用最少，請(qǐng)確定泵站P的位置，并求出此時(shí)所花費(fèi)用的最小值為多少？（保留痕跡，不寫(xiě)作法）【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知得出作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB，則AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小，再構(gòu)造直角三角形利用勾股定理即可求出此題主要考查了用軸對(duì)稱(chēng)解決最短路徑問(wèn)題和勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形【解題過(guò)程】依題意，只要在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB，則AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的

24、距離和最小，且PA+PB=PA+PB=AB又過(guò)點(diǎn)A向BD作垂線(xiàn)，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，在直角三角形ABE 中，AE=CD=30，BE=BD+DE=40，根據(jù)勾股定理可得：AB=50（千米）即鋪設(shè)水管長(zhǎng)度的最小值為50千米所以鋪設(shè)水管所需費(fèi)用的最小值為：502=100（萬(wàn)元）【答案】100萬(wàn)元9. 讀一讀：勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系:在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a+b=c.我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形的較短直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)直角邊為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”，所以把這個(gè)定理成為“勾股定理”.例如：直角三角形的兩個(gè)直角邊分別為3、4，則斜邊c2= a2+b2=9

25、+16=25，則斜邊c為5. 借助勾股定理我們可以解決更多最短路徑問(wèn)題，勾股定理的具體內(nèi)容我們將在八年級(jí)下冊(cè)中學(xué)到.借助勾股定理，請(qǐng)嘗試完成下面的練習(xí)：如圖，AOB=30，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上的定點(diǎn)，作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN，即為MP+PQ+QN的最小值【解題過(guò)程】解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN，即為MP+PQ+QN的最小值根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的定義可知：NOQ=MOB=AOB=30，O N=

26、ON=3，OM=OM=1，NOM=90，在RtMON中，MN=故答案為【答案】自助餐1. 如圖，小河CD邊有兩個(gè)村莊A村、B村，現(xiàn)要在河邊建一自來(lái)水廠(chǎng)E為A村與B村供水，自來(lái)水廠(chǎng)建在什么地方到A村、B村的距離和最?。空?qǐng)?jiān)谙聢D中找出點(diǎn)E的位置（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短【思路點(diǎn)撥】利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路線(xiàn)的方法得出A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，再連接AB交CD于點(diǎn)E，即可得出答案【解題過(guò)程】如圖所示，點(diǎn)E即為所求2. 如圖，在一條筆直的公路l旁修建一個(gè)倉(cāng)儲(chǔ)基地，分別給A、B兩個(gè)超市配貨，那么這個(gè)基地建在什么位置，能使它到兩個(gè)超市的距離之差即PBPA最小? (保留作圖

27、痕跡及簡(jiǎn)要說(shuō)明)【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的知識(shí)，絕對(duì)值的知識(shí)【思路點(diǎn)撥】因?yàn)榻^對(duì)值具有非負(fù)性，即PBAP 0，所以當(dāng)點(diǎn)PA=PB時(shí)， PBPA最小值為0.【解題過(guò)程】 作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P，交點(diǎn)P即為符合條件的點(diǎn)如圖，取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)G，過(guò)中點(diǎn)G畫(huà)AB的垂線(xiàn)，交EF于P，則P到A，B的距離相等也可分別以A、B為圓心，以大于A(yíng)B為半徑畫(huà)弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)作直線(xiàn)，與EF的交點(diǎn)P即為所求【答案】如圖，點(diǎn)P為所求公交車(chē)站的位置. 3. 如圖，直線(xiàn)l外不重合的兩點(diǎn)A、B，在直線(xiàn)l上求作一點(diǎn)C，使得AC+BC的長(zhǎng)度最短，作法為：作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B；連接AB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為所求作的點(diǎn)在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)沒(méi)有運(yùn)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)或方法是（）A轉(zhuǎn)化思想B三角形的兩邊之和大于第三邊C兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短D三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)、兩點(diǎn)之間最短【解題過(guò)程】點(diǎn)B和點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)C在l上，CB=CB，又AB交l與C，且兩條直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn)，CB+CA= AB最短，即此時(shí)點(diǎn)C使CA+CB的值最小，將軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，驗(yàn)證時(shí)利用三角形的兩邊之和大于